Импульс тела. Импульс силы

 Импульс силы. Импульс тела

По­ня­тие им­пуль­са было вве­де­но еще в пер­вой по­ло­вине XVII века Рене Де­кар­том, а затем уточ­не­но Иса­а­ком Нью­то­ном. Со­глас­но Нью­то­ну, ко­то­рый на­зы­вал им­пульс ко­ли­че­ством дви­же­ния, – это есть мера та­ко­во­го, про­пор­ци­о­наль­ная ско­ро­сти тела и его массе. Со­вре­мен­ное опре­де­ле­ние: им­пульс тела – это фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на, рав­ная про­из­ве­де­нию массы тела на его ско­рость:

   =  m 

Пре­жде всего, из при­ве­ден­ной фор­му­лы видно, что им­пульс – ве­ли­чи­на век­тор­ная и его на­прав­ле­ние сов­па­да­ет с на­прав­ле­ни­ем ско­ро­сти тела, еди­ни­цей из­ме­ре­ния им­пуль­са слу­жит:

[ ] =  [ кг· м/с]

Рас­смот­рим, каким же об­ра­зом эта фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на свя­за­на с за­ко­на­ми дви­же­ния. За­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на, учи­ты­вая, что уско­ре­ние есть из­ме­не­ние ско­ро­сти с те­че­ни­ем вре­ме­ни:

На­ли­цо связь между дей­ству­ю­щей на тело силой, точ­нее, рав­но­дей­ству­ю­щей сил и из­ме­не­ни­ем его им­пуль­са. Ве­ли­чи­на про­из­ве­де­ния силы на про­ме­жу­ток вре­ме­ни носит на­зва­ние им­пуль­са силы. Из при­ве­ден­ной фор­му­лы видно, что из­ме­не­ние им­пуль­са тела равно им­пуль­су силы.

Какие эф­фек­ты можно опи­сать с по­мо­щью дан­но­го урав­не­ния (рис. 1)?

Рис. 1. Связь им­пуль­са силы с им­пуль­сом тела

Стре­ла, вы­пус­ка­е­мая из лука. Чем доль­ше про­дол­жа­ет­ся кон­такт те­ти­вы со стре­лой (∆t), тем боль­ше из­ме­не­ние им­пуль­са стре­лы (∆ ), а сле­до­ва­тель­но, тем выше ее ко­неч­ная ско­рость.

Два стал­ки­ва­ю­щих­ся ша­ри­ка. Пока ша­ри­ки на­хо­дят­ся в кон­так­те, они дей­ству­ют друг на друга с рав­ны­ми по мо­ду­лю си­ла­ми, как учит нас тре­тий закон Нью­то­на. Зна­чит, из­ме­не­ния их им­пуль­сов также долж­ны быть равны по мо­ду­лю, даже если массы ша­ри­ков не равны.

Про­ана­ли­зи­ро­вав фор­му­лы, можно сде­лать два важ­ных вы­во­да:

1. Оди­на­ко­вые силы, дей­ству­ю­щие в те­че­ние оди­на­ко­во­го про­ме­жут­ка вре­ме­ни, вы­зы­ва­ют оди­на­ко­вые из­ме­не­ния им­пуль­са у раз­лич­ных тел, неза­ви­си­мо от массы по­след­них.

2. Од­но­го и того же из­ме­не­ния им­пуль­са тела можно до­бить­ся, либо дей­ствуя неболь­шой силой в те­че­ние дли­тель­но­го про­ме­жут­ка вре­ме­ни, либо дей­ствуя крат­ко­вре­мен­но боль­шой силой на то же самое тело.

Со­глас­но вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на, можем за­пи­сать:

  ∆t =  ∆              = ∆ / ∆t

От­но­ше­ние из­ме­не­ния им­пуль­са тела к про­ме­жут­ку вре­ме­ни, в те­че­ние ко­то­ро­го это из­ме­не­ние про­изо­шло, равно сумме сил, дей­ству­ю­щих на тело.

Про­ана­ли­зи­ро­вав это урав­не­ние, мы видим, что вто­рой закон Нью­то­на поз­во­ля­ет рас­ши­рить класс ре­ша­е­мых задач и вклю­чить за­да­чи, в ко­то­рых масса тел из­ме­ня­ет­ся с те­че­ни­ем вре­ме­ни.

Если же по­пы­тать­ся ре­шить за­да­чи с пе­ре­мен­ной мас­сой тел при по­мо­щи обыч­ной фор­му­ли­ров­ки вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на:

 = m,

то по­пыт­ка та­ко­го ре­ше­ния при­ве­ла бы к ошиб­ке.

При­ме­ром тому могут слу­жить уже упо­ми­на­е­мые ре­ак­тив­ный са­мо­лет или кос­ми­че­ская ра­ке­та, ко­то­рые при дви­же­нии сжи­га­ют топ­ли­во, и про­дук­ты этого сжи­га­е­мо­го вы­бра­сы­ва­ют в окру­жа­ю­щее про­стран­ство. Есте­ствен­но, масса са­мо­ле­та или ра­ке­ты умень­ша­ет­ся по мере рас­хо­да топ­ли­ва. 

 Краткие итоги

Несмот­ря на то что вто­рой закон Нью­то­на в виде «рав­но­дей­ству­ю­щая сила равна про­из­ве­де­нию массы тела на его уско­ре­ние» поз­во­ля­ет ре­шить до­воль­но ши­ро­кий класс задач, су­ще­ству­ют слу­чаи дви­же­ния тел, ко­то­рые не могут быть пол­но­стью опи­са­ны этим урав­не­ни­ем. В таких слу­ча­ях необ­хо­ди­мо при­ме­нять дру­гую фор­му­ли­ров­ку вто­ро­го за­ко­на, свя­зы­ва­ю­щую из­ме­не­ние им­пуль­са тела с им­пуль­сом рав­но­дей­ству­ю­щей силы. Кроме того, су­ще­ству­ет ряд задач, в ко­то­рых ре­ше­ние урав­не­ний дви­же­ния яв­ля­ет­ся ма­те­ма­ти­че­ски крайне за­труд­ни­тель­ным либо во­об­ще невоз­мож­ным. В таких слу­ча­ях нам по­лез­но ис­поль­зо­вать по­ня­тие им­пуль­са.

 Вывод второго закона Ньютона

С по­мо­щью за­ко­на со­хра­не­ния им­пуль­са и вза­и­мо­свя­зи им­пуль­са силы и им­пуль­са тела мы можем вы­ве­сти вто­рой и тре­тий закон Нью­то­на.

Вто­рой закон Нью­то­на вы­во­дит­ся из со­от­но­ше­ния им­пуль­са силы и им­пуль­са тела.

Им­пульс силы равен из­ме­не­нию им­пуль­са тела:

Про­из­ве­дя со­от­вет­ству­ю­щие пе­ре­но­сы, мы по­лу­чим за­ви­си­мость силы от уско­ре­ния, ведь уско­ре­ние опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние из­ме­не­ния ско­ро­сти ко вре­ме­ни, в те­че­ние ко­то­ро­го это из­ме­не­ние про­изо­шло:

Под­ста­вив зна­че­ния в нашу фор­му­лу, по­лу­чим фор­му­лу вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на: 

 Вывод третьего закона Ньютона

Для вы­ве­де­ния тре­тье­го за­ко­на Нью­то­на нам по­на­до­бит­ся закон со­хра­не­ния им­пуль­са.

Век­то­ры под­чер­ки­ва­ют век­тор­ность ско­ро­сти, то есть то, что ско­рость может из­ме­нять­ся по на­прав­ле­нию. После пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­чим:

Так как про­ме­жу­ток вре­ме­ни в за­мкну­той си­сте­ме был ве­ли­чи­ной по­сто­ян­ной для обоих тел, мы можем за­пи­сать:

Мы по­лу­чи­ли тре­тий закон Нью­то­на: два тела вза­и­мо­дей­ству­ют друг с дру­гом с си­ла­ми, рав­ны­ми по ве­ли­чине и про­ти­во­по­лож­ны­ми по на­прав­ле­нию. Век­то­ры этих сил на­прав­ле­ны нав­стре­чу друг к другу, со­от­вет­ствен­но, мо­ду­ли этих сил равны по сво­е­му зна­че­нию.