Нагревание проводников электрическим током. Закон Джоуля-Ленца (Гребенюк Ю.В.)

1. Введение

Мы уже знаем, что при про­хож­де­нии тока через элек­три­че­скую лам­поч­ку её спи­раль на­гре­ва­ет­ся и из­лу­ча­ет ви­ди­мый свет. Таким об­ра­зом, мы на­блю­да­ем теп­ло­вое дей­ствие элек­три­че­ско­го тока. Бла­го­да­ря этому дей­ствию, на­гре­ва­ют­ся, на­при­мер, утюг или чай­ник. Но при ра­бо­те вен­ти­ля­то­ра или пы­ле­со­са прак­ти­че­ски не на­блю­да­ет­ся теп­ло­вое дей­ствие, также в нор­маль­ном со­сто­я­нии слабо гре­ют­ся про­во­да. На этом уроке, тема ко­то­ро­го: «На­гре­ва­ние про­вод­ни­ков элек­три­че­ским током. Закон Джо­у­ля – Ленца», мы опре­де­лим, от чего за­ви­сит теп­ло­вое дей­ствие элек­три­че­ско­го тока.

2. Опыты, демонстрирующие зависимость количества теплоты от силы тока и сопротивления

Факт на­гре­ва про­вод­ни­ка при про­те­ка­нии по нему тока объ­яс­ня­ет­ся тем, что во время дви­же­ния за­ря­жен­ных ча­стиц под дей­стви­ем элек­три­че­ско­го поля они стал­ки­ва­ют­ся с ча­сти­ца­ми про­вод­ни­ка, в ре­зуль­та­те часть энер­гии пе­ре­да­ёт­ся этим ча­сти­цам про­вод­ни­ка, то есть сред­няя ско­рость ха­о­ти­че­ско­го (теп­ло­во­го) дви­же­ния ча­стиц про­вод­ни­ка уве­ли­чи­ва­ет­ся, и про­вод­ник на­гре­ва­ет­ся. По за­ко­ну со­хра­не­ния энер­гии ки­не­ти­че­ская энер­гия сво­бод­ных за­ря­жен­ных ча­стиц, при­об­ре­тён­ная под дей­стви­ем элек­три­че­ско­го поля, пре­вра­тит­ся во внут­рен­нюю энер­гию про­вод­ни­ка. Сле­до­ва­тель­но, можно пред­по­ло­жить:

1. чем боль­ше со­про­тив­ле­ние про­вод­ни­ка, тем боль­ше тепла вы­де­ля­ет­ся при про­хож­де­нии элек­три­че­ско­го тока по про­вод­ни­ку, то есть ко­ли­че­ство теп­ло­ты, ко­то­рое вы­де­ля­ет­ся в про­вод­ни­ке при про­хож­де­нии по нему элек­три­че­ско­го тока, прямо про­пор­ци­о­наль­но со­про­тив­ле­нию про­вод­ни­ка;

2. ко­ли­че­ство теп­ло­ты, вы­де­ля­е­мое в про­вод­ни­ке при про­хож­де­нии по нему элек­три­че­ско­го тока, за­ви­сит от силы тока (чем боль­ше сила тока, тем боль­шее ко­ли­че­ство сво­бод­ных ча­стиц про­хо­дит через се­че­ние про­вод­ни­ка в еди­ни­цу вре­ме­ни, про­ис­хо­дит боль­ше столк­но­ве­ний, сле­до­ва­тель­но, боль­ше энер­гии пе­ре­да­ёт­ся ча­сти­цам про­вод­ни­ка).
Можно под­твер­дить дан­ные пред­по­ло­же­ния с по­мо­щью опы­тов.

Со­бе­рём элек­три­че­скую цепь, в ко­то­рой по­сле­до­ва­тель­но с ис­точ­ни­ком тока под­клю­че­ны два на­гре­ва­те­ля с раз­ны­ми со­про­тив­ле­ни­я­ми, ко­то­рые опу­ще­ны в ка­ло­ри­мет­ры (при­бор для из­ме­ре­ния ко­ли­че­ства теп­ло­ты) с оди­на­ко­вым ко­ли­че­ством воды при оди­на­ко­вой тем­пе­ра­ту­ре. При про­хож­де­нии элек­три­че­ско­го тока через на­гре­ва­те­ли будет на­блю­дать­ся по­вы­ше­ние тем­пе­ра­ту­ры воды, при­чём вода будет на­гре­вать­ся быст­рее в том ка­ло­ри­мет­ре, в ко­то­рый по­ме­щён на­гре­ва­тель с бльшим со­про­тив­ле­ни­ем (см. Рис. 1). То есть под­твер­жда­ет­ся пред­по­ло­же­ние 1.

Для под­твер­жде­ния пред­по­ло­же­ния 2 со­бе­рём элек­три­че­скую цепь, в ко­то­рой по­сле­до­ва­тель­но к ис­точ­ни­ку тока под­клю­чен ам­пер­метр, лам­поч­ка на­ка­ли­ва­ния и рео­стат. Ре­гу­ли­руя со­про­тив­ле­ние рео­ста­та, ме­ня­ем силу тока в цепи при по­сто­ян­ном на­пря­же­нии. При уве­ли­че­нии силы тока уве­ли­чи­ва­ет­ся яр­кость лам­поч­ки (см. Рис. 2), то есть уве­ли­чи­ва­ет­ся ко­ли­че­ство теп­ло­ты, ко­то­рое вы­де­ля­ет нить на­ка­ли­ва­ния.

Рис. 1. На­гре­ва­тель с большим со­про­тив­ле­ни­ем на­гре­ва­ет воду быст­рее

Рис. 2. Уве­ли­че­ние яр­ко­сти лам­поч­ки при уве­ли­че­нии силы тока    

Закон Джоуля-Ленца

Теп­ло­вое дей­ствие тока опыт­ным путём неза­ви­си­мо друг от друга изу­ча­ли ан­глий­ский учё­ный Джо­уль и рус­ский учё­ный Ленц. Они при­шли к вы­во­ду, ко­то­рый впо­след­ствии на­зва­ли закон Джо­у­ля – Ленца: ко­ли­че­ство теп­ло­ты, вы­де­ля­ю­ще­е­ся при про­хож­де­нии тока в про­вод­ни­ке, прямо про­пор­ци­о­наль­но квад­ра­ту силы тока, со­про­тив­ле­нию про­вод­ни­ка и вре­ме­ни про­хож­де­ния тока:

,

где  – ко­ли­че­ство теп­ло­ты, I – сила тока, R – со­про­тив­ле­ние про­вод­ни­ка, t – время про­хож­де­ния тока.

Закон Джо­у­ля – Ленца был по­лу­чен экс­пе­ри­мен­таль­но, но так как мы знаем фор­му­лу для ра­бо­ты элек­три­че­ско­го тока (), то смо­жем вы­ве­сти его с по­мо­щью неслож­ных ма­те­ма­ти­че­ских вы­чис­ле­ний. Если на участ­ке цепи, в ко­то­ром течёт элек­три­че­ский ток, не вы­пол­ня­ет­ся ме­ха­ни­че­ская ра­бо­та и не про­ис­хо­дят хи­ми­че­ские ре­ак­ции, то ре­зуль­та­том ра­бо­ты элек­три­че­ско­го тока будет на­гре­ва­ние про­вод­ни­ка. В ре­зуль­та­те этого на­гре­ва­ния про­вод­ник будет от­да­вать тепло окру­жа­ю­щим телам. Сле­до­ва­тель­но, в дан­ном слу­чае, со­глас­но за­ко­ну со­хра­не­ния энер­гии, ко­ли­че­ство вы­де­лен­ной теп­ло­ты () будет равно ра­бо­те тока (A). Зная фор­му­лу для ра­бо­ты тока и на­пря­же­ния, по­лу­чим сле­ду­ю­щие пре­об­ра­зо­ва­ния:

Если сила тока неиз­вест­на, а из­вест­но на­пря­же­ние на кон­цах участ­ка цепи, то, вос­поль­зо­вав­шись за­ко­ном Ома, по­лу­ча­ем:

Фор­му­лы  и   можно ис­поль­зо­вать толь­ко тогда, когда вся ра­бо­та элек­три­че­ско­го тока рас­хо­ду­ет­ся толь­ко на на­гре­ва­ние. Если на участ­ке цепи есть по­тре­би­те­ли энер­гии, в ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся ме­ха­ни­че­ская ра­бо­та или про­ис­хо­дят хи­ми­че­ские ре­ак­ции, эти фор­му­лы ис­поль­зо­вать нель­зя (в таких слу­ча­ях при­ме­ня­ют­ся слож­ные ма­те­ма­ти­че­ские рас­чё­ты).

3. Итоги

На этом уроке мы узна­ли о том, что про­хож­де­ние тока в про­вод­ни­ке со­про­вож­да­ет­ся вы­де­ле­ни­ем тепла, при этом ко­ли­че­ство теп­ло­ты, вы­де­ля­ю­ще­е­ся при про­хож­де­нии тока в про­вод­ни­ке, прямо про­пор­ци­о­наль­но квад­ра­ту силы тока, со­про­тив­ле­нию про­вод­ни­ка и вре­ме­ни про­хож­де­ния тока. Таким об­ра­зом, мы сфор­му­ли­ро­ва­ли закон Джо­у­ля – Ленца.

4. Задача из ЕГЭ

По про­вод­ни­ку со­про­тив­ле­ни­ем R течёт ток I. Как из­ме­нит­ся ко­ли­че­ство теп­ло­ты, вы­де­ля­ю­ще­е­ся в про­вод­ни­ке в еди­ни­цу вре­ме­ни, если его со­про­тив­ле­ние уве­ли­чить в два раза, а силу тока умень­шить в два раза? Ва­ри­ан­ты от­ве­та: а) уве­ли­чит­ся в два раза; б) умень­шит­ся в два раза; в) не из­ме­нит­ся; г) умень­шит­ся в во­семь раз.

5. Ре­ше­ние

Вос­поль­зу­ем­ся за­ко­ном Джо­у­ля – Ленца:

Ко­ли­че­ство теп­ло­ты, вы­де­ля­ю­ще­е­ся в про­вод­ни­ке в еди­ни­цу вре­ме­ни, равно:

Так как со­про­тив­ле­ние уве­ли­чи­ва­ет­ся в два раза, а сила тока умень­ша­ет­ся в два раза:

Сле­до­ва­тель­но, новое зна­че­ние ко­ли­че­ства теп­ло­ты будет равно:

Ответ: б) умень­шит­ся в два раза

6. Плагиат или нет?

Ещё в 1832-1833-х годах Эми­лий Хри­сти­а­но­вич Ленц об­ра­тил вни­ма­ние на то, что про­во­ди­мость про­вод­ни­ка силь­но за­ви­сит от его на­гре­ва­ния, это ослож­ня­ло рас­чё­ты элек­три­че­ских цепей, так как не пред­став­ля­лось воз­мож­ным вы­чис­лить за­ви­си­мость тока от теп­ло­ты, ко­то­рую он вы­де­ля­ет.

Рис. 3. Опыт Ленца

Ленц скон­стру­и­ро­вал спе­ци­аль­ный при­бор-со­суд, слу­жив­ший для из­ме­ре­ния ко­ли­че­ства тепла, вы­де­ляв­ше­го­ся в про­во­ло­ке. В сосуд учё­ный за­ли­вал раз­бав­лен­ный спирт (спирт об­ла­да­ет мень­шей элек­тро­про­вод­но­стью, чем вода, ко­то­рую ис­поль­зо­вал в своих опы­тах Джеймс Джо­уль). В рас­твор спир­та по­ме­ща­лась пла­ти­но­вая про­во­ло­ка, через ко­то­рую про­пус­кал­ся элек­три­че­ский ток (см. Рис. 3). Была про­из­ве­де­на боль­шая серия опы­тов, в ко­то­рых Ленц за­ме­рял время, за­тра­чен­ное на на­гре­ва­ние рас­тво­ра на . По­лу­чив до­ста­точ­ное ко­ли­че­ство убе­ди­тель­ных дан­ных, в 1843 году учё­ный опуб­ли­ко­вал закон: «на­гре­ва­ние про­во­ло­ки галь­ва­ни­че­ским током про­пор­ци­о­наль­но квад­ра­ту слу­жа­ще­го для на­гре­ва­ния тока». Од­на­ко ана­ло­гич­ный закон уже был опуб­ли­ко­ван Джо­у­лем в 1841 году, но Ленц вполне обос­но­ван­но об­ра­тил вни­ма­ние на то, что ан­гли­ча­нин про­вёл свои экс­пе­ри­мен­ты с боль­шим ко­ли­че­ством по­греш­но­стей. Имен­но по­это­му закон о теп­ло­вом дей­ствии тока был на­зван в честь двух вы­да­ю­щих­ся учё­ных.

Решение задач

За­да­ча 1

Опре­де­ли­те длину ни­хро­мо­во­го про­во­да, с пло­ща­дью се­че­ния 0,25 , из ко­то­ро­го из­го­тов­лен на­гре­ва­тель элек­три­че­ско­го чай­ни­ка. Чай­ник пи­та­ет­ся от сети на­пря­же­ни­ем 220 В и на­гре­ва­ет 1,5 литра воды от  до  за 10 минут. КПД чай­ни­ка со­став­ля­ет .

Дано: ; ; ; ; ; ;  – теп­ло­ём­кость воды;  – плот­ность воды;  – удель­ное со­про­тив­ле­ние ни­хро­ма;  

Найти: l

Ре­ше­ние

Так как вся элек­три­че­ская энер­гия идёт на на­гре­ва­ние воды, то вос­поль­зу­ем­ся за­ко­ном Джо­у­ля – Ленца:

От­сю­да со­про­тив­ле­ние про­вод­ни­ка (ни­хро­мо­во­го про­во­да) R равно:

Также со­про­тив­ле­ние про­вод­ни­ка можно вы­чис­лить по фор­му­ле:

При­рав­ня­ем со­про­тив­ле­ние в обеих фор­му­лах и вы­ра­зим длину про­вод­ни­ка (l):

В этой фор­му­ле неиз­вест­но ко­ли­че­ство теп­ло­ты, то есть мощ­ность чай­ни­ка. Най­дём её, зная, что чай­ник на­гре­ва­ет 1,5 л воды от от  до  за 10 минут.

Так как не вся теп­ло­та идёт на на­гре­ва­ние, то необ­хо­ди­мо учи­ты­вать КПД чай­ни­ка, рав­ный:

От­сю­да общее ко­ли­че­ство теп­ло­ты () будет равно:

Под­ста­вим зна­че­ние   в фор­му­лу для длины про­вод­ни­ка:

Про­ве­рив еди­ни­цы из­ме­ре­ния, под­став­ля­ем из­вест­ные зна­че­ния:

Ответ:  

За­да­ча 2

С какой целью про­во­да в ме­стах со­еди­не­ния не про­сто скру­чи­ва­ют, но ещё и спа­и­ва­ют? Ответ обос­нуй­те.

Ре­ше­ние

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Сила тока в обоих про­во­дах оди­на­ко­ва, так как про­вод­ни­ки со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но (см. Рис. 4):

Если место кон­так­та двух про­вод­ни­ков не будет спа­я­но, то его со­про­тив­ле­ние будет до­ста­точ­но боль­шое, по срав­не­нию с со­про­тив­ле­ни­ем самих про­вод­ни­ков. Сле­до­ва­тель­но, в месте кон­так­та будет вы­де­лять­ся наи­боль­шее ко­ли­че­ство теп­ло­ты, что при­ве­дёт к рас­плав­ле­нию места кон­так­та и раз­мы­ка­нию элек­три­че­ской цепи. По­это­му про­во­да в ме­стах со­еди­не­ния не про­сто скру­чи­ва­ют, но ещё и спа­и­ва­ют с целью умень­ше­ния со­про­тив­ле­ния.

За­да­ча 3

Какой длины ни­хро­мо­вый про­вод нужно взять, чтобы из­го­то­вить элек­три­че­ский камин, ра­бо­та­ю­щий при на­пря­же­нии 120 В и вы­де­ля­ю­щий 1 МДж теп­ло­ты в час? Диа­метр про­во­да 0,5 мм.

Дано: ; ; ;  ;

Найти: l

Ре­ше­ние

Так как вся элек­три­че­ская энер­гия рас­хо­ду­ет­ся на на­гре­ва­ние, то со­глас­но за­ко­ну Джо­у­ля-Лен­ца:

От­сю­да со­про­тив­ле­ние про­во­да равно:

Также со­про­тив­ле­ние про­вод­ни­ка можно вы­чис­лить по фор­му­ле:

При­рав­ня­ем со­про­тив­ле­ние в обеих фор­му­лах и вы­ра­зим длину про­вод­ни­ка (l):

В этой фор­му­ле неиз­вест­на пло­щадь се­че­ния про­во­ло­ки. Зная диа­метр про­во­ло­ки, вы­чис­лим пло­щадь се­че­ния про­во­ло­ки по фор­му­ле пло­ща­ди круга:

Под­ста­вим зна­че­ние в фор­му­лу для длины про­вод­ни­ка:

Про­ве­рив еди­ни­цы из­ме­ре­ния, под­став­ля­ем из­вест­ные зна­че­ния:

Ответ:

Вопросы к конспектам