Импульс. Закон сохранения импульса

Введение

В механике одним из ключевых понятий является импульс тела — величина, характеризующая движение тела с учетом его массы и скорости. Изучение импульса тесно связано с законом сохранения и с взаимодействием тел, например, при столкновениях, отдаче и движении ракет.

Импульс позволяет понять, как изменение скорости тела связано с действием сил, и как взаимодействие объектов влияет на их движение. Понимание этой темы важно для практического анализа механических систем, включая транспорт, спортивные движения и космическую технику.

Импульс тела

Импульс тела $p with ⃗ on top$ определяется как произведение массы на скорость:

$display style p with ⃗ on top equals m v with ⃗ on top$

$Свойства импульса:$

Пропорционален массе и скорости тела.
Направлен вдоль траектории движения.
Изменение импульса связано с действием силы.

Импульс силы

Если на тело действует сила $F with ⃗ on top$ в течение времени $straight capital delta t$ , то его импульс изменяется:

$display style F with ⃗ on top straight capital delta t equals straight capital delta p with ⃗ on top$

$Эта величина называется импульсом силы . Она показывает, как сила, действующая за определенный промежуток времени, изменяет скорость тела.$

Закон сохранения импульса

В замкнутой системе, где не действуют внешние силы, суммарный импульс всех тел сохраняется:

$display style sum p with ⃗ on top subscript text до end text end subscript equals sum p with ⃗ on top subscript text после end text end subscript$

Применение закона:

Столкновения тел (упругие и неупругие).
Отдача оружия или ракеты.
Движение транспортных средств.

Связь с законами Ньютона

Второй закон Ньютона

В импульсной форме второй закон Ньютона выглядит так:

$display style F with ⃗ on top equals fraction numerator d p with ⃗ on top over denominator d t end fraction$

$m$ :

$display style fraction numerator d p with ⃗ on top over denominator d t end fraction equals m fraction numerator d v with ⃗ on top over denominator d t end fraction equals m a with ⃗ on top equals F with ⃗ on top$

$Это показывает прямую связь между силой и изменением импульса.$

Третий закон Ньютона

Третий закон Ньютона:

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению:

$display style F with ⃗ on top subscript 12 equals negative F with ⃗ on top subscript 21$

Из этого следует, что при взаимодействии двух тел:

$display style straight capital delta p with ⃗ on top subscript 1 plus straight capital delta p with ⃗ on top subscript 2 equals 0$

Суммарный импульс системы сохраняется, что и формулирует закон сохранения импульса.

Примеры решения задач

Задача 1. Абсолютно упругое столкновение

Условие:
Тела массами $m subscript 1 equals 2 text кг end text$ и $m subscript 2 equals 3 text кг end text$ движутся по одной линии со скоростями $v subscript 1 equals 4 text м/с end text$ и $v subscript 2 equals 1 text м/с end text$ . Найти скорости после абсолютно упругого столкновения.

Решение:
Используем законы сохранения импульса и энергии:

$display style v subscript 1 superscript straight prime equals fraction numerator not stretchy left parenthesis m subscript 1 minus m subscript 2 not stretchy right parenthesis v subscript 1 plus 2 m subscript 2 v subscript 2 over denominator m subscript 1 plus m subscript 2 end fraction equals 0 comma 4 text м/с end text$ $display style v subscript 2 superscript straight prime equals fraction numerator not stretchy left parenthesis m subscript 2 minus m subscript 1 not stretchy right parenthesis v subscript 2 plus 2 m subscript 1 v subscript 1 over denominator m subscript 1 plus m subscript 2 end fraction equals 3 comma 4 text м/с end text$

Ответ:

$display style v subscript 1 superscript straight prime equals 0 comma 4 text м/с end text comma space of 1em v subscript 2 superscript straight prime equals 3 comma 4 text м/с end text$

Задача 2. Ракета и выброс топлива

Условие:
Ракета массой $1000 text кг end text$ выбрасывает 100 кг топлива со скоростью 500 м/с относительно ракеты. Найти скорость ракеты после выброса топлива.

Решение:
Суммарный импульс сохраняется:

$display style 0 equals not stretchy left parenthesis M minus m not stretchy right parenthesis v minus m u space of 1em rightwards double arrow space of 1em v equals fraction numerator m u over denominator M minus m end fraction equals 55 comma 6 text м/с end text$

Ответ:

$display style v almost equal to 55 comma 6 text м/с end text$

Задача 3. Неупругое столкновение автомобилей

Условие:
Автомобиль массой 800 кг движется со скоростью 20 м/с и сталкивается с неподвижным грузовиком массой 1200 кг. Найти скорость системы после неупругого сцепления.

Решение:

$display style m subscript 1 v subscript 1 plus m subscript 2 v subscript 2 equals not stretchy left parenthesis m subscript 1 plus m subscript 2 not stretchy right parenthesis v space of 1em rightwards double arrow space of 1em 800 times 20 plus 1200 times 0 equals 2000 times v$ $display style v equals 8 text м/с end text$

Ответ:

$display style v equals 8 text м/с end text$

Вопросы для самопроверки

Что такое импульс тела и как он определяется?
Как изменяется импульс под действием силы?
Что такое импульс силы и как он связан с изменением скорости тела?
Сформулируйте закон сохранения импульса.
Как закон сохранения импульса применим к упругим и неупругим столкновениям?
Как второй закон Ньютона записывается через импульс?
Почему третий закон Ньютона приводит к сохранению суммарного импульса замкнутой системы?
Приведите примеры применения закона сохранения импульса в реальной жизни.
Как рассчитать скорость ракеты после выброса топлива, используя закон сохранения импульса?
Чем отличается линейный импульс от углового импульса (если знакомы с вращательным движением)?

Последнее изменение: Пятница, 14 Ноябрь 2025, 14:46