Решение задач по теме: "Смешанное соединение проводников"

Введение

В реальных электрических цепях элементы редко соединены только последовательно или только параллельно — чаще встречаются смешанные схемы, где последовательные и параллельные участки комбинируются. Для расчёта таких цепей нужно уметь выделять простые участки, находить их эквивалентные сопротивления и по закону Ома вычислять токи и напряжения. В этой статье кратко повторим нужные формулы и факты, а затем решим три типичных задачи с подробными расчётами.

Необходимые формулы и факты

Закон Ома для участка цепи:
$display style I equals U over R$
где $I$ — сила тока (А), $U$ — напряжение (В), $R$ — сопротивление (Ом).
Последовательное соединение: сопротивления складываются:
$display style R subscript text посл end text end subscript equals R subscript 1 plus R subscript 2 plus horizontal ellipsis$
через все элементы идёт один и тот же ток; суммарное напряжение — сумма падений на элементах.
Параллельное соединение: обратные сопротивления складываются:
$display style 1 over R subscript text парал end text end subscript equals 1 over R subscript 1 plus 1 over R subscript 2 plus horizontal ellipsis$
на всех ветвях одинаковое напряжение; общий ток — сумма токов ветвей.
Эквивалентное сопротивление — сопротивление, которое можно поставить вместо группы элементов, чтобы внешний ток остался тем же.
Мощность:
$display style P equals U times I equals I squared R equals U squared over R$

Задачи с решениями

Задача 1

Даны: $R subscript 1 equals 4 text end text straight capital omega comma text end text R subscript 2 equals 6 text end text straight capital omega comma text end text R subscript 3 equals 12 text end text straight capital omega$ . Сопротивления $R subscript 2$ и $R subscript 3$ соединены параллельно, а их группа — последовательно с $R subscript 1$ . Напряжение источника $U equals 24$ . Найти: общее сопротивление цепи, силу тока в цепи, напряжения и токи на каждом сопротивлении.

Решение.

Сначала найдём эквивалент параллельного участка $R subscript 2$ и $R subscript 3$ :

$display style 1 over R subscript 23 equals 1 over R subscript 2 plus 1 over R subscript 3 equals 1 over 6 plus 1 over 12 equals fraction numerator 2 plus 1 over denominator 12 end fraction equals 3 over 12 equals 1 fourth$

Следовательно $R subscript 23 equals 4 text end text straight capital omega$ .

Общее сопротивление:

$display style R subscript text общ end text end subscript equals R subscript 1 plus R subscript 23 equals 4 plus 4 equals 8 text end text straight capital omega straight.$

Сила тока от источника:

$display style I equals U over R subscript text общ end text end subscript equals 24 over 8 equals 3 text А end text straight.$

Напряжение на $R subscript 1$ :

$display style U subscript 1 equals I times R subscript 1 equals 3 times 4 equals 12 text В end text straight.$

Напряжение на параллельной группе равно оставшемуся напряжению:

$display style U subscript 23 equals U minus U subscript 1 equals 24 minus 12 equals 12 text В end text straight.$

Токи в ветвях:

$display style I subscript 2 equals U subscript 23 over R subscript 2 equals 12 over 6 equals 2 text А end text comma space of 2em I subscript 3 equals 12 over 12 equals 1 text А end text straight.$

Проверка: $I subscript 2 plus I subscript 3 equals 2 plus 1 equals 3$ А = общий ток. Задача решена.

Задача 2

Даны: $R subscript 1 equals 3 text end text straight capital omega comma text end text R subscript 2 equals 3 text end text straight capital omega comma text end text R subscript 3 equals 6 text end text straight capital omega$ . $R subscript 1$ и $R subscript 2$ соединены параллельно; к этой группе последовательно подключено $R subscript 3$ . Источник $U equals 18$ . Найти: общее сопротивление, силу тока в цепи и напряжение на каждом сопротивлении.

Решение.

Эквивалент параллели $R subscript 1$ и $R subscript 2$ :

$display style 1 over R subscript 12 equals 1 third plus 1 third equals 2 over 3 space of 1em rightwards double arrow space of 1em R subscript 12 equals 3 over 2 equals 1 , 5 text end text straight capital omega straight.$

Общее сопротивление:

$display style R subscript text общ end text end subscript equals R subscript 12 plus R subscript 3 equals 1 , 5 plus 6 equals 7 , 5 text end text straight capital omega straight.$

Ток цепи:

$display style I equals U over R subscript text общ end text end subscript equals fraction numerator 18 over denominator 7 , 5 end fraction equals 2 , 4 text А end text straight.$

Напряжение на $R subscript 3$ :

$display style U subscript 3 equals I times R subscript 3 equals 2 , 4 times 6 equals 14 , 4 text В end text straight.$

Напряжение на параллельной группе:

$display style U subscript 12 equals U minus U subscript 3 equals 18 minus 14 , 4 equals 3 , 6 text В end text straight.$

Токи в параллельных резисторах:

$display style I subscript 1 equals I subscript 2 equals U subscript 12 over 3 equals fraction numerator 3 , 6 over denominator 3 end fraction equals 1 , 2 text А end text straight.$

Проверка: $I subscript 1 plus I subscript 2 equals 1 , 2 plus 1 , 2 equals 2 , 4$ А = общий ток. Всё согласовано.

Задача 3 (геометрическая задача — «треугольник»)

Три одинаковых сопротивления $R equals 6 text end text straight capital omega$ соединены в виде треугольника (дельта). Источник подключён между двумя вершинами треугольника (т.е. между узлами A и B). Найти эквивалентное сопротивление между этими двумя вершинами.

Решение (наглядный):

В треугольнике между A и B присутствуют два пути:

прямой резистор $R$ между A и B (ребро треугольника),
путь через третью вершину C: резистор A–C последовательно с резистором C–B, суммарно $R plus R equals 2 R$ .

Эти два пути (R и 2R) — подключены параллельно между A и B. Поэтому эквивалент:

$display style 1 over R subscript text экв end text end subscript equals 1 over R plus fraction numerator 1 over denominator 2 R end fraction equals fraction numerator 2 plus 1 over denominator 2 R end fraction equals fraction numerator 3 over denominator 2 R end fraction space of 1em rightwards double arrow space of 1em R subscript text экв end text end subscript equals fraction numerator 2 R over denominator 3 end fraction straight.$

Подставим $R equals 6 text end text straight capital omega$ :

$display style R subscript text экв end text end subscript equals fraction numerator 2 times 6 over denominator 3 end fraction equals 12 over 3 equals 4 text end text straight capital omega straight.$

Таким образом, между двумя вершинами треугольника три одинаковых резистора дают эквивалент 4 Ом. (Если источник подключён между другими парой вершин — аналогичный расчёт.)

Расчёт более сложных цепей — краткая инструкция

Схематизируй цепь и подписывай узлы.
Ищи простые участки: параллельные или последовательные группы, которые можно заменить эквивалентом.
Свертывай цепь шаг за шагом, пока не получите одно общее сопротивление.
По закону Ома найдите общий ток: $I subscript text общ end text end subscript equals U subscript text ист end text end subscript straight divided by R subscript text общ end text end subscript$ .
Разворачивайте цепь обратно: по известным токам и напряжениям находите значения на отдельных элементах (используйте деление напряжения для последовательных, распределение тока для параллельных участков).
При сложных разветвлениях используйте законы Кирхгофа (узловые и контурные уравнения).

Вопросы для самопроверки

Как находить эквивалентное сопротивление последовательно соединённых элементов?
Как найти эквивалентное сопротивление двух параллельных резисторов?
Почему при последовательном соединении ток одинаков во всех элементах, а при параллельном — напряжение одинаково на всех ветвях?
В задаче 1: почему токи в $R subscript 2$ и $R subscript 3$ сложились в общий ток?
В задаче 2: почему напряжение на параллельной группе оказалось малым по сравнению с напряжением на $R subscript 3$ ?
Как вычислить эквивалент треугольника из одинаковых резисторов между двумя вершинами?
Какие шаги нужно выполнять при расчёте очень сложной схемы с множеством ветвей?
В каких ситуациях удобнее применять законы Кирхгофа вместо поочерёдного сворачивания цепи?

Последнее изменение: Четверг, 6 Ноябрь 2025, 14:55