Решение задач по теме «Прямолинейное равномерное и неравномерное движение»

За­да­ча 1.

Усло­вие: са­мо­лет, ле­тя­щий со ско­ро­стью 900 км/ч, со­вер­ша­ет по­сад­ку. Время до пол­ной оста­нов­ки са­мо­ле­та 25 с. Необ­хо­ди­мо опре­де­лить длину взлет­ной по­ло­сы.

Рис. 1. К усло­вию за­да­чи 1

 900 км/ч надо пе­ре­ве­сти в СИ, т.о. на­чаль­ная ско­рость са­мо­ле­та при по­сад­ке 250 м/с. Необ­хо­ди­мо за­ме­тить, что, когда са­мо­лет со­вер­ша­ет по­сад­ку, его ко­неч­ная ско­рость будет равна нулю.

На ри­сун­ке уско­ре­ние имеет на­прав­ле­ние про­тив оси Ох, тем самым мы долж­ны по­ни­мать, что про­ек­ция уско­ре­ния на ось Ох будет иметь от­ри­ца­тель­ное зна­че­ние.

В дан­ном слу­чае дви­же­ние пря­мо­ли­ней­ное (в одну сто­ро­ну), по­это­му пе­ре­ме­ще­ние или длина пе­ре­ме­ще­ния будет равна прой­ден­но­му пути и опре­де­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: .

Чтобы ре­шить окон­ча­тель­но эту за­да­чу, надо опре­де­лить уско­ре­ние:

                                          =

Об­ра­ти­те вни­ма­ние, что уско­ре­ние по­лу­чи­лось со зна­ком минус. В дан­ном слу­чае мы по­ни­ма­ем, что дви­же­ние за­мед­лен­ное. Ско­рость с те­че­ни­ем вре­ме­ни умень­ша­ет­ся.

Хо­те­лось бы сде­лать ак­цент на том, что в ре­ше­нии мы не ис­поль­зо­ва­ли обо­зна­че­ние век­то­ров. Вспом­ни­те, в на­ча­ле рас­суж­де­ния мы уже на­ри­со­ва­ли ри­су­нок, где точно по­ста­ви­ли на­прав­ле­ние век­тор­ных ве­ли­чин, свя­зан­ных с вы­бран­ной си­сте­мой от­сче­та, т.е. с осью Ох. Под­став­ля­ем в фор­му­лу, в урав­не­ние дви­же­ния Га­ли­лея все нам из­вест­ные ве­ли­чи­ны: .

Ответ: S = 3125 [м].

 Задача на комбинацию различных видов движения

За­да­ча 2, ко­то­рую мы рас­смот­рим, несколь­ко слож­нее.

Усло­вие: ав­то­бус на­чи­на­ет свое дви­же­ние от оста­нов­ки и за 5 с уве­ли­чи­ва­ет свою ско­рость до 36 км/ч. Затем 20 с ав­то­бус едет с по­сто­ян­ной ско­ро­стью и перед све­то­фо­ром тор­мо­зит, оста­нав­ли­ва­ет­ся, до пол­ной оста­нов­ки дви­жет­ся в те­че­ние 10 с. Опре­де­ли­те пол­ный прой­ден­ный путь этим ав­то­бу­сом.

Рис. 2. К усло­вию за­да­чи 2

Ре­ше­ние за­да­чи мы на­чи­на­ем с того, что опре­де­лим пер­вый уча­сток пути, т.е. тот уча­сток, на ко­то­ром ав­то­бус раз­го­ня­ет­ся. Обо­зна­чим его как S₁, и вы­чис­лять мы будем его по урав­не­нию Га­ли­лея. За­пи­сы­ва­ет­ся оно сле­ду­ю­щим об­ра­зом: 1) .

Чтобы вы­чис­лить S₁, тре­бу­ет­ся обя­за­тель­но знать уско­ре­ние. Уско­ре­ние обо­зна­чим а = а₁.

Дви­же­ние на­чи­на­ет­ся от оста­нов­ки, это озна­ча­ет, что на­чаль­ная ско­рость V₀ = 0. Най­дем уско­ре­ние: . При­ни­мая, что V₀ = 0, фор­му­ла при­об­ре­та­ет вид =.

От­сю­да сле­ду­ет, что == после того, как мы под­ста­вим все зна­че­ния.

Вы­чис­ля­ем те­перь прой­ден­ный путь S₁. С уче­том того, что V₀ = 0, фор­му­ла при­об­ре­та­ет вид: .

Если те­перь под­ста­вить сюда все из­вест­ные зна­че­ния, то мы по­лу­ча­ем зна­че­ние: =.

Итак, пер­вый этап: ав­то­бус разо­гнал­ся от 0 до 10 м/с, прой­дя рас­сто­я­ние 25 м.

Сле­ду­ю­щая часть по­свя­ще­на рав­но­мер­но­му дви­же­нию, когда ав­то­бус дви­жет­ся рав­но­мер­но в те­че­ние 20 с, и за­мед­лен­но­му дви­же­нию, когда ав­то­бус на­чи­на­ет оста­нав­ли­вать­ся. Опре­де­ля­ем прой­ден­ное рас­сто­я­ние при рав­но­мер­ном пря­мо­ли­ней­ном дви­же­нии. В этом слу­чае S₂ = V₁^.t₂ = 10^.20 = 200 [м].

Тре­тий пункт – это мо­мент оста­нов­ки ав­то­бу­са, т.е. рас­сто­я­ние, ко­то­рое он про­хо­дит до оста­нов­ки. Здесь .

В этом урав­не­нии, чтобы опре­де­лить S₃, тре­бу­ет­ся знать зна­че­ние уско­ре­ния:

=.

Это озна­ча­ет, что дви­же­ние за­мед­ля­ет­ся. Оно на­прав­ле­но про­тив вы­бран­ной оси. Под­ста­вив все зна­че­ния, мы по­лу­ча­ем вы­ра­же­ние для S₃: .

До пол­ной оста­нов­ки ав­то­бус про­хо­дит 50 м. Чтобы вы­чис­лить окон­ча­тель­ный ответ, нужно все прой­ден­ные рас­сто­я­ния сло­жить:

S = S₁+ S₂+ S₃= 25 + 200 + 50 = 275 [м].

 Решение второй задачи графическим методом

Рас­смот­рим вто­рой вид ре­ше­ния, так на­зы­ва­е­мый гра­фи­че­ский спо­соб ре­ше­ния. Вспом­ним, что пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ная с одной сто­ро­ны осью вре­ме­ни, а с дру­гой сто­ро­ны гра­фи­ком ско­ро­сти, есть прой­ден­ный путь.

На­ри­су­ем гра­фик за­ви­си­мо­сти ско­ро­сти ав­то­бу­са от вре­ме­ни. В те­че­ние 5 с ско­рость тела, ско­рость ав­то­бу­са уве­ли­чи­ва­ет­ся от 0 до 10 м/с. Затем 20 с, т.е. от 5 до 25 с, ско­рость по­сто­ян­на и равна 10 м/с. Затем в те­че­ние 10 с, т.е. от 25 с до 35 с, ав­то­бус оста­нав­ли­ва­ет­ся.

Рис. 3. Гра­фик за­ви­си­мо­сти ско­ро­сти от вре­ме­ни (за­да­ча 2) 

Фи­гу­ра, ко­то­рая по­лу­ча­ет­ся в связи с тем, что мы на­ри­со­ва­ли, – это тра­пе­ция. Из ма­те­ма­ти­ки вы пом­ни­те, что пло­щадь тра­пе­ции опре­де­ля­ет­ся как по­лу­сум­ма ос­но­ва­ний, умно­жен­ная на вы­со­ту. Это . В нашем слу­чае =275 [м].

20 – это одно ос­но­ва­ние, верх­нее ос­но­ва­ние, малое ос­но­ва­ние, если хо­ти­те, то самое, ко­то­рое опре­де­ля­ет­ся рав­но­мер­ным дви­же­ни­ем ав­то­бу­са и плюс 35.

Об­ра­ти­те вни­ма­ние на ответ, ко­то­рый мы по­лу­чи­ли в пер­вом слу­чае: S = S₁ + S₂ + S₃ = 25 + 200 + 50 = 275 [м]. И ответ, ко­то­рый по­лу­чи­ли сей­час 275 [м].

Они оди­на­ко­вы, сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ние за­да­чи может быть и таким – ана­ли­ти­че­ским, и гра­фи­че­ским.