Решение задач повышенной сложности на движение в ИСО
Задача 1
На какой высоте над экватором может зависнуть искусственный спутник Земли над одной точкой поверхности? Радиус Земли принять равным 6400 км.
Дано: 
; 
Найти: h
Решение
Рис.1. Иллюстрация к задаче
Спутник может зависнуть над экватором Земли в том случае, если он движется по окружности вокруг центра Земли и период его обращения равен периоду обращения Земли вокруг своей оси:
То есть, если взять точку на экваторе (A), то спутник должен двигаться с ней синхронно в одном направлении (см. Рис. 1).
Период обращения по окружности (в данном случае спутника) равен отношению длины окружности к скорости:
Скорость спутника найдем из закона всемирного тяготения. Сила, действующая на спутник равна:
,
где 
– гравитационная постоянная; 
– масса спутника; 
– масса Земли; 
– расстояние от центра Земли до спутника.
Эта сила является центростремительной, то есть:
Следовательно:
Домножаем числитель и знаменатель на 
:
Как известно 
– это ускорение свободного падения у поверхности Земли 
:
Данное значение скорости подставляем в формулу периода:
Возведем обе части уравнения в квадрат:
и 
– близкие по значению числа, и их можно сократить:
Ответ: 
.
Задача 2
Струя воды сечением 
со скоростью 
ударяется о стенку под углом 
к нормали и упруго отражается без потери скорости. Найти силу, действующую на стенку.
Дано: 
; 
– угол падения равен углу отражения; 
– скорость после отскока равна скорости до отскока; 
; 
– плотность воды
Найти: 
(см. Рис. 2)
Решение
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
Вода действует на стенку, а стенка действует на воду с равными силами согласно третьему закону Ньютона:
Согласно второму закону Ньютона импульс силы реакции опоры равен изменению импульса воды:
,
где 
– импульс после отскока; 
– импульс до отскока (см. Рис. 2).
Если рассмотреть полученный треугольник импульсов, то видно, что он равнобедренный и угол при вершине равен , то есть треугольник равносторонний.
Импульс воды до отскока равен:
Определим массу падающей воды за произвольный промежуток времени 
(этот промежуток входит в уравнение ). О поверхность ударяется вода, которая расположена на расстоянии:
Следовательно, искомая масса воды находится в объеме 
.
То есть:
Подставляем данное выражение в уравнение второго закона Ньютона:
Следовательно:
Ответ: 
.
Задача 3
Два небесных тела массами 
и 
движутся только за счет сил взаимного притяжения так, что расстояние между ними неизменно равно L. Описать движение этих тел.
Дано: ; ; 
Решение
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Два тела притягиваются, то есть существует сила, с которой первое тело действует на второе, и сила, с которой второе тело действует на первое (
и 
).
Действие сил взаимного притяжения – это сила, равная (по закону всемирного тяготения):
Для выполнения условия неизменности расстояния между телами необходимо, чтобы каждое тело двигалось по окружности (см. Рис. 3), то есть двигалось с центростремительным ускорением, которое равно произведению квадрата угловой скорости на радиус окружности, описываемой каждым из тел:
Точка O – центр масс, вокруг которого происходит движение тел. Расстояние от т. O до центра первого тела – 
. Расстояние от т. O до центра второго тела – 
.
Для каждого из тел записываем уравнение (сила всемирного тяготения равна произведению массы тела на центростремительное ускорение):
Следовательно:
Так как расстояние между телами равно L, то:
Поэтому:
1. 
2. 
Также необходимо найти еще один параметр движения – это период.
Подставим значение расстояния от т. O до первого тела в уравнение:
Так как угловая скорость равна:
То
Следовательно:
Ответ: 1. Период обращения небесных тел 
. 2. Радиус окружности, по которой движется первое тело . 3. Радиус окружности, по которой движется второе тело 
.