Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

 Опыт Галилея

Пер­вым решил за­да­чу ме­сто­по­ло­же­ния тела в опре­де­лён­ный мо­мент вре­ме­ни при уско­рен­ном дви­же­нии ита­льян­ский учё­ный Га­ли­лео Га­ли­лей. Свои опыты он про­во­дил с на­клон­ной плос­ко­стью. По же­ло­бу он за­пус­кал шар, муш­кет­ную пулю, а затем опре­де­лял уско­ре­ние этого тела. Как же он это делал? Он знал длину на­клон­ной плос­ко­сти, а время опре­де­лял по би­е­нию сво­е­го серд­ца или по пуль­су.

 Определение перемещения по графику скорости

Рас­смот­рим гра­фик за­ви­си­мо­сти ско­ро­сти рав­но­уско­рен­но­го пря­мо­ли­ней­но­го дви­же­ния от вре­ме­ни. Эта за­ви­си­мость вам из­вест­на, она пред­став­ля­ет собой пря­мую линию: v = v₀ + at

Рис.1. Опре­де­ле­ние пе­ре­ме­ще­ния при рав­но­уско­рен­ном пря­мо­ли­ней­ном дви­же­нии

Гра­фик ско­ро­сти раз­би­ва­ем на ма­лень­кие пря­мо­уголь­ные участ­ки. Каж­дый уча­сток будет со­от­вет­ство­вать опре­де­лён­ной по­сто­ян­ной ско­ро­сти. Надо опре­де­лить прой­ден­ный путь за пер­вый про­ме­жу­ток вре­ме­ни. За­пи­шем фор­му­лу: .

Те­перь по­счи­та­ем сум­мар­ную пло­щадь всех име­ю­щих­ся у нас фигур. А сумма пло­ща­дей при рав­но­мер­ном дви­же­нии – это пол­ный прой­ден­ный путь.

Об­ра­ти­те вни­ма­ние, от точки к точке ско­рость будет из­ме­нять­ся, тем самым мы по­лу­чим путь, прой­ден­ный телом имен­но при пря­мо­ли­ней­ном рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии.

За­ме­тим, что при пря­мо­ли­ней­ном рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии тела, когда ско­рость и уско­ре­ние на­прав­ле­ны в одну сто­ро­ну, мо­дуль пе­ре­ме­ще­ния равен прой­ден­но­му пути, по­это­му, когда мы опре­де­ля­ем мо­дуль пе­ре­ме­ще­ния – опре­де­ля­ем прой­ден­ный путь. В дан­ном слу­чае можем го­во­рить, что мо­дуль пе­ре­ме­ще­ния будет равен пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком ско­ро­сти и вре­ме­ни.

Вос­поль­зу­ем­ся ма­те­ма­ти­че­ски­ми фор­му­ла­ми для вы­чис­ле­ния пло­ща­ди ука­зан­ной фи­гу­ры.

 - пло­щадь фи­гу­ры, (чис­лен­но рав­ная прой­ден­но­му пути), равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний, умно­жен­ной на вы­со­ту. Об­ра­ти­те вни­ма­ние, что на ри­сун­ке одним из ос­но­ва­ний яв­ля­ет­ся на­чаль­ная ско­рость. А вто­рым ос­но­ва­ни­ем тра­пе­ции будет ко­неч­ная ско­рость, обо­зна­чен­ная бук­вой , умно­жен­ная на . Это озна­ча­ет, что вы­со­та тра­пе­ции , это про­ме­жу­ток вре­ме­ни, за ко­то­рое про­изо­шло дви­же­ние.

Ко­неч­ную ско­рость, рас­смот­рен­ную на преды­ду­щем уроке, мы можем за­пи­сать как сумму на­чаль­ной ско­ро­сти и вкла­да, обу­слов­лен­но­го на­ли­чи­ем у тела по­сто­ян­но­го уско­ре­ния. По­лу­ча­ет­ся вы­ра­же­ние:

Если от­крыть скоб­ки, то  ста­но­вит­ся удво­ен­ным. Мы можем за­пи­сать сле­ду­ю­щее вы­ра­же­ние:

Если по от­дель­но­сти за­пи­сать каж­дое из этих вы­ра­же­ний, ито­гом будет сле­ду­ю­щее:

Это урав­не­ние впер­вые было по­лу­че­но бла­го­да­ря экс­пе­ри­мен­там Га­ли­лео Га­ли­лея. По­это­му можно счи­тать, что имен­но этот уче­ный впер­вые дал воз­мож­ность опре­де­лить ме­сто­по­ло­же­ние тела в любой мо­мент. Это и есть ре­ше­ние глав­ной за­да­чи ме­ха­ни­ки.

 Определение координаты тела

Те­перь да­вай­те вспом­ним, что прой­ден­ный путь, рав­ный в нашем слу­чае мо­ду­лю пе­ре­ме­ще­ния, вы­ра­жа­ет­ся раз­но­стью: 

Если в урав­не­ние Га­ли­лея под­ста­вить по­лу­чен­ное нами вы­ра­же­ние для S, то за­пи­шем закон, по ко­то­ро­му дви­жет­ся тело при пря­мо­ли­ней­ном рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии:

Сле­ду­ет пом­нить, что ско­рость, ее про­ек­ция и уско­ре­ние могут быть от­ри­ца­тель­ны­ми.

Сле­ду­ю­щим эта­пом рас­смот­ре­ния дви­же­ния ста­нет ис­сле­до­ва­ние дви­же­ния по кри­во­ли­ней­ной тра­ек­то­рии.