Материальная точка. Система отсчета

 Введение

Пред­ставь­те, что вы си­ди­те дома, в своей ком­на­те, и вам за­да­ют во­прос: «Где ты?». Как вы на него от­ве­ти­те? Вы мо­же­те от­ве­тить «дома», и это будет пра­виль­ный ответ. Мо­же­те от­ве­тить «в своей ком­на­те, за сто­лом», или на­звать город, или ска­зать, что вы в Рос­сии. Ответ на во­прос «где ты?» будет дан, все эти ва­ри­ан­ты пра­виль­ные.

Как, в таком слу­чае, мы вы­би­ра­ем, что имен­но от­ве­тить? За­ви­сит от того, на­сколь­ко точно нужно знать рас­по­ло­же­ние. Если спра­ши­ва­ет мама, ко­то­рая вошла в квар­ти­ру, ей хо­чет­ся знать, в какой вы ком­на­те. Если спра­ши­ва­ет по те­ле­фо­ну зна­ко­мый из дру­го­го го­ро­да, чтобы встре­тить­ся с вами, то ему все равно, в своей вы ком­на­те или на кухне, и уж тем более все равно, какая часть ваших ног на­хо­дит­ся под сто­лом и какая часть рук лежит на столе. Ему про­сто надо знать, не уеха­ли ли вы из го­ро­да.

От­ве­чая на про­стой во­прос, мы от­бро­си­ли все лиш­нее, упро­сти­ли и от­ве­ти­ли на­столь­ко точно, на­сколь­ко это тре­бу­ет­ся в каж­дом кон­крет­ном слу­чае.

Упро­ще­ни­я­ми мы поль­зу­ем­ся на каж­дом шагу, опи­сы­вая пред­ме­ты или про­цес­сы с по­зи­ции того, что нас ин­те­ре­су­ет.

Еще один при­мер – гео­гра­фи­че­ские карты (см. рис. 1).

Гео­гра­фи­че­ская карта

Рис. 1. Гео­гра­фи­че­ская карта

Можно было бы раз­ме­щать в ат­ла­сах спут­ни­ко­вые фо­то­гра­фии мест­но­сти, но этого никто не де­ла­ет. При изу­че­нии гео­гра­фии нам не важно, как вы­гля­дит каж­дый объ­ект, и объ­ек­ты нас ин­те­ре­су­ют не все, по­это­му при со­став­ле­нии карт ненуж­ное от­бра­сы­ва­ет­ся. На фи­зи­че­ской карте оста­ет­ся ре­льеф и во­до­е­мы (см. рис. 2), на по­ли­ти­че­ской карте – гра­ни­цы го­су­дарств и круп­ней­шие го­ро­да (см. рис. 3)

Физическая карта

Рис. 2 Физическая карта

 

Политическая карта

Рис. 3 Политическая карта

И как вы по­ка­зы­ва­е­те свое по­ло­же­ние на карте? Ста­ви­те точку, ко­то­рая ни­че­го об­ще­го с вами ре­аль­ны­ми не имеет, но по­ло­же­ние ваше опи­сы­ва­ет, и, глядя на точку на карте, вы все по­ни­ма­е­те (см. рис. 4).

Обо­зна­че­ние на карте

Рис. 4. Обо­зна­че­ние на карте

 Понятие модели

В фи­зи­ке мы тоже будем ис­поль­зо­вать упро­ще­ния.

Упро­щен­ное пред­став­ле­ние о чем-ни­будь, что нам необ­хо­ди­мо изу­чить или опи­сать с за­дан­ной сте­пе­нью со­от­вет­ствия ре­аль­но­сти, на­зы­ва­ет­ся мо­де­лью.

Че­ло­век мыс­лит мо­де­ля­ми. Пред­ставь­те себе ве­ло­си­пед. А те­перь по­про­буй­те его как можно точ­нее на­ри­со­вать.

Уди­ви­тель­но, что мно­гие из вас столк­нут­ся с труд­но­стя­ми, а ведь все знают, как вы­гля­дит ве­ло­си­пед, и все с лег­ко­стью его пред­ста­ви­ли. Но во­об­ра­жа­е­мая кар­тин­ка до­ста­точ­но при­бли­зи­тель­на: два ко­ле­са, руль, пе­да­ли, си­де­ние, эти части со­еди­не­ны рамой, а как имен­но со­еди­не­ны, какой они формы и ка­ко­го цвета – мы не за­ду­мы­ва­ем­ся.

Какие де­та­ли мы опус­ка­ем, а на какие об­ра­ща­ем вни­ма­ние? В по­все­днев­ной жизни – на свое усмот­ре­ние, в за­ви­си­мо­сти от по­треб­но­стей. В науке же нужна точ­ность и опре­де­лен­ность, по­это­му в фи­зи­ке мы будем четко ого­ва­ри­вать мо­де­ли, ко­то­рые будем изу­чать и ко­то­рые будут с за­дан­ной точ­но­стью со­от­вет­ство­вать дей­стви­тель­но­сти.

 

Мо­дель

Когда мы го­во­рим слово «мо­дель» в фи­зи­ке, чаще всего имеем в виду умень­шен­ную копию че­го-ни­будь, ка­кой-ли­бо образ пред­ме­та, его опи­са­ние, сло­вес­ное или ма­те­ма­ти­че­ское. Такая копия не яв­ля­ет­ся ори­ги­на­лом, но дает о нем упро­щен­ное пред­став­ле­ние. Сте­пень упро­ще­ния может быть раз­ной в за­ви­си­мо­сти от того, какой ин­фор­ма­ции нам до­ста­точ­но. Возь­мем мо­дель ав­то­мо­би­ля. Неко­то­рые кол­лек­ци­о­ни­ру­ют мо­де­ли, ко­то­рые вы­гля­дят как на­сто­я­щие, т. е. дают пред­став­ле­ние о внеш­нем виде ав­то­мо­би­ля (см. рис. 5).

 

Рис. 5. Мо­дель ав­то­мо­би­ля

При этом такая мо­дель не по­ка­жет устрой­ство дви­га­те­ля, но для нашей цели до­ста­точ­но внеш­не­го вида. Если вы рас­ска­зы­ва­е­те другу, как вас об­го­нял дру­гой ав­то­мо­биль, вам не обя­за­тель­но иметь кол­лек­ци­он­ные мо­де­ли этих ав­то­мо­би­лей, вам не важен внеш­ний вид, вам важно дви­же­ние и рас­по­ло­же­ние машин. Вам до­ста­точ­но взять два пря­мо­уголь­ных пред­ме­та, на­при­мер мо­биль­ных те­ле­фо­на, и сыми­ти­ро­вать на столе обгон (см. рис. 6).

 

Рис. 6. Обгон машин

Еще один при­мер: вас про­сят ку­пить хлеба. По­ня­тие «хлеб» – упро­щен­ная мо­дель, во фразе «Купи хлеба» нет ин­фор­ма­ции ни о хле­бо­за­во­де-про­из­во­ди­те­ле, ни о со­ста­ве, ни о точ­ной массе булки. Мы разве что уточ­ним, бе­ло­го ку­пить или чер­но­го, все осталь­ные де­та­ли мы опу­стим. Если неко­то­рые де­та­ли важны, то нас по­про­сят «Купи ма­лень­кую булку бе­ло­го хлеба». Это будет дру­гая более точ­ная мо­дель: она уже уточ­нит раз­мер булки и вид хлеба, но также опу­стит все осталь­ное.

Мо­де­ля­ми мы поль­зу­ем­ся по­сто­ян­но – вы­би­рая точ­ность до­бы­чи или пе­ре­да­чи ин­фор­ма­ции, мы уже мо­де­ли­ру­ем ре­аль­ность.

 Материальная точка

Мы зай­мем­ся изу­че­ни­ем ме­ха­ни­че­ско­го дви­же­ния. Дви­же­ние – это пе­ре­ме­ще­ние тел с те­че­ни­ем вре­ме­ни.

Нас ин­те­ре­су­ет, что тело было в одном месте, а через неко­то­рое время ока­за­лось в дру­гом. Как вы это опи­ше­те? На­при­мер, ав­то­мо­биль утром был на пар­ков­ке, а потом подъ­е­хал к дому. Вы­гля­нув из окна, вы по­ка­же­те паль­цем, где он был утром, а потом по­ка­же­те, где он стоит сей­час (см. рис. 7).

По­ло­же­ние ав­то­мо­би­ля

Рис. 7. По­ло­же­ние ав­то­мо­би­ля

Как на­ри­со­вать на бу­ма­ге свой путь из школы домой? После того как вы от­ме­ти­те школу, дом и несколь­ко клю­че­вых объ­ек­тов, на­при­мер ав­то­бус­ную оста­нов­ку, стан­ции метро, пе­ре­кре­сток, на ко­то­ром вы по­во­ра­чи­ва­е­те, вы от­ме­ти­те точ­ка­ми: сна­ча­ла я здесь, потом иду здесь, и при­хо­жу вот сюда (см. рис. 8).

Путь из школы домой

Рис. 8. Путь из школы домой

Об­ра­ти­те вни­ма­ние: в этих при­ме­рах, как и во мно­гих дру­гих слу­ча­ях, нам не нужно об­ра­щать вни­ма­ние на раз­мер и форму дви­жу­щих­ся тел. Идет из школы один уче­ник или дру­гой, едет ав­то­мо­биль или бежит слон – мы от­ме­тим их на бу­ма­ге та­ки­ми же точ­ка­ми. Это очень удоб­но, и мы, где это воз­мож­но, будем при­ме­нять эту мо­дель.

Эта мо­дель на­зы­ва­ет­ся ма­те­ри­аль­ная точка – мо­дель тела, раз­ме­ра­ми и фор­мой ко­то­ро­го в дан­ной за­да­че можно пре­не­бречь.

 

Дру­гие мо­де­ли в ки­не­ма­ти­ке

В ме­ха­ни­ке фи­зи­че­ской мо­де­лью дви­жу­ще­го­ся тела может быть ма­те­ри­аль­ная точка, раз­ме­ра­ми ко­то­рой в дан­ной за­да­че можно пре­не­бречь, или тело, име­ю­щее форму и раз­ме­ры, если они для нас в дан­ной за­да­че важны (см. рис. 9).

 

Рис. 9. Мо­де­ли дви­же­ния

Мо­де­ли дви­же­ния, ко­то­рые будем ис­поль­зо­вать, – это рав­но­мер­ное дви­же­ние по пря­мой, рав­но­уско­рен­ное дви­же­ние по пря­мой и рав­но­мер­ное дви­же­ние по окруж­но­сти. Кто пы­тал­ся про­ехать на ве­ло­си­пе­де по узкой пря­мой тро­пин­ке или пе­ре­кла­дине, тот знает, как труд­но при­дер­жи­вать­ся иде­аль­но пря­мой тра­ек­то­рии, тра­ек­то­рия все­гда кри­вая, но мы можем пре­не­бречь по­доб­ны­ми неточ­но­стя­ми, дви­же­ние вверх-вниз по коч­кам во­об­ще не учи­ты­вать, и можем све­сти дви­же­ние к одной из изу­ча­е­мых мо­де­лей.

Нужно по­ни­мать, что любая мо­дель имеет свои гра­ни­цы при­ме­не­ния и ма­те­ри­аль­ны­ми точ­ка­ми можно счи­тать не все тела и не во всех слу­ча­ях. Тот же ав­то­мо­биль, если мы рас­смат­ри­ва­ем его пе­ре­ме­ще­ние с пар­ков­ки к дому, может счи­тать­ся ма­те­ри­аль­ной точ­кой, его раз­ме­ры не важны (см. рис. 10).

Ав­то­мо­биль – ма­те­ри­аль­ная точка

Рис. 10. Ав­то­мо­биль – ма­те­ри­аль­ная точка

Но если мы рас­смат­ри­ва­ем, как он по­ме­стит­ся на пар­ков­ке между двух со­сед­них ав­то­мо­би­лей, его раз­ме­ры и форму нужно учи­ты­вать.

Мы зай­мем­ся изу­че­ни­ем дви­же­ния ма­те­ри­аль­ной точки. Дви­же­ние – это из­ме­не­ние по­ло­же­ния во вре­ме­ни. Как опи­сать по­ло­же­ние?

 Координата

Вы­бе­ри­те в своей ком­на­те ка­кой-ни­будь пред­мет, а те­перь ска­жи­те, где он на­хо­дит­ся. До­пу­стим, вы вы­бра­ли чашку, из ко­то­рой вы недав­но пили чай и еще не от­нес­ли на кухню. Вы ска­же­те что-то вроде «она стоит на столе на пол­мет­ра левее кла­ви­а­ту­ры» или «она сразу перед днев­ни­ком» (см. рис. 11).

По­ло­же­ние чашки на столе

Рис. 11. По­ло­же­ние чашки на столе

А те­перь по­про­буй­те ука­зать ее по­ло­же­ние, не упо­ми­ная ни­ка­кие дру­гие пред­ме­ты, как кла­ви­а­ту­ру или днев­ник. Не по­лу­чит­ся. Опи­сы­вая по­ло­же­ние тела или точки, нужно вы­брать дру­гое тело и от­но­си­тель­но него за­да­вать по­ло­же­ние, то есть ко­ор­ди­на­ты.

Ко­ор­ди­на­ты – это спо­соб точ­но­го ука­за­ния места, адрес этого места. Этот адрес дол­жен не толь­ко иден­ти­фи­ци­ро­вать место, но и по­мо­гать его найти, ука­зы­вать на его по­ло­же­ние в упо­ря­до­чен­ном ряду по­доб­ных точек (тер­мин «ко­ор­ди­на­та» про­ис­хо­дит от слова ordinare, ко­то­рое озна­ча­ет «упо­ря­до­чи­вать», с при­став­кой со-, ко­то­рая озна­ча­ет «вме­сте, сов­мест­но, со­гла­со­ван­но»).

 

Свой­ства числа

Число об­ла­да­ет сле­ду­ю­щи­ми свой­ства­ми:

- Упо­ря­до­чен­ность. Про­из­во­дит­ся срав­не­ние и оцен­ка – нам по­нят­но, что, на­при­мер, 20 мень­ше 25, а 23 на­хо­дит­ся между ними.

- Но­ми­наль­ное свой­ство. Число яв­ля­ет­ся ис­точ­ни­ком имен. На­при­мер, номер те­ле­фо­на не со­дер­жит ни­ка­ко­го упо­ря­до­чи­ва­ния, мы не можем срав­ни­вать но­ме­ра, но он четко иден­ти­фи­ци­ру­ет або­нен­та, как и номер ав­то­мо­би­ля. Ко­ор­ди­на­та объ­еди­ня­ет оба свой­ства числа: с одной сто­ро­ны, это иден­ти­фи­ка­тор, а с дру­гой – ука­за­тель места этой ко­ор­ди­на­ты в ряду ей по­доб­ных.

На­при­мер, ко­ор­ди­на­той дома на улице яв­ля­ет­ся его номер, ко­то­рый от­счи­ты­ва­ет­ся с того края улицы, ко­то­рый при­нят за на­ча­ло. Номер дома не толь­ко ука­зы­ва­ет на то, о каком имен­но доме идет речь (о том самом, на­при­мер, пя­ти­этаж­ном, с па­рик­ма­хер­ской на пер­вом этаже), но и под­ска­зы­ва­ет, где его можно найти: если мы про­шли мимо домов № 8 и № 10, то дом № 16 дол­жен быть где-то впе­ре­ди (см. рис. 12).

Номер дома

Рис. 12. Номер дома

Тогда как на­зва­ние улицы за­ча­стую толь­ко иден­ти­фи­ци­ру­ет ее (слы­шим об улице Пуш­кин­ской и по­ни­ма­ем, что это за улица), но не со­дер­жит в себе ин­фор­ма­ции о ее по­ло­же­нии среди дру­гих улиц (нет упо­ря­до­чен­но­сти).

В ки­но­те­ат­ре номер ряда и номер места яв­ля­ют­ся ко­ор­ди­на­та­ми крес­ла: мы знаем, где на­ча­ло ко­ор­ди­нат (обыч­но слева у экра­на), по­то­му если видим пятый ряд, то знаем, где ис­кать боль­шие но­ме­ра рядов. То же с ме­ста­ми: если ищем место № 13, идем сразу в конец ряда, и, уви­дев место № 11, по­ни­ма­ем, что мы близ­ко (см. рис. 13).

Ис­ко­мое место в ки­но­те­ат­ре

Рис. 13. Ис­ко­мое место в ки­но­те­ат­ре

Номер не толь­ко имя (над­пись на крес­ле), но и ори­ен­тир в по­ис­ке (упо­ря­до­чен­ность).

Все, кто играл в мор­ской бой, знают, что по­ло­же­ние клет­ки можно од­но­знач­но за­дать парой па­ра­мет­ров: в дан­ном слу­чае бук­вой, ука­зы­ва­ю­щей стол­бец, и чис­лом, ука­зы­ва­ю­щим стро­ку, а от­счи­ты­ва­ют­ся столб­цы и стро­ки от ле­во­го верх­не­го угла поля (см. рис. 14).

Игра «Мор­ской бой»

Рис. 14. Игра «Мор­ской бой»

Можно опре­де­лить по­ло­же­ние, опре­де­лив на­прав­ле­ние и рас­сто­я­ние, на­при­мер в 50 ки­ло­мет­рах от го­ро­да на се­ве­ро-во­сток (см. рис. 15).

Опре­де­ле­ние по­ло­же­ния

Рис. 15. Опре­де­ле­ние по­ло­же­ния

При­ме­ры си­стем ко­ор­ди­нат

В любом слу­чае, когда мы за­да­ем по­ло­же­ние че­го-ли­бо, мы в том или ином виде поль­зу­ем­ся его ко­ор­ди­на­та­ми. На­при­мер:

— на фото пишут «в пер­вом ряду вто­рой слева Ива­нов» (см. рис. 16). Ко­ор­ди­на­та­ми яв­ля­ют­ся ряд и место в нем;

 

Рис. 16. По­ло­же­ние че­ло­ве­ка на фото: Ива­нов вто­рой слева

— на би­ле­тах пишут номер ряда и номер места: ко­ор­ди­на­ты ряда и места (см. рис. 17);

 

Рис. 17. Билет

— улица, номер дома – ко­ор­ди­на­ты: улица и но­ме­ра;

— «вый­дешь из метро «та­ко­го-то», по­вер­нешь на­ле­во и прой­дешь 100 м;

— По­ло­же­ние тела на по­верх­но­сти Земли можно за­дать по-раз­но­му:

— 30 км на север от Моск­вы,40 км на во­сток. В дан­ном слу­чае ко­ор­ди­на­та­ми яв­ля­ет­ся пара чисел: рас­сто­я­ние на во­сток/запад и север/юг;

— 50 км на се­ве­ро-во­сток. Здесь ко­ор­ди­на­ты – угол на­прав­ле­ния от­но­си­тель­но оси во­сток/запад + длина ра­ди­ус-век­то­ра (см. рис. 18).

 

Рис. 18. По­ло­же­ние на карте мира

 

В ме­ха­ни­ке мы чаще всего будем ис­поль­зо­вать пря­мо­уголь­ную (или де­кар­то­ву) си­сте­му ко­ор­ди­нат. В ней по­ло­же­ние точки на плос­ко­сти за­да­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Есть точка от­сче­та, то есть на­ча­ло ко­ор­ди­нат, и есть два вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ных на­прав­ле­ния. По­ло­же­ние точки за­да­ет­ся рас­сто­я­ни­ем, ко­то­рое нужно прой­ти от на­ча­ла ко­ор­ди­нат в одном и во вто­ром на­прав­ле­нии, чтобы по­пасть в эту точку (см. рис. 19), как в ки­но­те­ат­ре при про­дви­же­нии по рядам и вдоль ряда по ме­стам.

Де­кар­то­ва си­сте­ма ко­ор­ди­нат

Рис. 19. Де­кар­то­ва си­сте­ма ко­ор­ди­нат

 Система отсчета. Итоги

Итак, мы опи­сы­ва­ем дви­же­ние ма­те­ри­аль­ной точки. Чтобы его опи­сать, нам нужно тело от­сче­та, от­но­си­тель­но ко­то­ро­го за­да­вать по­ло­же­ние точки. Нужна си­сте­ма ко­ор­ди­нат, чтобы точно и од­но­знач­но за­да­вать по­ло­же­ние (см. рис. 20).

Си­сте­ма от­сче­та

Рис. 20. Си­сте­ма от­сче­та

Но дви­же­ние – это пе­ре­ме­ще­ние с те­че­ни­ем вре­ме­ни, по­это­му нужно еще опре­де­лить­ся с из­ме­ре­ни­ем вре­ме­ни. Ка­за­лось бы, се­кун­да у всех на часах длит­ся оди­на­ко­во, если не счи­тать неис­прав­ных часов, тогда в чем про­бле­ма из­ме­рять время? Пред­ставь­те: если на­ча­ло дви­же­ния за­сечь по часам, ко­то­рые по­ка­зы­ва­ют 14:40, а окон­ча­ние – по се­кун­до­ме­ру, ко­то­рый оста­но­вит­ся на по­ка­за­нии 02:36:41, при­чем неиз­вест­но, когда он за­пу­щен. По­это­му с при­бо­ром из­ме­ре­ния вре­ме­ни и мо­мен­том на­ча­ла из­ме­ре­ния тоже нужно опре­де­лить­ся, как мы опре­де­ля­ем­ся с телом от­сче­та и си­сте­мой ко­ор­ди­нат.

Те­перь у нас есть все ин­стру­мен­ты, ко­то­рые нужны для опи­са­ния дви­же­ния: тело от­сче­та, си­сте­ма ко­ор­ди­нат и при­бор из­ме­ре­ния вре­ме­ни. Вме­сте они со­став­ля­ют си­сте­му от­сче­та.

При ре­ше­нии задач мы будем са­мо­сто­я­тель­но вы­би­рать си­сте­му от­сче­та, в ко­то­рой опи­сан­ный в за­да­че про­цесс нам будет рас­смат­ри­вать наи­бо­лее удоб­но.

Последнее изменение: Среда, 30 Май 2018, 17:00