Ускорение свободного падения на Земле и других небесных телах

На преды­ду­щем уроке мы об­су­ди­ли во­прос, свя­зан­ный с за­ко­ном все­мир­но­го тя­го­те­ния. Те­перь перед нами стоит за­да­ча рас­смот­реть, как этот закон свя­зан с уже из­вест­ным уско­ре­ни­ем сво­бод­но­го па­де­ния. Уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния впер­вые опре­де­лил ита­льян­ский уче­ный Га­ли­лео Га­ли­лей. Как вы пом­ни­те, он из­ме­рял уско­ре­ние дви­же­ния тел, ко­то­рые дви­га­лись по на­клон­ной плос­ко­сти, и ему уда­лось уста­но­вить, что пре­дель­ное уско­ре­ние таких тел (а это и есть уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния) со­став­ля­ет 9,8 м/с².

 Вывод формулы для ускорения свободного падения на основании закона всемирного тяготения

Од­на­ко, по­че­му имен­но такое зна­че­ние у этого уско­ре­ния, стало ясно толь­ко после от­кры­тия за­ко­на все­мир­но­го тя­го­те­ния. Вспом­ним, что сила тя­же­сти на Земле – это дей­ствие за­ко­на все­мир­но­го тя­го­те­ния для тел, ко­то­рые на­хо­дят­ся на по­верх­но­сти Земли. Об­ра­ти­те вни­ма­ние на слу­чай вза­и­мо­дей­ствия про­из­воль­но­го тела на по­верх­но­сти Земли с самой Зем­лей.

Рис. 1. Сила тя­же­сти, дей­ству­ю­щая на тело на Земле

При этом вся масса Земли услов­но по­ла­га­ет­ся со­сре­до­то­чен­ной в ее цен­тре. Ра­ди­ус Земли – это рас­сто­я­ние между те­ла­ми. Само тело, ко­то­рое на­хо­дит­ся над по­верх­но­стью Земли, – то самое тело, ко­то­рое при­тя­ги­ва­ет­ся. Да­вай­те по­смот­рим, как это за­пи­сы­ва­ет­ся, и об­су­дим ре­зуль­тат.

Сила тя­же­сти на Земле:

F = m ^.g

Закон все­мир­но­го тя­го­те­ния в дан­ном слу­чае имеет вид: . Здесь М – масса Земли, m – масса тела, R – ра­ди­ус Земли, G – гра­ви­та­ци­он­ная по­сто­ян­ная. Если срав­нить вы­ра­же­ние для силы тя­же­сти и для гра­ви­та­ци­он­ной силы, по­лу­чим для уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния: .

Об­ра­ти­те вни­ма­ние: уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния за­ви­сит от массы Земли и от ра­ди­у­са Земли. Если они будут из­ме­нять­ся, зна­чит, будет из­ме­нять­ся и уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния.

 Зависимость ускорения свободного падения от географической широты и других параметров. Искусственные спутники Земли

Как из­вест­но, Земля по форме – неиде­аль­ный шар, а тело, ко­то­рое немно­го сплюс­ну­то с по­лю­сов, по­это­му по­ляр­ный ра­ди­ус несколь­ко мень­ше, чем эк­ва­то­ри­аль­ный. В этом слу­чае надо по­ни­мать, что уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния на по­лю­се будет боль­ше, а на эк­ва­то­ре будет мень­ше. В общем слу­чае уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния за­ви­сит от ши­ро­ты мест­но­сти.

Необ­хо­ди­мо от­ме­тить еще вот что. Земля вра­ща­ет­ся, и вра­ща­тель­ное дви­же­ние Земли тоже вли­я­ет на уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния. Уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния на эк­ва­то­ре будет от­ли­чать­ся еще и по этой при­чине. Из­ме­не­ние уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния по всем вы­ше­ука­зан­ным при­чи­нам до­ста­точ­но незна­чи­тель­ное, по­это­му мы счи­та­ем, что ве­ли­чи­на уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния на Земле – ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная и со­став­ля­ет g_з = 9,8 м/с².

Как ви­ди­те, уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния за­ви­сит от ра­ди­у­са Земли, зна­чит, если уве­ли­чи­вать ра­ди­ус, то уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния будет умень­шать­ся. Как такое может быть? Если мы под­ни­ма­ем тело над по­верх­но­стью Земли (на­при­мер, тот же спут­ник), то рас­сто­я­ние будет опре­де­лять­ся сум­мой ра­ди­у­са Земли и вы­со­ты над ее по­верх­но­стью. В этом слу­чае уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния тоже будет умень­шать­ся.

Уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния об­рат­но про­пор­ци­о­наль­но квад­ра­ту рас­сто­я­ния. По­это­му если вы­со­та будет равна ра­ди­у­су Земли, то рас­сто­я­ние будет в 2 раза боль­ше от цен­тра Земли, чем для тела на по­верх­но­сти, и в этом слу­чае уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния умень­шить­ся в 4 раза.

Рис. 2. К во­про­су об уско­ре­нии сво­бод­но­го па­де­ния для тела, на­хо­дя­ще­го­ся на опре­де­лен­ной вы­со­те над Зем­лей

Сле­ду­ет за­ме­тить, что мно­гие спут­ни­ки ле­та­ют на неболь­шом рас­сто­я­нии, при­бли­зи­тель­но 200–300 км от по­верх­но­сти Земли. На этом рас­сто­я­нии уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния из­ме­ня­ет­ся, но незна­чи­тель­но, по­это­му мы будем счи­тать, что в этом слу­чае уско­ре­ние все-та­ки ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная, рав­ная 9,8 м/с².

 Ускорение свободного падения на других небесных телах на примере Луны

Те­перь об­су­дим то, как опре­де­ля­ет­ся уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния на дру­гих телах. Да­вай­те об­ра­тим­ся к урав­не­нию, ко­то­рое мы ис­поль­зо­ва­ли для опре­де­ле­ния уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния на по­верх­но­сти Земли: .

В этом урав­не­нии вме­сто массы и ра­ди­у­са Земли можно под­ста­вить массу и ра­ди­ус любой дру­гой пла­не­ты. Тогда мы по­лу­чим уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния на любой из ин­те­ре­су­ю­щих нас пла­нет. В первую оче­редь нас ин­те­ре­су­ет Луна. Уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния на Луне будет при­бли­зи­тель­но равно: .

Как видно, уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния на Луне силь­но от­ли­ча­ет­ся от уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния на Земле. Зна­чит, если вдруг мы ока­жем­ся на Луне, мы по­чув­ству­ем себя го­раз­до легче, чем на род­ной Земле. На­при­мер, у пер­вых лун­ных кос­мо­нав­тов ска­фандр, масса ко­то­ро­го при­бли­зи­тель­но равна 80 кг, по ощу­ще­ни­ям на Луне вос­при­ни­мал­ся как тело мас­сой 18 кг, хотя масса ска­фанд­ра не ме­ня­лась, а ме­нял­ся вес.

 Расчет массы Земли

При по­мо­щи по­лу­чен­ной фор­му­лы, мы можем еще и взве­сить (т.е. опре­де­лить массу) те пла­не­ты, небес­ные объ­ек­ты, ко­то­рые нас ин­те­ре­су­ют. Да­вай­те по­смот­рим на фор­му­лу, ко­то­рая поз­во­ля­ет это сде­лать. Рас­смот­рим это на при­ме­ре Земли. Из фор­му­лы для уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния неслож­но по­лу­чить: .

Эта фор­му­ла поз­во­ля­ет опре­де­лить массу Земли. Обыч­но все­гда спра­ши­ва­ют, как уда­лось взве­сить Землю?

Никто ее не взве­ши­вал, а, вос­поль­зо­вав­шись за­ко­ном все­мир­но­го тя­го­те­ния, зна­ни­ем уско­ре­ни­ем сво­бод­но­го па­де­ния на по­верх­но­сти Земли, можно легко массу Земли вы­чис­лить.

Масса Земли все время уточ­ня­ет­ся. Все по­ни­ма­ют, что эта ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся очень важ­ной. Когда мы знаем массу Земли, то, поль­зу­ясь т.н. за­ко­на­ми Кепле­ра, неслож­но опре­де­лить массу дру­гих небес­ных тел. Если мы знаем рас­сто­я­ние между Зем­лей и дру­гой пла­не­той, знаем, как они вза­и­мо­дей­ству­ют друг с дру­гом, мы можем легко опре­де­лить массу дру­гих тел.

По­это­му в аст­ро­но­мии очень часто за еди­ни­цу из­ме­ре­ния при­ни­ма­ют массу Земли, го­во­рят, что масса Земли равна 1 еди­ни­це, и все дру­гие массы пла­нет опре­де­ля­ют уже в мас­сах Земли.