Смешанное соединение проводников. Расчёт электрических цепей

Повторение. Факты про последовательное и параллельное соединение проводников.

1. При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков общее со­про­тив­ле­ние участ­ка равно сумме со­про­тив­ле­ний про­вод­ни­ков:

2. При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков силы тока в каж­дом из про­вод­ни­ков равны и равны общей силе тока на участ­ке цепи:

3. При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков сумма на­пря­же­ний равна об­ще­му на­пря­же­нию на участ­ке цепи:

4. При па­рал­лель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков общая про­во­ди­мость участ­ка равна сумме про­во­ди­мо­стей про­вод­ни­ков:

5. При па­рал­лель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков сумма сил токов равна общей силе тока на участ­ке цепи:

6. При па­рал­лель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков на­пря­же­ния в каж­дом из про­вод­ни­ков равны и равны об­ще­му на­пря­же­нию на участ­ке цепи:

Задача 1

Че­ты­ре оди­на­ко­вые лампы под­клю­че­ны к ис­точ­ни­ку по­сто­ян­но­го на­пря­же­ния (см. Рис. 1). Опре­де­ли­те силу тока в каж­дой лампе, если на­пря­же­ние на ис­точ­ни­ке со­став­ля­ет 30 В.

Дано: ;

Найти: , , ,

Ре­ше­ние

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

На ри­сун­ке 1 изоб­ра­же­на элек­три­че­ская цепь со сме­шан­ным со­еди­не­ни­ем про­вод­ни­ков: лампы 2 и 3 со­еди­не­ны па­рал­лель­но, а лампы 2 и 4 со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но с участ­ком цепи, со­сто­я­щим из ламп 2 и 3.

Про­во­ди­мость участ­ка цепи, со­сто­я­ще­го из ламп 2 и 3, равна:

Сле­до­ва­тель­но, со­про­тив­ле­ние этого участ­ка равно:

Так как лампы 1 и 4 со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но с участ­ком цепи, со­сто­я­щим из ламп 2 и 3, то общее со­про­тив­ле­ние ламп будет равно:

Со­глас­но за­ко­ну Ома, сила тока всей цепи равна:

Так как при по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков силы тока в каж­дом из про­вод­ни­ков равны и равны общей силе тока на участ­ке цепи, то:

Необ­хо­ди­мо найти силу тока на лам­пах 2 и 3. Для этого вы­чис­лим на­пря­же­ние на участ­ке цепи, ко­то­рый со­сто­ит из ламп 2 и 3:

Так как лампы 2 и 3 со­еди­не­ны па­рал­лель­но, то на­пря­же­ния на этих лам­пах равны:

От­сю­да сила тока в каж­дой лампе равна:

Ответ:  ;  

Задача 2

Уча­сток цепи, ко­то­рый со­сто­ит из че­ты­рёх ре­зи­сто­ров, под­клю­чён к ис­точ­ни­ку с на­пря­же­ни­ем 40 В (см. Рис. 2). Вы­чис­ли­те силу тока в ре­зи­сто­рах 1 и 2, на­пря­же­ние на ре­зи­сто­ре 3. Со­про­тив­ле­ние пер­во­го ре­зи­сто­ра равно 2,5 Ом, вто­ро­го и тре­тье­го – по 10 Ом, чет­вёр­то­го – 20 Ом.

Дано: ; ; ;

Найти: , ,

Ре­ше­ние

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Через ре­зи­стор  течёт такой же ток, как и через весь уча­сток (), сле­до­ва­тель­но, со­глас­но за­ко­ну Ома:

То есть для на­хож­де­ния  нужно вы­чис­лить со­про­тив­ле­ние (R) всего участ­ка цепи, ко­то­рый со­сто­ит из двух по­сле­до­ва­тель­но под­клю­чён­ных ча­стей, одна часть с ре­зи­сто­ром , дру­гая часть с ре­зи­сто­ра­ми :

Ре­зи­стор  со­еди­нён па­рал­лель­но ре­зи­сто­рам  и , сле­до­ва­тель­но:

Ре­зи­сто­ры  и  со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но, по­это­му:

Сле­до­ва­тель­но, со­про­тив­ле­ние всей цепи равно:

Под­ста­вим дан­ное зна­че­ние в фор­му­лу для на­хож­де­ния тока в ре­зи­сто­ре :

Так как при па­рал­лель­ном со­еди­не­нии про­вод­ни­ков на­пря­же­ния в каж­дом из про­вод­ни­ков равны и равны об­ще­му на­пря­же­нию на участ­ке цепи, то:

От­сю­да:

При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии силы тока оди­на­ко­вы, по­это­му:

По­лу­чи­ли си­сте­му урав­не­ний:

Решив эту си­сте­му по­лу­чим, что:

Так как  и  со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но:

На­пря­же­ние на ре­зи­сто­ре  равно:

Ответ: ;  ;  

Задача 3

Най­ди­те пол­ное со­про­тив­ле­ние цепи (см. Рис. 3), если со­про­тив­ле­ние ре­зи­сто­ров , , . Най­ди­те силу тока, иду­ще­го через каж­дый ре­зи­стор, если к цепи при­ло­же­но на­пря­же­ние 36 В.

Дано: ; ; ;

Найти: , , , , , , ;

Ре­ше­ние

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­зи­сто­ры , ,  со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но, по­это­му со­про­тив­ле­ние на этом участ­ке равно:

Ре­зи­стор  под­клю­чён па­рал­лель­но участ­ку с ре­зи­сто­ра­ми , , , по­это­му со­про­тив­ле­ние на участ­ке с ре­зи­сто­ра­ми ,, ,  равно:

Ре­зи­сто­ры  и  со­еди­не­ны с участ­ком цепи с ре­зи­сто­ра­ми ,, ,  по­сле­до­ва­тель­но, то есть общее со­про­тив­ле­ние цепи равно:

Через ре­зи­стор  и   () нераз­ветв­лён­ной цепи течёт весь ток цепи, по­это­му:

По за­ко­ну Ома этот ток равен:

Общее на­пря­же­ние цепи будет со­сто­ять из на­пря­же­ний , так как ,,  со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но (, по­то­му что  и  па­рал­лель­ны):

Со­глас­но за­ко­ну Ома:

Ре­зи­сто­ры , ,  со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но, сле­до­ва­тель­но:

Ответ: ; ; ;   

Разветвление: Задача на бесконечную электрическую цепь

Най­ди­те со­про­тив­ле­ние R бес­ко­неч­ной цепи, по­ка­зан­ной на ри­сун­ке 4.

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­ше­ние

По­сколь­ку рас­смат­ри­ва­е­мая в за­да­че цепь бес­ко­неч­на, уда­ле­ние одной «ячей­ки», со­сто­я­щей из ре­зи­сто­ров  и , не вли­я­ет на её со­про­тив­ле­ние. Сле­до­ва­тель­но, вся цепь, на­хо­дя­ща­я­ся пра­вее звена , тоже имеет со­про­тив­ле­ние R. Это поз­во­ля­ет на­ри­со­вать эк­ви­ва­лент­ную схему цепи (см. Рис. 5) и за­пи­сать для неё урав­не­ние.

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

По­лу­чи­ли квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но R. Решая это урав­не­ние и от­бра­сы­вая от­ри­ца­тель­ный ко­рень (от­ри­ца­тель­но­го со­про­тив­ле­ния не су­ще­ству­ет), по­лу­ча­ем фор­му­лу для об­ще­го со­про­тив­ле­ния цепи:

Про­ана­ли­зи­ро­вав дан­ную фор­му­лу, можно за­ме­тить, что если , то общее со­про­тив­ле­ние цепи . То есть ре­зи­стор с малым со­про­тив­ле­ние  прак­ти­че­ски за­ко­ро­тит всю по­сле­ду­ю­щую бес­ко­неч­ную цепь.

Ответ:

Итоги

Мы рас­смот­ре­ли раз­лич­ные за­да­чи на сме­шан­ное со­про­тив­ле­ние про­вод­ни­ков, а также на рас­чёт элек­три­че­ских цепей.

Разветвление: Задача из ЕГЭ

Со­про­тив­ле­ние каж­до­го ре­зи­сто­ра в цепи (см. Рис. 6) равно 100 Ом. Уча­сток под­клю­чён к ис­точ­ни­ку по­сто­ян­но­го на­пря­же­ния вы­во­да­ми AиB. На­пря­же­ние на ре­зи­сто­ре  равно 12 В. Найти на­пря­же­ние между вы­во­да­ми схемы на участ­ке A–B(ва­ри­ан­ты от­ве­та: а) 12 В; б) 18 В; в) 24 В; г) 36 В.

Дано: ;

Найти:

Ре­ше­ние

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­зи­сто­ры  рас­по­ло­же­ны по­сле­до­ва­тель­но, зна­чит, силы тока на этих ре­зи­сто­рах равны:

Так как, по усло­вию, , то и на­пря­же­ния на этих ре­зи­сто­рах будут равны:

Сле­до­ва­тель­но, общее на­пря­же­ния на участ­ке, со­сто­я­щем из ре­зи­сто­ров , будет равно:

Так как уча­сток с ре­зи­сто­ра­ми  со­еди­нён с участ­ком с ре­зи­сто­ра­ми  па­рал­лель­но, то на­пря­же­ния на этих участ­ках равны между собой и равны об­ще­му на­пря­же­нию на участ­ке A–B:

Ответ: г) 36 В

Дан­ную за­да­чу, как видим, можно ре­шить, не зная зна­че­ний со­про­тив­ле­ния, а зная толь­ко то, что они равны. Также эту за­да­чу можно ре­шить, зная зна­че­ние со­про­тив­ле­ний , даже если они не равны.

Вопросы к конспектам

Уча­сток элек­три­че­ской цепи со­сто­ит из трех со­про­тив­ле­ний: ; ;  (см. Рис. 7). Опре­де­ли­те по­ка­за­ния вольт­мет­ров  и ам­пер­мет­ров , если ам­пер­метр  по­ка­зы­ва­ет силу тока 2 А.

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к за­да­че