Решение задач на тему «Законы взаимодействия и движения тел»

За­да­ча 1

Тело бро­са­ют вер­ти­каль­но вверх со ско­ро­стью 25 м/с. Опре­де­ли­те вы­со­ту подъ­ема и время по­ле­та.

Дано:                          Ре­ше­ние:

                 ; 0=0+25^.t-5^.t²

; 0=25-10^.t₁; t₁=2,5c; Н=0+25^.2,5-5^.2,5²=31,25 (м)

t- ?                              5t=25; t=5c

H - ?                           Ответ: t=5c; Н=31,25 (м)

 

  

Рис. 1. Выбор си­сте­мы от­сче­та

Сна­ча­ла мы долж­ны вы­брать си­сте­му от­сче­та. Си­сте­му от­сче­та вы­би­ра­ем свя­зан­ную с зем­лей, на­чаль­ная точка дви­же­ния обо­зна­че­на 0. Вер­ти­каль­но вверх на­прав­ле­на ось Оу. Ско­рость на­прав­ле­на вверх и сов­па­да­ет по на­прав­ле­нию с осью Оу. Уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния на­прав­ле­но вниз  по той же оси.

За­пи­шем закон дви­же­ния тела. Нель­зя за­бы­вать о том, что ско­рость и уско­ре­ние ве­ли­чи­ны век­тор­ные.

Сле­ду­ю­щий шаг. Об­ра­ти­те вни­ма­ние, что ко­неч­ная ко­ор­ди­на­та, в конце, когда тело под­ня­лось на неко­то­рую вы­со­ту, а потом упало об­рат­но на землю, будет равна 0. На­чаль­ная ко­ор­ди­на­та также равна 0: 0=0+25^.t-5^.t².

Если ре­шить это урав­не­ние, по­лу­чим время: 5t=25; t=5 c.

Опре­де­лим те­перь мак­си­маль­ную вы­со­ту подъ­ема. Сна­ча­ла опре­де­лим время подъ­ема тела до верх­ней точки. Для этого мы ис­поль­зу­ем урав­не­ние ско­ро­сти: .

Мы за­пи­са­ли урав­не­ние в общем виде: 0=25-10^.t₁,t₁=2,5 c.

Когда мы под­став­ля­ем из­вест­ные нам зна­че­ния, то по­лу­ча­ем, что время подъ­ема тела, время t₁ со­став­ля­ет 2,5 с.

Здесь бы хо­те­лось от­ме­тить то, что все время по­ле­та со­став­ля­ет 5 с, а время подъ­ема до мак­си­маль­ной точки 2,5 с. Это озна­ча­ет, что тело под­ни­ма­ет­ся ровно столь­ко вре­ме­ни, сколь­ко потом будет об­рат­но па­дать на землю. Те­перь вос­поль­зу­ем­ся урав­не­ни­ем, ко­то­рое мы уже ис­поль­зо­ва­ли, – закон дви­же­ния. В этом слу­чае мы вме­сто ко­неч­ной ко­ор­ди­на­ты ста­вим Н, т.е. мак­си­маль­ную вы­со­ту подъ­ема: Н=0+25^.2,5-5^.2,5²=31,25 (м).

Про­из­ве­дя неслож­ные рас­че­ты, по­лу­ча­ем, что мак­си­маль­ная вы­со­та подъ­ема тела со­ста­вит 31,25 м. Ответ: t=5c; Н=31,25 (м).

В дан­ном слу­чае мы вос­поль­зо­ва­лись прак­ти­че­ски всеми урав­не­ни­я­ми, ко­то­рые изу­ча­ли при ис­сле­до­ва­нии сво­бод­но­го па­де­ния.

За­да­ча 2

Тело дви­жет­ся по дуге ра­ди­у­сом 20 см со ско­ро­стью 10 м/с. Опре­де­ли­те цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние.

Дано:                          СИ                              Ре­ше­ние:

R=20 см                     0,2 м                           

V=10 м/с

 

а_Ц - ?                                                              Ответ: а_Ц = .

Фор­му­ла для вы­чис­ле­ния цен­тро­стре­ми­тель­но­го уско­ре­ния из­вест­на. Под­став­ляя сюда зна­че­ния, мы по­лу­ча­ем: . В этом слу­чае цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние по­лу­ча­ет­ся огром­ным, по­смот­ри­те на его зна­че­ние . Ответ: а_Ц = .

После ре­ше­ния этой, ка­за­лось бы, неслож­ной за­да­чи, хо­те­лось бы от­ме­тить сле­ду­ю­щее. По­смот­ри­те еще раз на зна­че­ние уско­ре­ния, за­меть­те, что тело дви­жет­ся по дуге всего лишь ра­ди­у­сом 20 см и ско­рость-то неве­ли­ка (всего 10 м/с), а какое по­лу­ча­ет­ся огром­ное уско­ре­ние. Мо­же­те себе пред­ста­вить, какие огром­ные уско­ре­ния и пе­ре­груз­ки воз­ни­ка­ют в дви­жу­щем­ся ко­ле­се ав­то­мо­би­ля. Там ведь ско­рость до­воль­но боль­шая, бы­ва­ет, го­раз­до боль­ше 10 м/с.

За­да­ча 3

Опре­де­ли­те вы­со­ту над уров­нем Земли, на ко­то­рой уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния умень­ша­ет­ся в два раза.

Дано:                                     Ре­ше­ние:

R_З =6400 км                           ; ; 

                             .

Н -?                                        Ответ: Н ≈ 2650 км.

Для ре­ше­ния этой за­да­чи нам по­тре­бу­ет­ся, по­жа­луй, одно един­ствен­ное дан­ное. Это ра­ди­ус Земли. Он равен 6400 км.

Уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния опре­де­ля­ет­ся на по­верх­но­сти Земли сле­ду­ю­щим вы­ра­же­ни­ем: . Это на по­верх­но­сти Земли. Но стоит нам толь­ко уда­лить­ся от Земли на боль­шое рас­сто­я­ние, уско­ре­ние будет опре­де­лять­ся уже сле­ду­ю­щим об­ра­зом: .

Если те­перь мы раз­де­лим эти ве­ли­чи­ны друг на друга, по­лу­чим сле­ду­ю­щее: .

Со­кра­ща­ют­ся по­сто­ян­ные ве­ли­чи­ны, т.е. гра­ви­та­ци­он­ная по­сто­ян­ная и масса Земли, а оста­ет­ся ра­ди­ус Земли и вы­со­та, и это от­но­ше­ние равно 2.

Пре­об­ра­зуя те­перь по­лу­чен­ные урав­не­ния, на­хо­дим вы­со­ту: .

Если под­ста­вить зна­че­ния в по­лу­чен­ную фор­му­лу, по­лу­ча­ем ответ: Н ≈ 2650 км.

За­да­ча 4

В лодке на­хо­дит­ся охот­ник. Масса лодки вме­сте с охот­ни­ком 200 кг. Охот­ник стре­ля­ет в го­ри­зон­таль­ном на­прав­ле­нии из ружья пулей, масса ко­то­рой 10 г, ско­рость пули при вы­стре­ле со­став­ля­ет 800 м/с. Опре­де­ли­те, с какой ско­ро­стью лодка с охот­ни­ком по­плы­вет после вы­стре­ла.

Дано:                          Ре­ше­ние

m₁ = 200 кг                0=m₂^.V₂-m₁^.V₁¢;

m₂ = 0,01 кг

V₂ = 800 м/с               

V₁¢ - ?                         Ответ: V₁¢= 0,04 .

Охот­ник, лодка и пуля, вы­ле­тев­шая из ружья, – это за­мкну­тая си­сте­ма. По­это­му рас­смот­рим им­пульс до вы­стре­ла и после.

 

 

Рис. 2. На­прав­ле­ния им­пуль­сов в си­сте­ме до и после вза­и­мо­дей­ствия

От­но­си­тель­но вы­бран­ной оси х в лодке на­хо­дит­ся че­ло­век, им­пульс этой си­сте­мы до вы­стре­ла равен . После вы­стре­ла про­изо­шло сле­ду­ю­щее: пуля m₂ по­ле­те­ла в одну сто­ро­ну со ско­ро­стью . Пусть в нашем слу­чае она стала дви­гать­ся вдоль оси Ох. Есте­ствен­но, лодка в ре­зуль­та­те от­да­чи стала дви­гать­ся в про­ти­во­по­лож­ном на­прав­ле­нии, т.е. про­тив вы­бран­ной оси. В этом слу­чае им­пульс уже нулю не равен ; . Со­глас­но за­ко­ну со­хра­не­ния им­пуль­са: 0=m₂^.V₂-m₁^.V₁¢.

Решая это урав­не­ние, по­лу­ча­ем: . Под­став­ляя зна­че­ния в фор­му­лу, по­лу­ча­ем ответ: V₁¢= 0,04 .