Решение задач на равнопеременное движение в проекциях на координатные оси
Мы знаем, что основным законом динамики является второй закон Ньютона, который имеет векторную форму записи: сумма всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение: 
m
.
Векторные уравнения при решении задач не применяются, а проецируются на координатные оси, причем одну из координатных осей, обычно это ох, выбирают коллинеарно ускорению или, при отсутствии ускорения, – скорости движения тела:
ох ↑↑
∩
В таком случае ускорение будет иметь проекцию только на ось х: ах = а, ау = 0
Векторное уравнение второго закона Ньютона сводится к двум скалярным уравнениям:
По оси х сумма проекций всех сил на ось х равна произведению массы тела на ускорение, и проекция на ось у – сумма проекций всех сил на ось у – равна нулю.
Эти два уравнения положены в основу решения задач.
Задача 1
Какую силу тяги развивает жук массой 2 г при горизонтальном полете со скоростью 1,2 м/с, если коэффициент сопротивления движению равен 0,46?
Запишем краткое условие задачи и поясняющий чертеж (рис. 1).
Рис. 1. Решение задачи 1
а = 0; ох: Fтх - Fc = 0
оу: Fту - mg = 0 => Fтх = Fc = кс·mg; Fту = mg
Fт= 
= 
= mg
Fт = 2·10-3·10
= 20·
·10-3 = 22·10-3 (Н)
Ответ: Fт = 22 мН.
Очень часто эту задачу решают неверно, считая, что сила тяги развивается в направлении движения, но, если скорость направлена по оси х, сила сопротивления направлена против скорости, на жука действует сила тяжести и силу тяги жук должен развивать таким образом, чтобы не упасть (погасить силу тяжести) и преодолеть силу сопротивления, то есть двигаться вперед. Поэтому силу тяги на чертеже необходимо показывать под некоторым углом к горизонту. В этой задаче нам неизвестен угол, под которым развивается сила тяги, и, если мы не будем фигурировать углом, сила тяги проецируется на координатные оси Fту и Fтх.
Уравнения в проекциях второго закона Ньютона примут вид с учетом движения жука равномерно: ускорение равно нулю, тогда:
по оси х: сила тяги в проекции на ось х минус сила сопротивления равно нулю;
по оси у: сила тяги в проекции на ось у минус сила тяжести равно нулю.
Выразим силу тяги из первого уравнения, получаем, что она равна силе сопротивления, которую можно выразить через коэффициент сопротивления на mg.
Сила тяги по оси у по второму уравнению будет равна mg.
Для вычисления силы тяги применяют обычный метод: вектор имеет модуль, величина которого равна корню квадратному из суммы квадратов проекций этого вектора на координатные оси, подставляя уже полученные выражения, находим, что жук развивает силу тяги 22 мН.
Задача 2
Тело массой 2 кг лежит на горизонтальной поверхности, коэффициент трения между телом и поверхностью равен 0,2. Какую силу надо приложить под углом 300 к горизонту, чтобы сообщить телу ускорение 2 м/с за секунду?
Запишем краткое условие задачи и поясняющий чертеж (рис. 2).
Рис. 2. Решение задачи 2
m
+ 
+ 
= m
ох: -μN + Fт·cosα = ma; оу: - mg + N + Fт·sinα = 0
N = mg - Fт·sinα
-μ(mg - Fт·sinα) + Fт·cosα = ma
Fт = 
= 
= 
≈ 8,3 (Н)
Ответ: Fт ≈ 8,3 Н.
На чертеже показаны силы: сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения и сила тяги, которую нам необходимо определить.
По второму закону Ньютона сумма всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение. В таком случае проецируем этот закон на координатные оси, ось ох выбираем в направлении ускорения, ось оу перпендикулярна ему и каждую из сил векторной записи мы проецируем на соответствующие оси.
По оси х сила трения имеет проекцию со знаком минус, записываем силу трения через выражение силы реакции опоры, сила тяги проецируется на ось х через cosα.
По оси у mg проецируется со знаком минус, так как она противоположна направлению оси, и сила тяги Fт проецируется через sinα.
Из второго уравнения выражаем силу реакции опоры N и подставляем это выражение в первое уравнение. В полученном выражении производим алгебраические, математические преобразования, подставляем числовые значения и находим силу тяги.
Задача 3
Мотоцикл начал торможение со скорости 7 м/с. Средняя сила трения, действующая на мотоцикл, равна 980 Н. Какой путь пройдет мотоцикл до полной остановки, если его масса – 240 кг?
Запишем краткое условие задачи и выполним поясняющий чертеж (рис. 3).
Рис. 3. Решение задачи 3
m + + 
= m
ох: -Fтр = ma; a = - 
; S = 
;
S = - 
= 
= 
= 6 (м)
Ответ: 6 м.
На мотоцикл действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения, направленная в сторону противоположную скорости.
В этом случае ось х лучше выбрать в направлении движения, имея в виду то, что надо найти путь, который проходит в положительном направлении, то есть по оси х. Тогда сумма всех сил, действующих на мотоцикл, равна произведению массы на ускорение. Уравнение записываем только по оси х, так как по оси у у нас никакого перемещения не происходит. Их этого уравнения находим ускорение как отношение силы трения к массе, взятое со знаком минус, так как ускорение направлено против скорости.
Вспоминаем формулу кинематики, где пройденный путь связан с ускорением, начальной и конечной скоростями, то есть разности квадратов конечной и начальной скорости, деленной на удвоенное ускорение. Подставляя в эту формулу значение ускорения, полученное ранее, мы видим, что конечная скорость у нас равна нулю, знак минус уходит из выражения. Используя числовые данные, находим, что тормозной путь мотоцикла составит 6 метров.
Задача 4
Из пневматического ружья, сообщающего пульке массой 1 г скорость 40 м/с, стреляют в коробок массой 2 кг и длиной 6 см, лежащий на столе. Пуля пробивает коробок и вылетает со скоростью, равной половине начальной. При каком минимальном коэффициенте трения между столом и коробком он не сдвинется?
Запишем краткое условие задачи и выполним поясняющий чертеж
= - 
· Δt = Δ
; ох: -
= m(V - V0)
Δt = 
= 
=> Fк = 
M + + 
= 
=> ox: -μN + Fп = 0
оу: -Мg + N = 0
μMg = Fп = Fк = 
μ = 
= 
= 0,5
Ответ: μ ≥ 0,5.
Здесь происходит взаимодействие двух тел: пуля действует на коробок с силой
, а, по третьему закону Ньютона, коробок в этот момент действует на пулю с силой 
. Пуля летит со скоростью 
(начальная скорость) и 
при вылете. На коробок еще действуют силы притяжения Мg, сила реакции опоры 
и сила трения 
, удерживающая коробок от смещения по столу.
Записываем третий закон Ньютона, который позволяет нам сделать заключение о том, что по модулю сила действия равна силе противодействия, то есть и 
одинаковы по величине.
Мы можем найти по второму закону Ньютона, с какой силой коробок действует на пулю, так как импульс этой силы, · ∆t, равен изменению импульса пули ∆.
Пуля летит по оси х и уравнение достаточно написать только по одной координатной оси. В уравнении мы видим, что разность скоростей будет отрицательна, так как конечная скорость в два раза меньше начальной по условию задачи, поэтому знак минус из уравнения уйдет.
Чтобы найти время движения пули в коробке, ∆t, надо применить уравнение из раздела кинематики, где путь делится на среднюю скорость, и, подставив это значение в формулу записи уравнения динамики по оси ох, можно получить уравнение для силы , с которой коробок действует на пулю.
Уравнение для коробка – это сумма сил, действующих на коробок, равная нулю. В этом случае упрощается уравнения в проекциях на ось. По оси ох всего две силы: сила трения, которую мы расписываем сразу через коэффициент трения и силу реакции опоры μN, и сила , действующая на коробок со стороны пули. Знак минус говорит о том, что сила трения направлена в сторону, противоположную оси ох.
По оси оу остается тоже два слагаемых – Мg и N, в таком случае мы можем легко выразить силу трения и далее коэффициент трения. Подставляя числовые значения, получим, что минимальный коэффициент трения будет 0,5.