Потенциальная энергия в поле тяготения. Вторая космическая скорость

Мы живем на дне глу­бо­ко­го гра­ви­та­ци­он­но­го «ко­лод­ца». Изу­че­ни­ем этого дна – по­верх­но­сти Зем­но­го шара – за­пол­не­на вся ис­то­рия че­ло­ве­че­ства. Но все­гда на­хо­ди­лись от­ча­ян­ные меч­та­те­ли – ле­ген­да об Икаре тому сви­де­тель­ство – ко­то­рым хо­те­лось шаг­нуть не за го­ри­зонт, а ввысь. Тру­да­ми мно­го­чис­лен­ных уче­ных, на­чи­ная с без­вест­ных хал­дей­ских звез­до­че­тов, через Пто­ле­мея и Ко­пер­ни­ка, Га­ли­лея и Кепле­ра, и, на­ко­нец, ве­ли­ко­го Нью­то­на, люди при­шли к по­ни­ма­нию за­ко­но­мер­но­стей дви­же­ния в поле сил тя­же­сти. А. Штерн­фельд, один из пи­о­не­ров кос­мо­нав­ти­ки, раз­мыш­ляя о воз­мож­но­сти по­ле­та в кос­ми­че­ском про­стран­стве, ввел, неза­ви­си­мо от К. Э. Циол­ков­ско­го, по­ня­тие пер­вой кос­ми­че­ской ско­ро­сти и пред­ло­жил ее «в ка­че­стве еди­ни­цы для срав­не­ния кос­ми­че­ских ско­ро­стей, ха­рак­те­ри­зу­ю­щих дан­ную пла­не­ту». Далее он вы­стро­ил целую си­сте­му кос­ми­че­ских ско­ро­стей – свое­об­раз­ную кос­ми­че­скую лест­ни­цу. Да­вай­те прой­дем по несколь­ким сту­пе­ням этой лест­ни­цы.

 

Пред­ва­ри­тель­но по­лу­чим про­стое, но очень важ­ное со­от­но­ше­ние для по­тен­ци­аль­ной энер­гии тела в цен­траль­но-сим­мет­рич­ном гра­ви­та­ци­он­ном поле, т. е. таком поле, в ко­то­ром ве­ли­чи­на силы тя­же­сти за­ви­сит толь­ко от рас­сто­я­ния до цен­тра тя­го­те­ния. Имен­но таким яв­ля­ет­ся поле всех кос­ми­че­ских тел, ко­то­рые при­бли­жен­но можно счи­тать сфе­ри­че­ски­ми, – пла­нет, звезд и т. п.

Эле­мен­тар­ная ра­бо­та пе­ре­ме­ще­ния тела мас­сой  в поле тя­го­те­ния небес­но­го тела мас­сой  равна

,

где  – рас­сто­я­ние между цен­тра­ми масс обоих тел,  – гра­ви­та­ци­он­ная по­сто­ян­ная. Из­ме­не­ние по­тен­ци­аль­ной энер­гии тела, когда его рас­сто­я­ние до цен­тра тя­го­те­ния ме­ня­ет­ся от  до , равно ра­бо­те, со­вер­ша­е­мой над телом при таком пе­ре­ме­ще­нии:

.

Это един­ствен­ное место в кон­спек­те, ко­то­рое вам пока при­дет­ся при­нять на веру, по­сколь­ку вы пока не об­ла­да­е­те до­ста­точ­ны­ми ма­те­ма­ти­че­ски­ми зна­ни­я­ми.

Под­счи­та­ем ми­ни­маль­ную энер­гию, тре­бу­ю­щу­ю­ся для вы­ве­де­ния кос­ми­че­ско­го ко­раб­ля на кру­го­вую ор­би­ту ра­ди­у­сом  с по­верх­но­сти пла­не­ты ра­ди­у­сом . В этом слу­чае нам необ­хо­ди­мо не толь­ко из­ме­нить по­тен­ци­аль­ную энер­гию ко­раб­ля в поле тя­го­те­ния, но и со­об­щить ему неко­то­рую ки­не­ти­че­скую энер­гию для об­ра­ще­ния по кру­го­вой ор­би­те. Ско­рость об­ра­ще­ния на­хо­дит­ся из усло­вия ра­вен­ства уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния и цен­тро­стре­ми­тель­но­го уско­ре­ния:

и со­став­ля­ет

.

Тогда ми­ни­маль­ная ки­не­ти­че­ская энер­гия, ко­то­рую долж­ны со­об­щить ко­раб­лю дви­га­те­ли при взле­те, равна

,

от­ку­да на­хо­дим взлет­ную ско­рость, поз­во­ля­ю­щую вы­ве­сти ко­рабль на кру­го­вую ор­би­ту ра­ди­у­сом :

Возь­мем вна­ча­ле ра­ди­ус ор­би­ты . Тогда

,

где  – пер­вая кос­ми­че­ская ско­рость для рас­смат­ри­ва­е­мой пла­не­ты.

Для Земли, ко­то­рая, есте­ствен­но, ин­те­ре­су­ет нас пре­жде всего, .

Пусть те­перь , т. е. ко­рабль, стар­туя с по­верх­но­сти пла­не­ты, имеет такую ско­рость, что спо­со­бен пре­одо­леть узы тя­го­те­ния пла­не­ты и уда­лить­ся от нее на про­из­воль­но боль­шое рас­сто­я­ние. При этом ко­рабль будет дви­гать­ся по па­ра­бо­ли­че­ской тра­ек­то­рии. По этой при­чине такая ско­рость носит на­зва­ние па­ра­бо­ли­че­ской от­но­си­тель­но дан­ной пла­не­ты, или вто­рой кос­ми­че­ской. Она равна

.

Для Земли .

Все эти рас­суж­де­ния спра­вед­ли­вы для изо­ли­ро­ван­ной пла­не­ты. Од­на­ко если пла­не­та вхо­дит в пла­нет­ную си­сте­му, име­ю­щую цен­траль­ное све­ти­ло – Солн­це, то, осво­бо­див­шись от тя­го­те­ния пла­не­ты, ко­рабль от­нюдь не из­ба­вит­ся от при­тя­же­ния Солн­ца. Те­перь он ста­нет об­ра­щать­ся по за­мкну­той тра­ек­то­рии во­круг Солн­ца.

Рис. 1. Дви­же­ние тела во­круг Солн­ца

Чтобы разо­рвать путы сол­неч­но­го при­тя­же­ния, мы долж­ны со­об­щить ко­раб­лю па­ра­бо­ли­че­скую ско­рость от­но­си­тель­но Солн­ца (см. Рис. 1):

,

где  – масса Солн­ца,  – ра­ди­ус ор­би­ты пла­не­ты, ко­то­рую мы для про­сто­ты счи­та­ем кру­го­вой,  – ско­рость ор­би­таль­но­го дви­же­ния пла­не­ты.

Для Земли  и .

Озна­ча­ет ли это, что мы обя­за­ны разо­гнать ко­рабль до ско­ро­сти 42,1 км/с для того, чтобы он ушел про­из­воль­но да­ле­ко от Солн­ца? Ко­неч­но, нет, ведь мы можем ис­поль­зо­вать гран­ди­оз­ную ка­та­пуль­ту, ко­то­рой снаб­ди­ла нас при­ро­да, – Землю, несу­щу­ю­ся по своей ор­би­те со ско­ро­стью . Легко по­нять, что для Земли ско­рость, поз­во­ля­ю­щая, хотя бы в прин­ци­пе, до­ле­теть до лю­бо­го кос­ми­че­ско­го объ­ек­та, рас­по­ло­жен­но­го в плос­ко­сти ор­би­ты Земли за пре­де­ла­ми Сол­неч­ной си­сте­мы, – тре­тья кос­ми­че­ская ско­рость – равна

.

Итак, со­об­щив ко­раб­лю ско­рость  у по­верх­но­сти Земли, мы можем по­слать его к любой звез­де, ле­жа­щей в плос­ко­сти об­ра­ще­ния Земли. К любой, кроме бли­жай­шей – Солн­ца! Это – один из па­ра­док­сов, от­ме­чен­ных А. Штерн­фель­дом.

Можно по­ка­зать, что для того, чтобы ко­рабль мог дви­гать­ся по на­прав­ле­нию к цен­тру Солн­ца, нужно пол­но­стью ком­пен­си­ро­вать ор­би­таль­ное дви­же­ние Земли. Тем самым, чет­вер­тая кос­ми­че­ская ско­рость от­но­си­тель­но Земли равна

.

Далее, сле­дуя Штерн­фель­ду, можно вве­сти по­ня­тия пятой и ше­стой кос­ми­че­ских ско­ро­стей. Пятая поз­во­ля­ет до­стичь лю­бо­го кос­ми­че­ско­го объ­ек­та, дви­га­ясь в плос­ко­сти, пер­пен­ди­ку­ляр­ной к плос­ко­сти ор­би­ты Земли. Она опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем

.

При ше­стой кос­ми­че­ской ско­ро­сти так же, как и в слу­чае тре­тьей, полет про­ис­хо­дит по па­ра­бо­ле в плос­ко­сти ор­би­ты Земли, но стар­то­вать можно про­тив на­прав­ле­ния ор­би­таль­но­го дви­же­ния, что поз­во­ля­ет ле­теть к из­бран­но­му кос­ми­че­ско­му объ­ек­ту в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни. Эта ско­рость равна

.

А. Штерн­фельд счи­тал, что эти ско­ро­сти могут быть по­лез­ны при изу­че­нии комет.

И на­ко­нец, вер­нем­ся еще раз к вы­ра­же­нию для па­ра­бо­ли­че­ской ско­ро­сти от­но­си­тель­но ка­ко­го-ли­бо гра­ви­ти­ру­ю­ще­го тела сфе­ри­че­ской формы

.

Как мы видим, ве­ли­чи­на этой ско­ро­сти за­ви­сит от массы тела  и от его ра­ди­у­са , при­чем с умень­ше­ни­ем ра­ди­у­са ско­рость уве­ли­чи­ва­ет­ся. В нью­то­нов­ской ме­ха­ни­ке нет ни­ка­ких огра­ни­че­ний для ве­ли­чи­ны ско­ро­сти, од­на­ко мы знаем, что такие огра­ни­че­ния воз­ни­ка­ют в спе­ци­аль­ной тео­рии от­но­си­тель­но­сти: ни­ка­кой ма­те­ри­аль­ный объ­ект не может иметь ско­рость, боль­шую ско­ро­сти света в ва­ку­у­ме .

Для гра­ви­ти­ру­ю­ще­го тела можно по­ста­вить во­прос: какой ра­ди­ус долж­но иметь это тело для того, чтобы ни­ка­кой ма­те­ри­аль­ный объ­ект не мог уда­лить­ся от него на про­из­воль­но боль­шое рас­сто­я­ние? Такой ра­ди­ус на­зы­ва­ет­ся гра­ви­та­ци­он­ным ра­ди­у­сом дан­но­го тела и опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем

.

Ока­зы­ва­ет­ся, если по тем или иным при­чи­нам раз­мер ка­ко­го-ли­бо тела ста­но­вит­ся мень­ше гра­ви­та­ци­он­но­го ра­ди­у­са, тело пре­вра­ща­ет­ся в чер­ную дыру. Тем чи­та­те­лям, кому за­хо­чет­ся узнать по­боль­ше о свой­ствах этих об­ра­зо­ва­ний, ре­ко­мен­дую про­чи­тать пре­крас­ную книгу вы­да­ю­ще­го­ся ан­глий­ско­го уче­но­го С. Хокин­га «От боль­шо­го взры­ва до чер­ных дыр», вы­шед­шую в из­да­тель­стве «Мир» в 1990 году. Из пре­ди­сло­вия к этой книге аме­ри­кан­ско­го аст­ро­фи­зи­ка К. Са­га­на и взят наш эпи­граф.