Перемещение тела при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости

Рас­смот­рим неко­то­рые осо­бен­но­сти пе­ре­ме­ще­ния тела при пря­мо­ли­ней­ном рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии без на­чаль­ной ско­ро­сти. Урав­не­ние, ко­то­рое опи­сы­ва­ет это дви­же­ние, было вы­ве­де­но Га­ли­ле­ем в XVI веке. Необ­хо­ди­мо пом­нить, что при пря­мо­ли­ней­ном рав­но­мер­ном или нерав­но­мер­ном дви­же­нии мо­дуль пе­ре­ме­ще­ния сов­па­да­ет по сво­е­му зна­че­нию с прой­ден­ным путем. Фор­му­ла вы­гля­дит сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

S=V_ot₊ ­­­­­at²/2,

где а – это уско­ре­ние.

 Случай равномерного движения

Пер­вый, самый про­стой слу­чай, это си­ту­а­ция, когда уско­ре­ние равно нулю. Это озна­ча­ет, что урав­не­ние, при­ве­ден­ное выше, пре­вра­тит­ся в урав­не­ние: S = V₀t. Это урав­не­ние дает воз­мож­ность найти прой­ден­ный путь рав­но­мер­но­го дви­же­ния. S, в дан­ном слу­чае, яв­ля­ет­ся мо­ду­лем век­то­ра. Его можно опре­де­лить как раз­ность ко­ор­ди­нат: ко­неч­ная ко­ор­ди­на­та х минус на­чаль­ная ко­ор­ди­на­та х₀. Если под­ста­вить это вы­ра­же­ние в фор­му­лу, то по­лу­ча­ет­ся за­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты от вре­ме­ни.

 Случай движения без начальной скорости

Рас­смот­рим вто­рую си­ту­а­цию. При V₀ = 0 на­чаль­ная ско­рость равна 0, это зна­чит, что дви­же­ние на­чи­на­ет­ся из со­сто­я­ния покоя. Тело по­ко­и­лось, затем на­чи­на­ет при­об­ре­тать и уве­ли­чи­вать ско­рость. Дви­же­ние из со­сто­я­ния покоя будет за­пи­сы­вать­ся без на­чаль­ной ско­ро­сти: S = at²/2. Если S – мо­дуль пе­ре­ме­ще­ния (или прой­ден­ный путь) обо­зна­чить как раз­ность на­чаль­ной и ко­неч­ной ко­ор­ди­на­ты (из ко­неч­ной ко­ор­ди­на­ты вы­чи­та­ем на­чаль­ную), то по­лу­чит­ся урав­не­ние дви­же­ния, ко­то­рое дает воз­мож­ность опре­де­лить ко­ор­ди­на­ту тела для лю­бо­го мо­мен­та вре­ме­ни: х = х₀ + at²/2.

Про­ек­ция уско­ре­ния может быть, как от­ри­ца­тель­ной, так и по­ло­жи­тель­ной, по­это­му можно го­во­рить о ко­ор­ди­на­те тела, ко­то­рая может как уве­ли­чи­вать­ся, так и умень­шать­ся.

 Пропорциональность пути квадрату времени

Важ­ные за­ко­но­мер­но­сти урав­не­ний без на­чаль­ной ско­ро­сти, т.е. когда тело на­чи­на­ет свое дви­же­ние из со­сто­я­ния покоя:

S_x – прой­ден­ный путь, он про­пор­ци­о­на­лен t², т.е. квад­ра­ту вре­ме­ни. Если рас­смат­ри­вать рав­ные про­ме­жут­ки вре­ме­ни – t₁, 2t₁, 3t₁, то можно за­ме­тить сле­ду­ю­щие со­от­но­ше­ния:

S_x ~ t²

S₁ ~ 1    S₁ = a/2*t₁²

S₂ ~ 4    S₂ = a/2*(2t₁)²

S₃ ~ 9    S₃ = a/2*(3t₁)²

Если про­дол­жить, за­ко­но­мер­ность со­хра­нит­ся.

 Перемещения за последовательные промежутки времени

Можно сде­лать сле­ду­ю­щее за­клю­че­ние: прой­ден­ные рас­сто­я­ния уве­ли­чи­ва­ют­ся про­пор­ци­о­наль­но квад­ра­ту уве­ли­че­ния про­ме­жут­ков вре­ме­ни. Если был один про­ме­жу­ток вре­ме­ни, на­при­мер 1 с, зна­чит, прой­ден­ный путь будет про­пор­ци­о­на­лен 1². Если вто­рой от­ре­зок 2 с, то прой­ден­ное рас­сто­я­ние будет про­пор­ци­о­наль­но 2², т.е. = 4.

Если за еди­ни­цу вре­ме­ни вы­би­ра­ем некий про­ме­жу­ток, то пол­ные рас­сто­я­ния, прой­ден­ные телом за по­сле­ду­ю­щие рав­ные про­ме­жут­ки вре­ме­ни, будут от­но­сить­ся как квад­ра­ты целых чисел.

Иными сло­ва­ми, пе­ре­ме­ще­ния, со­вер­шен­ные телом за каж­дую по­сле­ду­ю­щую се­кун­ду, будут от­но­сить­ся как нечет­ные числа:

S₁:S₂:S₃:…:S_n=1:3:5:…:(2n-1) 

Рис. 1. Пе­ре­ме­ще­ния за каж­дую се­кун­ду от­но­сят­ся как нечет­ные числа

 Рассмотренные закономерности на примере задачи

Ис­сле­до­ван­ные два очень важ­ных за­клю­че­ния свой­ствен­ны толь­ко пря­мо­ли­ней­но­му рав­но­уско­рен­но­му дви­же­нию без на­чаль­ной ско­ро­сти.

За­да­ча: ав­то­мо­биль на­чи­на­ет дви­гать­ся от оста­нов­ки, т.е. из со­сто­я­ния покоя, и за 4 с сво­е­го дви­же­ния про­хо­дит 7 м. Опре­де­ли­те уско­ре­ние тела и мгно­вен­ную ско­рость через 6 с после на­ча­ла дви­же­ния.

Рис. 2. Ре­ше­ние за­да­чи

Ре­ше­ние: ав­то­мо­биль на­чи­на­ет дви­же­ние из со­сто­я­ния покоя, сле­до­ва­тель­но, путь, ко­то­рый про­хо­дит ав­то­мо­биль, рас­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле: S = at²/2. Мгно­вен­ная ско­рость опре­де­ля­ет­ся как V = at. S₄ = 7 м, рас­сто­я­ние, ко­то­рое ав­то­мо­биль про­шел за 4 с сво­е­го дви­же­ния. Его можно вы­ра­зить как раз­ность пол­но­го пути, прой­ден­но­го телом за 4 с, и пути, прой­ден­но­го телом за 3 с. Ис­поль­зуя это, по­лу­ча­ем уско­ре­ние а = 2 м/с², т.е. дви­же­ние уско­рен­ное, пря­мо­ли­ней­ное. Чтобы опре­де­лить мгно­вен­ную ско­рость, т.е. ско­рость в конце 6 с, сле­ду­ет уско­ре­ние умно­жить на время, т.е. на 6 с, во время ко­то­рых тело ко­то­рое про­дол­жа­ло дви­гать­ся. По­лу­ча­ем ско­рость v(6с) = 12 м/с.

Ответ: мо­дуль уско­ре­ния равен 2 м/с²; мгно­вен­ная ско­рость в конце 6 с равна 12 м/с.