Решение задач на движение по окружности (в том числе и на поворотах)
Основные законы и формулы, выражающие равномерное движение по окружности
При равномерном движении линейная скорость является постоянной величиной:
Следовательно, тангенциальное ускорение отсутствует, а ускорение равно нормальной составляющей. Тангенциальное ускорение – это ускорение, направленное вдоль той же прямой, вдоль которой направлена скорость, и которое вызывает изменение модуля скорости. В этом случае ускорение называется центростремительным:
Условие динамики для такого движения следует из второго закона Ньютона. Результирующая сил (центростремительная сила), приложенных к телу и вызывающих движение по окружности, равна произведению массы тела на центростремительное ускорение:
Из этого условия динамики следует:
- результирующая сил, приложенных к телу и сообщающих центростремительное ускорение, всегда направлена к центру (как и центростремительное ускорение):
- результирующая сил, приложенных к телу, численно равна:
Задача 1
С какой скоростью автомобиль должен проходить середину выпуклого моста радиусом 90 м, чтобы пассажир на мгновение оказался в невесомости? Варианты ответа: 1. 10 м/с; 2. 20 м/с; 3. 30 м/с; 4. 40 м/с.
Дано: 
; 
(сила реакции опоры равна нулю, так как пассажир, находясь в невесомости, не давит на сиденье автомобиля);
Найти: 
Решение
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
Решаем данную задачу в системе отсчета, связанной с Землей.
Человек движется вместе с автомобилем (см. Рис. 1) с ускорением, направленным вниз. На него действует только сила притяжения к Земле (
), именно она в данном случае является центростремительной.
Следовательно:
Ответ: 3. 30 м/с.
Задача 2
Девочка массой 40 кг качается на качели с длиной подвеса 4 м. С какой силой она давит на сиденье при прохождении среднего положения со скоростью 5 м/с? Варианты ответа: 1. 40 кг; 2. 400 Н; 3. 500 Н; 4. 650 Н.
Дано: 
; 
; 
Найти: 
Решение
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
На девочку (см. Рис. 2) действует сила тяжести () и сила реакции опоры (
). На качели действует сила давления (
), направленная вниз. По третьему закону Ньютона эта сила равна взятой со знаком минус силе реакции опоры.
То есть для решения задачи достаточно найти силу реакции опоры.
Из закона динамики следует:
В проекции на ось X:
Следовательно:
Ответ: 4. 650 Н.
Задача 3
Шарик, привязанный нитью к подвесу, описывает в горизонтальной плоскости окружность, имея постоянную скорость. Длина нити равна 0,6 м, ее угол с вертикалью составляет 
. Определить скорость шарика.
Дано: 
; 
Найти:
Решение
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Сумма сил и натяжения (
) по правилу параллелограмма равна результирующей силе 
(см. Рис. 3). Эта сила направлена в центр вращения.
Сумма сил находится из прямоугольного треугольника с углом (выделенный зеленым цветом). Так как – противолежащий катет, то:
Следовательно:
R входит в прямоугольный треугольник, в котором длина нити является гипотенузой (выделенный желтым цветом). R – катет, противолежащий углу
.
Подставляем выражение для радиуса в формулу квадрата скорости шарика:
Ответ: 
.
Задача 4
С какой максимальной скоростью может ехать мотоцикл по горизонтальной плоскости, описывая дугу окружности радиуса 100 м, если коэффициент трения резины о плоскость равен 0,4? Варианты ответа: 1. 10 м/с; 2. 20 м/с; 3. 30 м/с; 4. 40 м/с.
Дано: 
; 
Найти:
Решение
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
На рисунке 4 показан вид сзади мотоцикла с мотоциклистом. При повороте мотоцикл наклоняется к центру поворота. На мотоцикл действуют: сила тяжести ; сила реакции опоры ; сила трения 
; сила тягового трения (сила тяги) 
; сила сопротивления 
. Сумма этих сил равна:
Так как:
То:
Сила трения равна:
Следовательно:
Ответ: 2. 20 м/с.
Задача 5
При скорости движения поезда 36 км/ч на закруглении радиусом 400 м бокового давления на рельсы нет. Найти максимальную скорость поезда, при которой боковое давление не будет превышать 5 % его веса. Ширина колеи – 1006 мм.
Дано: 
; 
; 
– при максимальной скорости боковое давление составляет 5 % от силы тяжести; 
Найти: 
Решение
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
При закруглении наружный рельс укладывают выше внутреннего, поэтому боковое давление на рельсы отсутствует. Тот есть в таком случае как бы поворачивается сила реакции опоры на какой-то небольшой угол (
) (см. Рис. 5) от вертикального положения. Возникает сумма сил между реакцией опоры и силы тяжести, направленная к центру поворота, что позволяет поезду пройти поворот, не оказывая давление на рельс.
Второй закон Ньютона для начального условия выглядит следующим образом:
Из чертежа сложения сил видно, что результирующая (катет прямоугольного треугольника) этих сил равна:
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Когда поезд начинает ехать с большей скоростью, колесо начинает действовать на наружный рельс. Сила давления поезда на рельс (
вызывает силу реакции (см. Рис. 6), которая действует на поезд (
) (по третьему закону Ньютона). В таком случае, в проекции на направление ускорения получается следующее выражение:
Выразим , учитывая, что 
и 
:
Разделим обе части выражения на m и домножим на R:
Ответ: 
.