Работа силы тяжести. Потенциальная энергия тела, поднятого над землей

 Вертикальное движение тела под действием силы тяжести

При неболь­ших рас­сто­я­ни­ях от по­верх­но­сти Земли сила тя­же­сти по­сто­ян­на и по мо­ду­лю равна , где m – масса тела, g – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния.

Пусть тело мас­сой m сво­бод­но па­да­ет с вы­со­ты  над ка­ким-ли­бо уров­нем, с ко­то­ро­го ве­дёт­ся от­счёт, до вы­со­ты  над тем же уров­нем (см. Рис. 1).

Рис. 1. Сво­бод­ное па­де­ние тела с вы­со­ты  до вы­со­ты 

При этом мо­дуль пе­ре­ме­ще­ния тела равен раз­но­сти этих высот:

 

Так как на­прав­ле­ние пе­ре­ме­ще­ния и силы тя­же­сти сов­па­да­ют, то ра­бо­та силы тя­же­сти равна:

 

Зна­че­ние высот в этой фор­му­ле можно от­счи­ты­вать от лю­бо­го уров­ня (уро­вень моря, уро­вень дна ямы, ко­то­рая вы­ры­та в земле, по­верх­ность стола, по­верх­ность пола и т. д.). В любом слу­чае вы­со­ту дан­ной по­верх­но­сти вы­би­ра­ют рав­ной нулю, по­это­му уро­вень дан­ной вы­со­ты на­зы­ва­ют ну­ле­вым уров­нем.

Если тело па­да­ет с вы­со­ты h до ну­ле­во­го уров­ня, то ра­бо­та силы тя­же­сти будет равна:

 

Если тело, бро­шен­ное вверх с ну­ле­во­го уров­ня, до­сти­га­ет вы­со­ты hнад этим уров­нем, то ра­бо­та силы тя­же­сти будет равна:

 

 Движение тела по прямолинейной траектории, наклонённой под некоторым углом к горизонту

Пусть тело мас­сой m дви­жет­ся по на­клон­ной плос­ко­сти вы­со­той h и при этом со­вер­ша­ет пе­ре­ме­ще­ние , мо­дуль ко­то­ро­го равен длине на­клон­ной плос­ко­сти (см. Рис. 2).

Рис. 2. Дви­же­ние тела по на­клон­ной плос­ко­сти

Ра­бо­та силы равна ска­ляр­но­му про­из­ве­де­нию век­то­ра силы на век­тор пе­ре­ме­ще­ния тела, со­вер­шён­но­го под дей­стви­ем дан­ной силы, то есть ра­бо­та сила тя­же­сти в дан­ном слу­чае будет равна:

,

где  – угол между век­то­ра­ми силы тя­же­сти и пе­ре­ме­ще­ния.

На ри­сун­ке 2 видно, что пе­ре­ме­ще­ние () пред­став­ля­ет собой ги­по­те­ну­зу пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, а вы­со­та h – катет. Со­глас­но свой­ству пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка:

 

Сле­до­ва­тель­но

 

 Работа силы тяжести при движении тела по криволинейной траектории

Мы по­лу­чи­ли вы­ра­же­ние для ра­бо­ты силы тя­же­сти такое же, как в слу­чае вер­ти­каль­но­го дви­же­ния тела. Можно сде­лать вывод: если тра­ек­то­рия тела не яв­ля­ет­ся пря­мо­ли­ней­ной и тело дви­жет­ся под дей­стви­ем силы тя­же­сти, то ра­бо­та силы тя­же­сти опре­де­ля­ет­ся толь­ко из­ме­не­ни­ем вы­со­ты тела над неко­то­рым ну­ле­вым уров­нем и не за­ви­сит от тра­ек­то­рии дви­же­ния тела.

Рис. 3. Дви­же­ние тела по кри­во­ли­ней­ной тра­ек­то­рии

До­ка­жем преды­ду­щее утвер­жде­ние. Пусть тело дви­жет­ся по неко­то­рой кри­во­ли­ней­ной тра­ек­то­рии (см. Рис. 3). Эту тра­ек­то­рию мыс­лен­но раз­би­ва­ем на ряд малых участ­ков, каж­дый из ко­то­рых можно счи­тать ма­лень­кой на­клон­ной плос­ко­стью. Дви­же­ние тела по всей тра­ек­то­рии можно пред­ста­вить как дви­же­ние по мно­же­ству на­клон­ных плос­ко­стей. Ра­бо­та силы тя­же­сти на каж­дом из участ­ков будет равна про­из­ве­де­нию силы тя­же­сти на вы­со­ту дан­но­го участ­ка. Если из­ме­не­ния высот на от­дель­ных участ­ках равны , то ра­бо­ты силы тя­же­сти на них равны:

  

Пол­ная ра­бо­та на всей тра­ек­то­рии равна сумме работ на от­дель­ных участ­ках:

 

 

 

Так как

 – пол­ная вы­со­та, ко­то­рую пре­одо­ле­ло тело,

То

 

Таким об­ра­зом, ра­бо­та силы тя­же­сти не за­ви­сит от тра­ек­то­рии дви­же­ния тела и все­гда равна про­из­ве­де­нию силы тя­же­сти на раз­ность высот в ис­ход­ном и ко­неч­ном по­ло­же­ни­ях. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

При дви­же­нии вниз ра­бо­та по­ло­жи­тель­на, при дви­же­нии вверх – от­ри­ца­тель­на.

 Работа силы тяжести при движении тела по замкнутой траектории

Пусть неко­то­рое тело со­вер­ши­ло дви­же­ние по за­мкну­той тра­ек­то­рии, то есть оно сна­ча­ла спу­сти­лось вниз, а потом по ка­кой-то дру­гой тра­ек­то­рии вер­ну­лось в ис­ход­ную точку. Так как тело ока­за­лось в той же самой точке, в ко­то­рой оно было из­на­чаль­но, то раз­ность высот между на­чаль­ным и ко­неч­ным по­ло­же­ни­ем тела равна нулю, по­это­му и ра­бо­та силы тя­же­сти будет равна нулю. Сле­до­ва­тель­но, ра­бо­та силы тя­же­сти при дви­же­нии тела по за­мкну­той тра­ек­то­рии равна нулю.

 Потенциальная энергия тела

В фор­му­ле для ра­бо­ты силы тя­же­сти вы­не­сем (-1) за скоб­ку:

 

 

Из про­шлых уро­ков из­вест­но, что ра­бо­та сил, при­ло­жен­ных к телу, равна раз­но­сти между ко­неч­ным и на­чаль­ным зна­че­ни­ем ки­не­ти­че­ской энер­гии тела. В по­лу­чен­ной фор­му­ле  также видна связь между ра­бо­той силы тя­же­сти и раз­но­стью между зна­че­ни­я­ми неко­то­рой фи­зи­че­ской ве­ли­чи­ны, рав­ной . Такая ве­ли­чи­на на­зы­ва­ет­ся по­тен­ци­аль­ной энер­ги­ей тела, ко­то­рое на­хо­дит­ся на вы­со­те h над неко­то­рым ну­ле­вым уров­нем.

 

Из­ме­не­ние по­тен­ци­аль­ной энер­гии от­ри­ца­тель­но по ве­ли­чине, если со­вер­ша­ет­ся по­ло­жи­тель­ная ра­бо­та силы тя­же­сти (видно из фор­му­лы ). Если со­вер­ша­ет­ся от­ри­ца­тель­ная ра­бо­та, то из­ме­не­ние по­тен­ци­аль­ной энер­гии будет по­ло­жи­тель­ным.

 

Если тело па­да­ет с вы­со­ты h на ну­ле­вой уро­вень, то ра­бо­та силы тя­же­сти будет равна зна­че­нию по­тен­ци­аль­ной энер­гии тела, под­ня­то­го на вы­со­ту h.

 

По­тен­ци­аль­ная энер­гия тела, под­ня­то­го на неко­то­рую вы­со­ту над ну­ле­вым уров­нем, равна ра­бо­те, ко­то­рую со­вер­шит сила тя­же­сти при па­де­нии дан­но­го тела с дан­ной вы­со­ты на ну­ле­вой уро­вень.

В от­ли­чие от ки­не­ти­че­ской энер­гии, ко­то­рая за­ви­сит от ско­ро­сти тела, по­тен­ци­аль­ная энер­гия может быть не рав­ной нулю даже у по­ко­я­щих­ся тел.

Рис. 4. Тело, на­хо­дя­ще­е­ся ниже ну­ле­во­го уров­ня

Если тело на­хо­дит­ся ниже ну­ле­во­го уров­ня, то оно об­ла­да­ет от­ри­ца­тель­ной по­тен­ци­аль­ной энер­ги­ей (см. Рис. 4). То есть знак и мо­дуль по­тен­ци­аль­ной энер­гии за­ви­сят от вы­бо­ра ну­ле­во­го уров­ня. Ра­бо­та, ко­то­рая со­вер­ша­ет­ся при пе­ре­ме­ще­нии тела, от вы­бо­ра ну­ле­во­го уров­ня не за­ви­сит.

Тер­мин «по­тен­ци­аль­ная энер­гия» при­ме­ня­ет­ся толь­ко по от­но­ше­нию к си­сте­ме тел. Во всех вы­ше­при­ве­ден­ных рас­суж­де­ни­ях этой си­сте­мой была «Земля – тело, под­ня­тое над Зем­лёй».

 Задача (нахождение потенциальной энергии)

Од­но­род­ный пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед мас­сой m с рёб­ра­ми  рас­по­ла­га­ют на го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти на каж­дой из трёх гра­ней по­оче­рёд­но. Ка­ко­ва по­тен­ци­аль­ная энер­гия па­рал­ле­ле­пи­пе­да в каж­дом из этих по­ло­же­ний?

Дано:m – масса па­рал­ле­ле­пи­пе­да;  – длина рёбер па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Найти: ; ; 

Ре­ше­ние

Если нужно опре­де­лить по­тен­ци­аль­ную энер­гию тела ко­неч­ных раз­ме­ров, то можно счи­тать, что вся масса та­ко­го тела со­сре­до­то­че­на в одной точке, ко­то­рая на­зы­ва­ет­ся цен­тром масс дан­но­го тела.

В слу­чае сим­мет­рич­ных гео­мет­ри­че­ских тел центр масс сов­па­да­ет с гео­мет­ри­че­ским цен­тром, то есть (для дан­ной за­да­чи) с точ­кой пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Таким об­ра­зом, необ­хо­ди­мо по­счи­тать вы­со­ту, на ко­то­рой рас­по­ло­же­на дан­ная точка при раз­лич­ных рас­по­ло­же­ни­ях па­рал­ле­ле­пи­пе­да (см. Рис. 5).

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

 

 

 

Для того чтобы найти по­тен­ци­аль­ную энер­гию, необ­хо­ди­мо по­лу­чен­ные зна­че­ния вы­со­ты умно­жить на массу па­рал­ле­ле­пи­пе­да и уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния.

 

 

 

Ответ:; ;