Импульс

Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени Δt действовала сила $begin mathsize 12px style F with rightwards arrow on top end style$ Под действием этой силы скорость тела изменилась на $begin mathsize 12px style increment nu with rightwards arrow on top equals increment stack nu subscript 2 with rightwards arrow on top equals increment stack nu subscript 1 with rightwards arrow on top end style$ Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением

$begin mathsize 12px style alpha with rightwards arrow on top equals fraction numerator increment v with rightwards arrow on top over denominator increment t end fraction equals fraction numerator v with rightwards arrow on top subscript 2 minus v with rightwards arrow on top subscript 1 over denominator increment t end fraction end style$

Из основного закона динамики (второго закона Ньютона) следует:

$begin mathsize 12px style F with rightwards arrow on top equals m a with rightwards arrow on top equals m fraction numerator open parentheses v with rightwards arrow on top subscript 2 minus v with rightwards arrow on top subscript 1 close parentheses over denominator increment t end fraction end style$ или $begin mathsize 12px style F with rightwards arrow on top increment t equals m v with rightwards arrow on top subscript 2 minus m v with rightwards arrow on top subscript 1 equals m increment v with rightwards arrow on top equals increment open parentheses m v with rightwards arrow on top close parentheses end style$

Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела (или количеством движения). Импульс тела – векторная величина.

Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы. Импульс силы также является векторной величиной.

В новых терминах второй закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом: изменение импульса тела (количества движения) равно импульсу силы.

Обозначив импульс тела буквой $begin mathsize 12px style v with rightwards arrow on top end style$ второй закон Ньютона можно записать в виде

$begin mathsize 12px style box enclose F with rightwards arrow on top increment t equals increment p with rightwards arrow on top end enclose end style$

Именно в таком общем виде сформулировал второй закон сам Ньютон. Сила в этом выражении представляет собой равнодействующую всех сил, приложенных к телу. Это векторное равенство может быть записано в проекциях на координатные оси:

$begin mathsize 12px style F subscript x increment t equals increment p subscript x semicolon end style$ $begin mathsize 12px style F subscript y increment t equals increment p subscript y semicolon end style$ $begin mathsize 12px style F subscript z increment t equals increment p subscript z semicolon end style$

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:

$begin mathsize 12px style p with rightwards arrow on top equals sum for i of m subscript i v with rightwards arrow on top subscript i end style$

соответственно величина $begin mathsize 12px style p with rightwards arrow on top equals m subscript i v with rightwards arrow on top subscript i end style$ называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

В релятивистской механике трёхмерным импульсом системы невзаимодействующих материальных точек называется величина

$begin mathsize 12px style p with rightwards arrow on top equals sum for i of fraction numerator m subscript i v with rightwards arrow on top subscript i over denominator square root of 1 minus v squared divided by c squared end root end fraction end style$ где m_i — масса i-й материальной точки.

Для замкнутой системы не взаимодействующих материальных точек эта величина сохраняется. Однако трёхмерный импульс не есть релятивистски инвариантная величина, так как он зависит от системы отсчёта. Более осмысленной величиной будет четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки определяется как

$begin mathsize 12px style p subscript mu equals open parentheses E divided by c comma p with rightwards arrow on top close parentheses equals open parentheses fraction numerator m subscript 0 c over denominator square root of 1 minus v subscript i squared divided by c squared end root end fraction comma space fraction numerator m subscript 0 v with rightwards arrow on top over denominator square root of 1 minus v subscript i squared divided by c squared end root end fraction close parentheses end style$

На практике часто применяются следующие соотношения между массой, импульсом и энергией частицы:

E²-p²c²=m²c⁴ $begin mathsize 12px style p equals E over c squared v end style$

Вопросы к конспектам

Два тела движутся по взаимно перпендикулярным пересекающимся прямым, как показано на рисунке. 2tela2

Два шара с одинаковыми массами m двигались навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями υ. После неупругого столкновения оба шара остановились. Изменение суммы импульсов двух шаров в результате столкновения равно

Кубик массой m движется по гладкому столу со скоростью v и налетает на покоящийся кубик такой же массы. После удара кубики движутся как единое целое без вращений, при этом:

Маятник массой m проходит точку равновесия со скоростью v. Через половину периода колебаний он проходит точку равновесия, двигаясь в противоположном направлении с такой же по модулю скоростью v. Чему равен модуль изменения импульса маятника за это время?

С лодки массой 0,5 т выбирается канат и подается на баркас. Пути, пройденные лодкой и баркасом до их встречи, соответственно равны 8 м и 2 м. Масса баркаса равна

Танк движется со скоростью v₁=18 км/ч, а грузовик со скоростью

v₂=72 км/ч. Масса танка m=36000. Отношение величины импульса танка к величине импульса грузовика равно 2,25. Масса грузовика равна

Тележка массой 100 кг равномерно движется по горизонтальной поверхности. На нее падает мешок с песком массой 10 кг. Скорость тележки уменьшится в

Тележка массой 4 кг, движущаяся со скоростью 3 м/с, сталкивается с неподвижной тележкой массой 4 кг и сцепляется с ней. Скорость тележек после взаимодействия равна

Человек массой 50 кг, сидя в неподвижной лодке массой 200 кг на озере, подтягивает к себе с помощью веревки вторую лодку массой 200 кг. Сила натяжения веревки 100 Н. За 10 с первая лодка пройдет расстояние

Ядро, летевшее горизонтально со скоростью 20 м/с, разорвалось на два осколка массами 5 кг и 10 кг. Скорость меньшего осколка 90 м/с и направлена так же, как и скорость ядра до взрыва. Скорость второго осколка равна

Последнее изменение: Среда, 6 Июнь 2018, 13:37