Второй закон Ньютона для инерциальных и неинерциальных систем отсчета

 Второй закон Ньютона для инерциальных систем отсчета

Вто­рой закон Нью­то­на как раз и на­хо­дит вы­ра­же­ние для из­ме­не­ния ме­ха­ни­че­ско­го дви­же­ния. Из­ме­не­ние ме­ха­ни­че­ско­го дви­же­ния – это уско­ре­ние, то есть при­чи­на – уско­ре­ние – на­хо­дит­ся вто­рым за­ко­ном Нью­то­на и ответ для инер­ци­аль­ных и неинер­ци­аль­ных си­стем от­сче­та раз­ли­чен.

В инер­ци­аль­ных си­сте­мах от­сче­та ре­зуль­ти­ру­ю­щая сил, при­ло­жен­ных к телу, равна про­из­ве­де­нию массы тела на уско­ре­ние:

 m (1) – это сумма всех воз­дей­ствий на дан­ное тело.

Вто­рая фор­му­ли­ров­ка за­ко­на Нью­то­на имеет при­чин­но-след­ствен­ную трак­тов­ку: уско­ре­ние тело от­но­си­тель­но инер­ци­аль­ной си­сте­мы от­сче­та прямо про­пор­ци­о­наль­но ре­зуль­ти­ру­ю­щей при­ло­жен­ных к нему сил и об­рат­но про­пор­ци­о­наль­но массе:

 =  (2)

Масса – это мера инер­ции тела, чем боль­ше масса, тем уско­ре­ние будет мень­ше, чем боль­ше ре­зуль­ти­ру­ю­щая сил, тем боль­ше уско­ре­ние. Сам Нью­тон не поль­зо­вал­ся ни фор­му­ли­ров­кой (1) ни фор­му­ли­ров­кой (2), хотя мы чаще всего поль­зу­ем­ся имен­но ими.

Фор­му­ли­ров­ка Нью­то­на: ре­зуль­ти­ру­ю­щая сил, при­ло­жен­ных к телу, равна быст­ро­те из­ме­не­ния им­пуль­са тела в инер­ци­аль­ной си­сте­ме от­сче­та:

 =  (3)

Обыч­но из тре­тьей фор­му­ли­ров­ки по­лу­ча­ет­ся пер­вая фор­му­ли­ров­ка таким об­ра­зом: из­ме­не­ние им­пуль­са – это из­ме­не­ние про­из­ве­де­ния массы на ско­рость:

 =  = m (3)

Но масса счи­та­лась по­сто­ян­ной, массу вы­но­си­ли за знак из­ме­не­ния ве­ли­чи­ны, и по­лу­чи­лось, что ре­зуль­ти­ру­ю­щая сила равна про­из­ве­де­нию массы на быст­ро­ту из­ме­не­ния ско­ро­сти, то есть уско­ре­ние. Ока­за­лось, что тре­тья фор­му­ли­ров­ка верна, а пер­вая нет, так как сама масса за­ви­сит от ско­ро­сти, и это было об­на­ру­же­но после того, как на­учи­лись раз­го­нять эле­мен­тар­ные ча­сти­цы до ско­ро­стей, со­из­ме­ри­мых со ско­ро­стью света. В таком слу­чае им­пульс ме­ня­ет­ся не за счет из­ме­не­ния ско­ро­сти а за счет из­ме­не­ния массы. При при­бли­же­нии ско­ро­сти к ско­ро­сти света масса тела на­чи­на­ет­ся уве­ли­чи­вать­ся и стре­мит­ся к бес­ко­неч­но­сти, то есть разо­гнать тело до ско­ро­сти света невоз­мож­но.

Чет­вер­тая фор­му­ли­ров­ка вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на в инер­ци­аль­ной си­сте­ме от­сче­та ис­поль­зу­ет по­ня­тие им­пуль­са силы: им­пуль­сом силы на­зы­ва­ют про­из­ве­де­ние силы на время ее дей­ствия.

Фор­му­ли­ров­ка гла­сит: им­пульс ре­зуль­ти­ру­ю­щих сил, при­ло­жен­ных к телу, равен из­ме­не­нию им­пуль­са тела в инер­ци­аль­ной си­сте­ме от­сче­та.

 · ∆t =  (4)

Эти че­ты­ре фор­му­ли­ров­ки яв­ля­ют­ся ос­нов­ны­ми фор­му­ли­ров­ка­ми вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на в инер­ци­аль­ной си­сте­ме от­сче­та.

 Второй закон Ньютона для неинерциальных систем отсчета

В школь­ном учеб­ни­ке оши­боч­но ин­фор­ми­ру­ют о том, что вто­рой закон Нью­то­на спра­вед­лив толь­ко для инер­ци­аль­ных си­стем от­сче­та. Это не верно, так как чисто инер­ци­аль­ных си­стем от­сче­та не су­ще­ству­ет, это си­сте­мы от­сче­та, свя­зан­ные со сво­бод­ны­ми те­ла­ми, ко­то­рых в при­ро­де нет.

Неинер­ци­аль­ные си­сте­мы от­сче­та – это си­сте­мы от­сче­та, ко­то­рые нас окру­жа­ют, и вто­рой закон Нью­то­на можно при­ме­нять в неинер­ци­аль­ных си­сте­мах от­сче­та. Для этого нужно учесть, что в неинер­ци­аль­ных си­сте­мах от­сче­та на все тела дей­ству­ет сила инер­ции, ко­то­рая прямо про­пор­ци­о­наль­на уско­ре­нию си­сте­мы от­сче­та и на­прав­ле­на в про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну:

 = -m 

Сила инер­ции за­ви­сит от массы тела и от того, с каким уско­ре­ни­ем дви­жет­ся си­сте­ма от­сче­та.

Для при­ме­не­ния вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на в неинер­ци­аль­ных си­сте­мах от­сче­та необ­хо­ди­мо во всех фор­му­ли­ров­ках, при­ме­ни­мых к инер­ци­аль­ным си­сте­мам от­сче­та, до­ба­вить к ре­зуль­ти­ру­ю­щей всех сил, при­ло­жен­ных к телу, еще и силу инер­ции, ко­то­рая по­яв­ля­ет­ся в неинер­ци­аль­ной си­сте­ме от­сче­та.

Тогда пер­вая фор­му­ли­ров­ка вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на будет вы­гля­деть сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

  m (5)

Ре­зуль­ти­ру­ю­щая сил, при­ло­жен­ных к телу, в сумме силы инер­ции равна про­из­ве­де­нию массы тела на уско­ре­ние тела от­но­си­тель­но неинер­ци­аль­ной си­сте­мы от­сче­та.

Точно так же можно к осталь­ным фор­му­ли­ров­кам до­ба­вить к сумме сил еще силу инер­ции, в таком слу­чае вто­рой закон Нью­то­на можно при­ме­нять как в инер­ци­аль­ных, так и неинер­ци­аль­ных си­сте­мах от­сче­та.

 Задача 1

Стал­ки­ва­ют­ся два мед­ных шара. Ра­ди­ус пер­во­го шара в два раза боль­ше ра­ди­у­са вто­ро­го шара. Во сколь­ко раз уско­ре­ние у вто­ро­го шара в мо­мент столк­но­ве­ния боль­ше, чем у пер­во­го?

Ва­ри­ан­ты от­ве­тов: 1. 4; 2. 6; 3. 8; 4. 10

Ре­ше­ние этой за­да­чи ос­но­вы­ва­ет­ся на тре­тьем за­коне Нью­то­на, ко­то­рый Нью­тон счи­тал прин­ци­пом при­ро­ды. Он озву­чи­вал его так: вся­ко­му дей­ствию есть рав­ное про­ти­во­дей­ствие. В ди­на­ми­ке это озна­ча­ет, если вза­и­мо­дей­ству­ют два шара, то сила, с ко­то­рой пер­вый шар вза­и­мо­дей­ству­ет со вто­рым, равна по ве­ли­чине, но про­ти­во­по­лож­на по на­прав­ле­нию силе, с ко­то­рой вто­рой шар вза­и­мо­дей­ству­ет с пер­вым.

За­пи­шем крат­кое усло­вие за­да­чи (рис. 1):

Рис. 1. Ре­ше­ние за­да­чи 1

Ре­ше­ние:

  = - – тре­тий закон Нью­то­на

m₁a₁ = m₂a₂  =  m = ρV = ρ  πR³

  =  = ( )³ = 8

При­ме­няя к каж­дой из сил вто­рой закон Нью­то­на, мы по­лу­чим ра­вен­ство про­из­ве­де­ний массы с уско­ре­ни­ем пер­во­го и вто­ро­го шаров, знак век­то­ра и минус от­сут­ству­ет, так как мо­ду­ли массы на уско­ре­ние будут оди­на­ко­вы. В таком слу­чае от­но­ше­ние масс будет об­рат­но про­пор­ци­о­наль­но от­но­ше­нию уско­ре­ний тел при их вза­и­мо­дей­ствии. Это тоже можно счи­тать за­ко­ном ди­на­ми­ки – при вза­и­мо­дей­ствии двух тел уско­ре­ние, ко­то­рое при­об­ре­та­ют тела, об­рат­но про­пор­ци­о­наль­но мас­сам тел.

Вспо­ми­на­ем, что масса равна про­из­ве­де­нию плот­но­сти ρ на объем V, плот­но­сти у них оди­на­ко­вы, а объем на­хо­дит­ся по фор­му­ле объ­е­ма шара. В таком слу­чае ис­ко­мое от­но­ше­ние уско­ре­ний будет равно от­но­ше­нию ра­ди­у­сов шаров в тре­тьей сте­пе­ни. После под­ста­нов­ки чис­ло­вых зна­че­ний по­лу­ча­ем 8, что со­от­вет­ству­ет тре­тье­му ва­ри­ан­ту.

Ответ за­да­чи: 3.

 Задача 2

Ко­эф­фи­ци­ент тре­ния между телом мас­сой 1,6 кг и го­ри­зон­таль­ной плос­ко­стью равен 0,1. Какую го­ри­зон­таль­ную силу надо при­ло­жить к телу, чтобы при­дать ему уско­ре­ние 4 м/с²?

Ва­ри­ан­ты от­ве­тов: 1. 1,6 Н; 2. 4 Н; 3. 8 Н; 4. 10 Н

На тело дей­ству­ет че­ты­ре силы: сила при­тя­же­ния, сила ре­ак­ции опоры, сила тре­ния, ко­то­рая воз­ни­ка­ет, так как тело тянут с силой тяги. По вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на сумма всех сил, при­ло­жен­ных к телу, равна про­из­ве­де­нию массы тела на его уско­ре­ние. Но сумма всех сил в дан­ном слу­чае на­хо­дит­ся как раз­ность силы тяги и силы тре­ния, так как сила при­тя­же­ния с силой ре­ак­ции опоры в сумме со­ста­вят ноль, эти две силы равны друг другу по ве­ли­чине и на­прав­ле­ны в про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны. Тогда вы­ра­зим силу тре­ния через ко­эф­фи­ци­ент тре­ния и силу ре­ак­ции опоры, под­ста­вим в по­лу­чен­ные вы­ра­же­ния и после пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­чим, что сила тяги равна про­из­ве­де­нию массы на сумму уско­ре­ния и μg, под­став­ляя числа, по­лу­ча­ем, что сила тяги равна 8 кг·м/ с².

Рис. 2. Ре­ше­ние за­да­чи 2

 = m 

 = F_т - F_тр , т. к. N = mg F_тp = μN = μmg; F_т - μmg = ma

F_т = m(a + μg) = 1,6(4 + 0,1·10) = 8 (кг·м/с²)

А это и есть 8 Н, что со­от­вет­ству­ет от­ве­ту 3.

 Задача 3

Из ору­дия вы­ле­та­ет сна­ряд со ско­ро­стью 700 м/с. Опре­де­лить массу сна­ря­да, если сред­няя сила дав­ле­ния по­ро­хо­вых газов равна 2800 кН и сна­ряд дви­жет­ся внут­ри ство­ла 0,003 с.

Вы­пол­ним крат­кую за­пись усло­вия за­да­чи (рис. 3).

Рис. 3. Ре­ше­ние за­да­чи 3

F = Δt = mΔV m =  =  = 12 (кг)

Ответ: m = 12 кг.

Эта за­да­ча ре­ша­ет­ся по чет­вер­той фор­му­ли­ров­ке вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на – им­пульс ре­зуль­ти­ру­ю­щей сил равен из­ме­не­нию им­пуль­са тела. В им­пуль­се ре­зуль­ти­ру­ю­щей сил аб­со­лют­но не нужно учи­ты­вать силу тя­же­сти сна­ря­да, силу нор­маль­ной ре­ак­ции ство­ла, ко­то­рая под­дер­жи­ва­ет сна­ряд от па­де­ния, пока он дви­жет­ся внут­ри ство­ла, по­то­му что сила дав­ле­ния по­ро­хо­вых газов на много по­ряд­ков пре­вы­ша­ет дей­ствие этих сил и ими можно пре­не­бречь. В таком слу­чае массу тела можно про­сто найти из фор­му­ли­ров­ки, и, под­ста­вив чис­ло­вые зна­че­ния, по­лу­чим, что масса сна­ря­да равна 12 ки­ло­грам­мам.

 Задача 4

Шар мас­сой 5 кг при ско­ро­сти 60 м/с уда­ря­ет­ся и упру­го от­ска­ки­ва­ет от стен­ки. Каков будет им­пульс силы, по­лу­чен­ный стен­кой, если шар летит и от­ска­ки­ва­ет пер­пен­ди­ку­ляр­но ей?

За­пи­сы­ва­ем крат­кое усло­вие за­да­чи (рис. 4).

Рис. 4. Ре­ше­ние за­да­чи 4

  =                            ·Δt = mΔ = -2m Δ =  -  = -2m

F_у · Δt = 2·5·60 = 600 (Н·с)

Ответ: F_у ·Δt = 600 Н·с

Шар уда­ря­ет­ся о стен­ку, на­чаль­ная ско­рость его – ко­неч­ная ско­рость его –  он от­ска­ки­ва­ет от стен­ки по пря­мой в про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну. Шар от­ска­ки­ва­ет вслед­ствие того, что на него дей­ству­ет сила ре­ак­ции стен­ки , а, по тре­тье­му за­ко­ну Нью­то­на, сила, с ко­то­рой шар уда­ря­ет­ся о стен­куравна силе ре­ак­ции, взя­той с про­ти­во­по­лож­ным зна­ком. При­ме­нять вто­рой закон Нью­то­на необ­хо­ди­мо для шара, так как мы знаем массу, ско­рость шара и, учи­ты­вая то, что всеми осталь­ны­ми си­ла­ми во время удара мы пре­не­бре­га­ем, тогда про­из­ве­де­ние силы ре­ак­ции на ∆t будет равно из­ме­не­нию им­пуль­са шара m∆. В свою оче­редь, ∆ будет равно -2, так как из­ме­не­ние ско­ро­сти есть раз­ность между ко­неч­ной и на­чаль­ной ско­ро­стя­ми, но ко­неч­ная ско­рость равна на­чаль­ной со зна­ком минус, по­это­му по­лу­ча­ем -2. Сила удара на ∆t равна силе ре­ак­ции, умно­жен­ной на ∆t по ве­ли­чине, и мы по­лу­ча­ем, что им­пульс силы удара со­ста­вит 600 Н·с.

 Задача 5

Молот мас­сой 2 т па­да­ет с вы­со­ты 1,8 м на на­ко­валь­ню. Дли­тель­ность удара со­став­ля­ет 0,02 с. Ка­ко­во сред­нее зна­че­ние силы удара, если он неупру­гий? Ответ за­пи­сать в кН.

За­пи­сы­ва­ем крат­кое усло­вие за­да­чи и по­яс­ня­ю­щий чер­теж (рис. 5).

Рис. 5. Ре­ше­ние за­да­чи 5

F_у · Δt = Δр => F_у = ; Δр = V_0·m; V₀ = V_п

H =  => V_п =  

F_у =  =  = 6·10⁵ (Н)

Ответ: F_у = 600 кН.

Неупру­гий удар зна­чит, что молот не от­ска­ки­ва­ет от на­ко­валь­ни и ко­неч­ная ско­рость мо­ло­та после удара равна нулю. Для ре­ше­ния за­да­чи ис­поль­зу­ем вто­рой закон Нью­то­на в форме, ко­то­рую любил сам Нью­тон: им­пульс ре­зуль­ти­ру­ю­щей силы F_у·∆t равен из­ме­не­нию им­пуль­са тела ∆р. От­сю­да сила удара равна от­но­ше­нию силы им­пуль­са на время. Им­пульс из­ме­нил­ся толь­ко на V₀m, где V₀ – это та ско­рость, с ко­то­рой молот при­был для удара с на­ко­валь­ней, а на­чаль­ная ско­рость равна ско­ро­сти па­де­ния мо­ло­та с вы­со­ты 1,8 м.

В этой за­да­че ис­поль­зу­ют­ся два раз­де­ла фи­зи­ки – ди­на­ми­ка и ки­не­ма­ти­ка. В раз­де­ле «Ди­на­ми­ка» мы про­ве­ли уже рас­суж­де­ния и те­перь вспо­ми­на­ем, как в ки­не­ма­ти­ке можно, зная вы­со­ту, с ко­то­рой па­да­ло тело с уско­ре­ни­ем g и без на­чаль­ной ско­ро­сти, найти ко­неч­ную ско­рость – ско­рость в мо­мент па­де­ния. Это, ко­неч­но же, фор­му­ла на­хож­де­ния вы­со­ты в ки­не­ма­ти­ке, где вы­со­та есть от­но­ше­ние квад­ра­та ско­ро­сти па­де­ния на 2g, от­ку­да мы и на­хо­дим ско­рость па­де­ния. Под­став­ляя это вы­ра­же­ние для ско­ро­сти в закон Нью­то­на, по­лу­чим вы­ра­же­ние для силы удара, и после вы­чис­ле­ний узна­ем, что сила удара со­став­ля­ет 600 кН.