Равномерное движение по окружности

 Величины, входящие в уравнения кинематики равномерного движения по окружности

В урав­не­ния ки­не­ма­ти­ки рав­но­мер­но­го дви­же­ния по окруж­но­сти вхо­дят сле­ду­ю­щие по­ня­тия:

1. T (пе­ри­од) – время од­но­го пол­но­го обо­ро­та.

2.  – ча­сто­та об­ра­ще­ния.

Ча­сто­та и пе­ри­од – об­рат­но про­пор­ци­о­наль­ные ве­ли­чи­ны:

 

3. R – ра­ди­ус окруж­но­сти, по ко­то­ро­му дви­жет­ся тело

4.  – ли­ней­ная ско­рость (ско­рость вдоль тра­ек­то­рии). Так как за время, рав­ное пе­ри­о­ду, тело про­хо­дит путь, рав­ный длине окруж­но­сти, то:

 

5.  – уг­ло­вая ско­рость. Она равна от­но­ше­нию угла по­во­ро­та за все время пе­ри­о­да ко вре­ме­ни од­но­го пол­но­го обо­ро­та.

 

Ли­ней­ная ско­рость свя­за­на с уг­ло­вой сле­ду­ю­щим со­от­но­ше­ни­ем:

 

6. Если про­ис­хо­дит рав­но­мер­ное дви­же­ние по окруж­но­сти, то это не озна­ча­ет, что оно не имеет уско­ре­ния. Ско­рость по ве­ли­чине не ме­ня­ет­ся, но по на­прав­ле­нию ско­рость ме­ня­ет­ся все время. По­это­му нор­маль­ное уско­ре­ние, ко­то­рое ха­рак­те­ри­зу­ет быст­ро­ту из­ме­не­ния на­прав­ле­ния ско­ро­сти, в дан­ном слу­чае на­зы­ва­ет­ся цен­тро­стре­ми­тель­ным (на­прав­ле­но к цен­тру окруж­но­сти) и вы­чис­ля­ет­ся по сле­ду­ю­щим фор­му­лам:

 

 Задача 1 (определение линейной скорости)

Найти ли­ней­ную ско­рость точки при дви­же­нии по окруж­но­сти ра­ди­у­сом 1 м при уг­ло­вой ско­ро­сти . Ва­ри­ан­ты от­ве­та: 1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Дано: ; 

Найти:  

Ре­ше­ние

Ли­ней­ная ско­рость на­хо­дит­ся по сле­ду­ю­щей фор­му­ле:

 

Ответ: 3. .

 Задача 2 (определение периода вращения)

Найти пе­ри­од вра­ще­ния вала при ча­сто­те 60 обо­ро­тов в ми­ну­ту. Ва­ри­ан­ты от­ве­та: 1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Дано: 

Найти: 

Ре­ше­ние

Ча­сто­та равна 60 обо­ро­тов в ми­ну­ту, а ми­ну­та – это 60 се­кунд, сле­до­ва­тель­но, за 60 се­кунд вы­пол­ня­ет­ся 60 обо­ро­тов, а за одну се­кун­ду вы­пол­ня­ет­ся один обо­рот. Одна се­кун­да и есть ис­ко­мый пе­ри­од вра­ще­ния.

 

 

Ответ: 3. .

 Задача 3 (определение отношения линейных скоростей)

Длина ми­нут­ной стрел­ки часов в 1,5 раза боль­ше длины ча­со­вой стрел­ки. Во сколь­ко раз ско­рость конца ми­нут­ной стрел­ки боль­ше ско­ро­сти конца ча­со­вой? Ва­ри­ан­ты от­ве­та: 1. 12; 2. 18; 3. 24; 4. 36.

Дано:  ; 

Найти: 

Ре­ше­ние

Ско­рость при дви­же­нии по окруж­но­сти вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле:

 

Сле­до­ва­тель­но:

 

Ответ: 2. 18.

 Задача 4 (определение радиуса)

Найти ра­ди­ус вра­ща­ю­ще­го­ся ко­ле­са, если из­вест­но, что ли­ней­ная ско­рость точки, ле­жа­щей на ободе, в 4 раза боль­ше ли­ней­ной ско­ро­сти точки, ле­жа­щей на 0,9 м ближе к оси ко­ле­са.

Дано: ;  (см. Рис. 1)

Найти: R

Ре­ше­ние

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

На ри­сун­ке 1 изоб­ра­же­но ко­ле­со. Точка A лежит на ободе, точка B ближе к оси ко­ле­са на 

При вра­ще­нии ко­ле­са общей ки­не­ма­ти­че­ской ве­ли­чи­ной для всех точек яв­ля­ет­ся уг­ло­вая ско­рость (все точки дви­га­ют­ся с одной и той же уг­ло­вой ско­ро­стью).

 

Сле­до­ва­тель­но, ли­ней­ная ско­рость точки A равна:

 

Ли­ней­ная ско­рость точки B равна:

  

 По­это­му, если:

 

то:

 

 

 

 

Ответ: .

 Задача 5 (определение линейной скорости и центростремительного ускорения)

Найти ско­рость и уско­ре­ние Иса­а­ки­ев­ско­го со­бо­ра, обу­слов­лен­ные вра­ще­ни­ем Земли.

Дано:  – ра­ди­ус Земли; Иса­а­ки­ев­ский собор на­хо­дит­ся в Санкт-Пе­тер­бур­ге, ко­то­рый на­хо­дит­ся на  се­вер­ной ши­ро­ты ;  – время об­ра­ще­ния Земли во­круг своей оси (см. Рис. 2).

Найти: ; 

Ре­ше­ние

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Иса­а­ки­ев­ский собор вме­сте с Зем­лей со­вер­ша­ет дви­же­ние по окруж­но­сти, ра­ди­ус ко­то­рой равен:

 

Сле­до­ва­тель­но, ско­рость Иса­а­ки­ев­ско­го со­бо­ра будет равна от­но­ше­нию длины этой окруж­но­сти к пе­ри­о­ду:

 

Под­ста­вим в это вы­ра­же­ние из­вест­ные зна­че­ния:

 

Цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле:

 

Под­ста­вим в это вы­ра­же­ние из­вест­ные зна­че­ния:

 

Ответ: ; .