Решение задач на движение системы связанных тел

 Общий случай решения

Рас­смот­рим общий слу­чай. Име­ет­ся непо­движ­ный блок, через ко­то­рый пе­ре­ки­ну­та нить, к кон­цам ко­то­рой под­ве­ше­ны два гру­зи­ка мас­сой  и , где .

Схема блока

Рис. 1. Схема блока

 ; 

На пер­вый гру­зик дей­ству­ет сила при­тя­же­ния к земле и сила на­тя­же­ния нити, ко­то­рая на­прав­ле­на вверх. Со­от­вет­ствен­но, на вто­рой гру­зик будут дей­ство­вать те же силы. Ве­ли­чи­ны сил на­тя­же­ния их будут оди­на­ко­вы по мо­ду­лю при усло­вии, что тре­ние в оси блока от­сут­ству­ет и сам блок неве­сом, то есть его не нужно рас­кру­чи­вать ка­кой-то парой сил. Сила на­тя­же­ния – это внут­рен­няя сила, воз­ни­ка­ю­щая в си­сте­ме свя­зан­ных тел, друг на друга они дей­ству­ют по­сред­ством нити. Уско­ре­ние у этих гру­зи­ков будет иметь раз­ное на­прав­ле­ние, так как пер­вый гру­зик тя­же­лее, то он будет дви­гать­ся вниз, а вто­рой вверх, но ве­ли­чи­ны уско­ре­ний будут оди­на­ко­вы и равны а, при усло­вии, что нить нерас­тя­жи­ма. К блоку при­ло­же­ны три силы – две силы на­тя­же­ния, ко­то­рые тянут блок вниз, и сила ре­ак­ции креп­ле­ния оси блока, на­прав­лен­ная вверх и рав­ная удво­ен­ной силе на­тя­же­ния, так как центр блока ни­ку­да не пе­ре­ме­ща­ет­ся и сумма сил, при­ло­жен­ных к нему долж­на быть равна нулю. При раз­бо­ре таких задач оси ри­со­вать не обя­за­тель­но, по­то­му что под­ра­зу­ме­ва­ет­ся, что для каж­до­го тела можно вы­брать свое на­прав­ле­ние оси. Так как пер­вое тело дви­жет­ся вниз, то ось  необ­хо­ди­мо на­пра­вить вниз так, как на­прав­ле­но уско­ре­ние. Вто­рое тело дви­жет­ся вверх и  на­прав­ле­но вверх со­глас­но вто­ро­му уско­ре­нию. За­пи­сы­ва­ем вто­рой закон Нью­то­на для этих тел, при сло­же­нии внут­рен­ние силы у нас со­кра­тят­ся, и мы по­лу­чим общий вид для уско­ре­ния. Это от­но­ше­ние у нас будет все­гда, то есть ка­кое-то чис­ло­вое зна­че­ние, умно­жен­ное на , ко­то­рое за­став­ля­ет си­сте­му все­гда дви­гать­ся.

 Задача 1

Оди­на­ко­вые брус­ки, свя­зан­ные нитью, дви­жут­ся под дей­стви­ем внеш­ней силы  по глад­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти (Рис. 2). Как из­ме­нит­ся сила на­тя­же­ния нити , если тре­тий бру­сок пе­ре­ло­жить с пер­во­го на вто­рой?

1. Уве­ли­чит­ся в 2 раза

2. Уве­ли­чит­ся в 3 раза

3. Умень­шит­ся в 1,5 раза

4. Умень­шит­ся в 2раза

Ил­лю­стра­ция к за­да­че 1 Как из­ме­нит­ся сила на­тя­же­ния нити , если тре­тий бру­сок пе­ре­ло­жить с пер­во­го на вто­рой?

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 1

В этой за­да­че необ­хо­ди­мо найти от­но­ше­ние силы на­тя­же­ния  к .

 ; 

Ре­ше­ние за­да­чи 1 Как из­ме­нит­ся сила на­тя­же­ния нити , если тре­тий бру­сок пе­ре­ло­жить с пер­во­го на вто­рой?

Рис. 3. Ре­ше­ние за­да­чи 1

Рас­тя­ну­тая нить в этой си­сте­ме дей­ству­ет на бру­сок 2, за­став­ляя его дви­гать­ся впе­ред, но она также дей­ству­ет и на бру­сок 1, пы­та­ясь пре­пят­ство­вать его дви­же­нию. Эти две силы на­тя­же­ния равны по ве­ли­чине, и нам как раз необ­хо­ди­мо найти эту силу на­тя­же­ния. В таких за­да­чах необ­хо­ди­мо упро­стить ре­ше­ние сле­ду­ю­щим об­ра­зом: счи­та­ем, что сила  яв­ля­ет­ся един­ствен­ной внеш­ней силой, ко­то­рая за­став­ля­ет дви­гать­ся си­сте­му трех оди­на­ко­вых брус­ков, и уско­ре­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным, то есть сила за­став­ля­ет дви­гать­ся все три брус­ка с оди­на­ко­вым уско­ре­ни­ем. Тогда на­тя­же­ние  все­гда дви­га­ет толь­ко один бру­сок и будет равно mа по вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на.  будет равно удво­ен­но­му про­из­ве­де­нию массы на уско­ре­ние, так как тре­тий бру­сок на­хо­дит­ся на вто­ром и нить на­тя­же­ния долж­на уже дви­гать два брус­ка. В таком слу­чае от­но­ше­ние  к  будет равно 2. Пра­виль­ный ответ – пер­вый.

 Задача 2

Два тела мас­сой  и , свя­зан­ные неве­со­мой нерас­тя­жи­мой нитью, могут без тре­ния сколь­зить по глад­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти под дей­стви­ем по­сто­ян­ной силы  (Рис. 4). Чему равно от­но­ше­ние сил на­тя­же­ния нити в слу­ча­ях а и б?

Выбор от­ве­та: 1. 2/3; 2. 1; 3. 3/2; 4. 9/4.

Ил­лю­стра­ция к за­да­че 2 Решение задач на движение системы связанных тел

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 2

Ре­ше­ние за­да­чи 2 Решение задач на движение системы связанных телРе­ше­ние за­да­чи 2 Решение задач на движение системы связанных тел

Рис. 5. Ре­ше­ние за­да­чи 2

На брус­ки дей­ству­ет одна и та же сила, толь­ко в раз­ных на­прав­ле­ни­ях, по­это­му уско­ре­ние в слу­чае «а» и слу­чае «б» будет одним и тем же, так как одна и та же сила вы­зы­ва­ет уско­ре­ние двух масс. Но в слу­чае «а» эта сила на­тя­же­ния за­став­ля­ет дви­гать­ся еще и бру­сок 2, в слу­чае «б» это бру­сок 1. Тогда от­но­ше­ние этих сил будет равно от­но­ше­нию их масс и мы по­лу­чим ответ – 1,5. Это тре­тий ответ.

 Задача 3

На столе лежит бру­сок мас­сой 1 кг, к ко­то­ро­му при­вя­за­на нить, пе­ре­ки­ну­тая через непо­движ­ный блок. Ко вто­ро­му концу нити под­ве­шен груз мас­сой 0,5 кг (Рис. 6). Опре­де­лить уско­ре­ние, с ко­то­рым дви­жет­ся бру­сок, если ко­эф­фи­ци­ент тре­ния брус­ка о стол со­став­ля­ет 0,35.

Ил­лю­стра­ция к за­да­че 3 Опре­де­лить уско­ре­ние, с ко­то­рым дви­жет­ся бру­сок

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 3

За­пи­сы­ва­ем крат­кое усло­вие за­да­чи:

Ре­ше­ние за­да­чи 3 Опре­де­лить уско­ре­ние, с ко­то­рым дви­жет­ся бру­сок

Рис. 7. Ре­ше­ние за­да­чи 3

Ре­ше­ние за­да­чи 3 Опре­де­лить уско­ре­ние, с ко­то­рым дви­жет­ся бру­сок

Необ­хо­ди­мо пом­нить, что силы на­тя­же­ния  и  как век­то­ры раз­ные, но ве­ли­чи­ны этих сил оди­на­ко­вы и равны  Точно также у нас будут оди­на­ко­вы и уско­ре­ния этих тел, так как они свя­за­ны нерас­тя­жи­мой нитью, хотя на­прав­ле­ны они в раз­ные сто­ро­ны:  – го­ри­зон­таль­но,  – вер­ти­каль­но. Со­от­вет­ствен­но, и оси для каж­до­го из тел вы­би­ра­ем свои. За­пи­шем урав­не­ния вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на для каж­до­го из этих тел, при сло­же­нии внут­рен­ние силы на­тя­же­ния со­кра­тят­ся, и по­лу­чим обыч­ное урав­не­ние, под­ста­вив в него дан­ные, по­лу­чим, что уско­ре­ние равно .

Для ре­ше­ния таких задач можно поль­зо­вать­ся ме­то­дом, ко­то­рый ис­поль­зо­вал­ся в про­шлом веке: дви­жу­щей силой в дан­ном слу­чае яв­ля­ет­ся ре­зуль­ти­ру­ю­щая внеш­них сил, при­ло­жен­ных к телу. За­став­ля­ет дви­гать­ся эту си­сте­му сила тя­же­сти вто­ро­го тела, но ме­ша­ет дви­же­нию сила тре­ния брус­ка о стол, в этом слу­чае:

 , так как дви­жут­ся оба тела, то дви­жу­щая масса будет равна сумме масс  , тогда уско­ре­ние будет равно от­но­ше­нию дви­жу­щей силы на дви­жу­щую массу  Так можно сразу прий­ти к от­ве­ту.

 Задача 4

В вер­шине двух на­клон­ных плос­ко­стей, со­став­ля­ю­щих с го­ри­зон­том углы  и , за­креп­лен блок. По по­верх­но­сти плос­ко­стей при ко­эф­фи­ци­ен­те тре­ния 0,2 дви­жут­ся брус­ки  кг и , свя­зан­ные нитью, пе­ре­ки­ну­той через блок (Рис. 8). Найти силу дав­ле­ния на ось блока.

Ил­лю­стра­ция к за­да­че 4 Найти силу дав­ле­ния на ось блока

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 4

Вы­пол­ним крат­кую за­пись усло­вия за­да­чи и по­яс­ня­ю­щий чер­теж (рис. 9):

Ре­ше­ние за­да­чи 4 Найти силу дав­ле­ния на ось блока

Рис. 9. Ре­ше­ние за­да­чи 4

Мы пом­ним, что если одна плос­кость со­став­ля­ет угол в 600 с го­ри­зон­том, а вто­рая плос­кость – 300 с го­ри­зон­том, то угол при вер­шине будет 900, это обыч­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник. Через блок пе­ре­ки­ну­та нить, к ко­то­рой под­ве­ше­ны брус­ки, они тянут вниз с одной и той же силой, и дей­ствие сил на­тя­же­ния Fн1 и Fн2 при­во­дит к тому, что на блок дей­ству­ет их ре­зуль­ти­ру­ю­щая сила. Но между собой эти силы на­тя­же­ния будут равны, со­став­ля­ют они между собой пря­мой угол, по­это­му при сло­же­нии этих сил по­лу­ча­ет­ся квад­рат вме­сто обыч­но­го па­рал­ле­ло­грам­ма. Ис­ко­мая сила Fд яв­ля­ет­ся диа­го­на­лью квад­ра­та. Мы видим, что для ре­зуль­та­та нам необ­хо­ди­мо найти силу на­тя­же­ния нити. Про­ве­дем ана­лиз: в какую сто­ро­ну дви­жет­ся си­сте­ма из двух свя­зан­ных брус­ков? Более мас­сив­ный бру­сок, есте­ствен­но, пе­ре­тя­нет более лег­кий, бру­сок 1 будет со­скаль­зы­вать вниз, а бру­сок 2 будет дви­гать­ся на­верх по скло­ну, тогда урав­не­ние вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на для каж­до­го из брус­ков будет вы­гля­деть: 

Ре­ше­ние си­сте­мы урав­не­ний для свя­зан­ных тел вы­пол­ня­ет­ся ме­то­дом сло­же­ния, далее пре­об­ра­зо­вы­ва­ем и на­хо­дим уско­ре­ние:

Это зна­че­ние уско­ре­ния необ­хо­ди­мо под­ста­вить в фор­му­лу для силы на­тя­же­ния и найти силу дав­ле­ния на ось блока:

Мы вы­яс­ни­ли, что сила дав­ле­ния на ось блока при­бли­зи­тель­но равна 16 Н.

 Заключение

Мы рас­смот­ре­ли раз­лич­ные спо­со­бы ре­ше­ния задач, ко­то­рые мно­гим из вас при­го­дят­ся в даль­ней­шем, чтобы по­нять прин­ци­пы устрой­ства и ра­бо­ты тех машин и ме­ха­низ­мов, с ко­то­ры­ми при­дет­ся иметь дело на про­из­вод­стве, в армии, в быту.

Последнее изменение: Понедельник, 25 Июнь 2018, 19:31