Потенциал электрического поля. Разность потенциалов

 Введение

Элек­три­че­ское поле дей­ству­ет на по­ме­щен­ный в него заряд с силой, ко­то­рая опре­де­ля­ет­ся ве­ли­чи­ной за­ря­да и на­пря­жен­но­стью поля в дан­ной точке.

Если эта сила пе­ре­ме­ща­ет заряд – то она со­вер­ша­ет ра­бо­ту. Даже если за­ря­да в поле нет, то по­тен­ци­ально эта ра­бо­та все равно может быть со­вер­ше­на, как толь­ко он там ока­жет­ся. Из опыта дру­гих раз­де­лов фи­зи­ки мы знаем, что ра­бо­та свя­за­на с энер­ги­ей.

Для ре­ше­ния неко­то­рых задач удоб­но ис­поль­зо­вать энер­ге­ти­че­скую мо­дель опи­са­ния элек­три­че­ско­го поля. Про­ве­дем ана­ло­гию с гра­ви­та­ци­он­ным полем.

 Понятие потенциала

Если мы под­ни­мем тело массы , ле­жа­щее на земле на вы­со­ту  (см. рис. 1), мы из­ме­ним его по­тен­ци­аль­ную энер­гию на ве­ли­чи­ну . Имен­но такую ра­бо­ту  и необ­хо­ди­мо со­вер­шить для этого подъ­ема.

Рис. 1. Из­ме­не­ние по­тен­ци­аль­ной энер­гии

Для любой массы  раз­ни­ца энер­гий на вы­со­те 0 и  будет равна  (см. рис. 2).

Рис. 2. Раз­ни­ца по­тен­ци­аль­ных энер­гий

Если раз­де­лить зна­че­ние по­тен­ци­аль­ной энер­гии  на массу, мы по­лу­чим ве­ли­чи­ну, ха­рак­те­ри­зу­ю­щую гра­ви­та­ци­он­ное поле в дан­ной точке. Вы­ра­же­ние  уже не за­ви­сит от массы, оно по­ка­зы­ва­ет ра­бо­ту, ко­то­рую необ­хо­ди­мо со­вер­шить для пе­ре­но­са тела, с неко­то­рой мас­сой, на вы­со­ту , де­лен­ную на эту массу.

Те­перь по­смот­рим, как вве­сти ана­лог по­тен­ци­аль­ной энер­гии при­ве­ден­ной на еди­ни­цу массы в элек­три­че­ском поле.

На заряд , на­хо­дя­щий­ся в поле дру­го­го за­ря­да , за­креп­лен­но­го в неко­то­рой точке про­стран­ства, дей­ству­ет сила Ку­ло­на . Эта сила может пе­ре­ме­стить заряд , со­вер­шив при этом ра­бо­ту. Зна­чит, си­сте­ма двух за­ря­дов, на­хо­дя­щих­ся на опре­де­лен­ном рас­сто­я­нии, об­ла­да­ет по­тен­ци­аль­ной энер­ги­ей, за­ви­ся­щей от ве­ли­чи­ны за­ря­дов и рас­сто­я­ния между ними.

Если по ана­ло­гии с гра­ви­та­ци­он­ным полем рас­смот­реть ве­ли­чи­ну, рав­ную этой энер­гии, де­лен­ной на заряд , то она уже не будет за­ви­сеть от за­ря­да  и оха­рак­те­ри­зу­ет толь­ко поле за­ря­да  в дан­ной точке. То есть будет яв­лять­ся функ­ци­ей за­ря­да  и рас­сто­я­ния между за­ря­да­ми. Эта ве­ли­чи­на и на­зы­ва­ет­ся по­тен­ци­а­лом элек­три­че­ско­го поля.

Раз­ность по­тен­ци­а­лов двух точек, умно­жен­ная на ве­ли­чи­ну за­ря­да , равна ра­бо­те, необ­хо­ди­мой для пе­ре­ме­ще­ния этого за­ря­да между этими точ­ка­ми. То есть раз­ность по­тен­ци­а­лов двух точек поля – это ра­бо­та по пе­ре­ме­ще­нию между ними еди­нич­но­го за­ря­да.

Как и в поле сил тя­же­сти, эта ра­бо­та не за­ви­сит от тра­ек­то­рии  и опре­де­ля­ет­ся толь­ко по­ло­же­ни­ем точек, между ко­то­ры­ми пе­ре­ме­ща­ет­ся еди­нич­ный заряд. Такие поля на­зы­ва­ют кон­сер­ва­тив­ны­ми. В раз­де­ле «Ме­ха­ни­ка» мы уже го­во­ри­ли, что энер­гия – ве­ли­чи­на, тре­бу­ю­щая для из­ме­ре­ния за­да­ния «на­ча­ла от­сче­та». На­при­мер, в гра­ви­та­ци­он­ном поле мы можем счи­тать ну­ле­вой по­тен­ци­аль­ную энер­гию тела, на­хо­дя­ще­го­ся на уровне земли. В слу­чае элек­тро­ста­ти­че­ско­го поля, со­зда­ва­е­мо­го за­ря­дом, есте­ствен­но счи­тать ну­ле­вой по­тен­ци­аль­ной энер­ги­ей неко­то­ро­го за­ря­да, на­хо­дя­ще­го­ся в поле, его энер­гию на бес­ко­неч­ном уда­ле­нии от за­ря­да, в поле ко­то­ро­го он на­хо­дит­ся. Это и есть «точка от­сче­та» для по­тен­ци­аль­ной энер­гии поля за­ря­да.

По­тен­ци­ал поля в неко­то­рой точке равен ра­бо­те по пе­ре­ме­ще­нию еди­нич­но­го за­ря­да из этой точки на бес­ко­неч­ность.

 Выражение для потенциала поля точечного заряда

Пусть по­ло­жи­тель­ный заряд  на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии  от по­ло­жи­тель­но­го за­ря­да  (см. рис. 3).

Рис. 3. Из­на­чаль­ное по­ло­же­ние за­ря­да 

Какую ра­бо­ту со­вер­шит элек­три­че­ское поле при пе­ре­ме­ще­нии за­ря­да  вдоль ра­ди­у­са в точку, от­да­лен­ную на  от ? (См. рис. 4.)

Рис. 4. Ко­неч­ное по­ло­же­ние за­ря­да 

По опре­де­ле­нию ра­бо­та силы равна этой силе, умно­жен­ной на пе­ре­ме­ще­ние:

В дан­ном слу­чае дей­ству­ет сила элек­три­че­ско­го вза­и­мо­дей­ствия (см. рис. 5), по за­ко­ну Ку­ло­на .

Рис. 5. Дей­ствие силы элек­три­че­ско­го вза­и­мо­дей­ствия

Сила и пе­ре­ме­ще­ние в нашем слу­чае со­на­прав­ле­ны,  и . Так мы можем на­хо­дить ра­бо­ту для слу­чая, когда сила по­сто­ян­на на всей тра­ек­то­рии. Здесь же сила из­ме­ня­ет­ся по мере от­да­ле­ния за­ря­дов друг от друга.

Обо­зна­чим пе­ре­ме­ще­ние за­ря­да (см. рис. 6).

Рис. 6. Пе­ре­ме­ще­ние за­ря­да

По мере пе­ре­ме­ще­ния за­ря­да  сила из­ме­ня­ет­ся, но на малом (в срав­не­нии с рас­сто­я­ни­ем до за­ря­да ) от­рез­ке можем счи­тать ее по­сто­ян­ной и на­хо­дить ра­бо­ту по опре­де­ле­нию, ко­то­рое мы при­ве­ли выше.

Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая силой Ку­ло­на на таком малом от­рез­ке  равна , где силу  можно счи­тать по­сто­ян­ной на всем от­рез­ке . Тогда ра­бо­та при пе­ре­ме­ще­нии на рас­сто­я­ние  будет равна сумме работ на  участ­ках (), на каж­дом из ко­то­рых сила Ку­ло­на по­сто­ян­на и равна .

Эта сумма будет равна 

По­дроб­ный вывод этой фор­му­лы вы мо­же­те про­сле­дить в от­ветв­ле­нии.

Ра­бо­та при пе­ре­ме­ще­нии элек­три­че­ско­го за­ря­да

Ра­бо­та по пе­ре­ме­ще­нию за­ря­да на малом участ­ке  равна:

Ра­бо­та на участ­ке  равна сумме работ на каж­дом участ­ке :

Вос­поль­зу­ем­ся при­бли­жен­ным ра­вен­ством:

Пре­жде чем его при­ме­нить, по­ка­жем, что ра­вен­ство спра­вед­ли­во. При­ве­дем пра­вую часть к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:

Рас­кро­ем скоб­ки:

За­ме­тим, что  – пре­не­бре­жи­мо малая по срав­не­нию с  ве­ли­чи­на,  не может счи­тать­ся пре­не­бре­жи­мо малой, т. к. ко­ли­че­ство  участ­ков  ве­ли­ко. По­это­му в зна­ме­на­те­ле можем пре­не­бречь чле­на­ми  и .

Вер­нем­ся к на­хож­де­нию ра­бо­ты. Рас­пи­шем вы­ра­же­ние по по­лу­чен­ной фор­му­ле:

Рас­пи­шем сумму:

 

Мы знаем, что ра­бо­та свя­за­на с энер­ги­ей. Си­сте­ма об­ла­да­ет энер­ги­ей, если силы, воз­ни­ка­ю­щие в си­сте­ме, могут вы­пол­нить ра­бо­ту (в нашем слу­чае это сила элек­тро­ста­ти­че­ско­го вза­и­мо­дей­ствия за­ря­дов). Ра­бо­та равна умень­ше­нию по­тен­ци­аль­ной энер­гии:

Срав­нив с вы­ра­же­ни­ем , де­ла­ем вывод, что  – это по­тен­ци­аль­ная энер­гия  вза­и­мо­дей­ствия двух за­ря­дов. Ранее мы при­ня­ли, что по­тен­ци­аль­ная энер­гия за­ря­да, от­да­лен­но­го от ис­точ­ни­ка элек­три­че­ско­го поля на бес­ко­неч­ность, равна нулю. По­смот­рим, как с этим со­гла­су­ет­ся по­лу­чен­ная фор­му­ла:

Дей­стви­тель­но,  будет равна нулю на бес­ко­неч­ном от­да­ле­нии от за­ря­да , т. к.  при .

Те­перь про­ве­рим, как по­лу­чен­ный ре­зуль­тат со­от­но­сит­ся с мо­де­лью, в ко­то­рой раз­но­имен­ные за­ря­ды обо­зна­че­ны зна­ка­ми плюс и минус. Если за­ря­ды од­но­имен­ные, то по­тен­ци­аль­ная энер­гия вза­и­мо­дей­ствия по­ло­жи­тель­на . Си­сте­ма стре­мит­ся к со­сто­я­нию с наи­мень­шей по­тен­ци­аль­ной энер­ги­ей (как и, на­при­мер, ка­мень на неко­то­рой вы­со­те  над по­верх­но­стью земли, предо­став­лен­ный сам себе, будет па­дать вниз, т. е. умень­шать вы­со­ту и с ней по­тен­ци­аль­ную энер­гию )

Дей­стви­тель­но, за­ря­ды будут от­тал­ки­вать­ся и сила элек­три­че­ско­го вза­и­мо­дей­ствия будет вы­зы­вать пе­ре­ме­ще­ние за­ря­да на боль­шее рас­сто­я­ние, по­тен­ци­аль­ная энер­гия  будет умень­шать­ся.

Если за­ря­ды раз­но­имен­ные, то по­тен­ци­аль­ная энер­гия вза­и­мо­дей­ствия  имеет знак минус. За­ря­ды при­тя­ги­ва­ют­ся, и сила их вза­и­мо­дей­ствия вы­зы­ва­ет пе­ре­ме­ще­ние за­ря­да на мень­шее рас­сто­я­ние , по­тен­ци­аль­ная энер­гия  умень­ша­ет­ся.

 Потенциал электрического поля

Энер­гия за­ря­да  в поле за­ря­да , рав­ная , за­ви­сит от ве­ли­чин обоих за­ря­дов. Ха­рак­те­ри­сти­ка поля, со­здан­но­го за­ря­дом , есте­ствен­но, не долж­на за­ви­сеть от ве­ли­чи­ны по­ме­щен­но­го в него за­ря­да. Раз­де­лим  на  и по­лу­чим . Эта ве­ли­чи­на на­зы­ва­ет­ся по­тен­ци­а­лом элек­три­че­ско­го поля и обо­зна­ча­ет­ся бук­вой . Эта ха­рак­те­ри­сти­ка поля по­ка­зы­ва­ет, какой энер­ги­ей об­ла­да­ет по­ло­жи­тель­ный заряд, по­ме­щен­ный в дан­ную точку поля. Как и энер­гия, по­тен­ци­ал – ска­ляр­ная ве­ли­чи­на, из­ме­ря­ет­ся в воль­тах.

В нашем слу­чае  – по­тен­ци­ал поля то­чеч­но­го за­ря­да. Точка от­сче­та по­тен­ци­а­лов в нашем слу­чае есте­ствен­ным об­ра­зом яв­ля­ет­ся бес­ко­неч­но от­да­лен­ной точ­кой (см. рис. 7).

Рис. 7. Точка от­сче­та по­тен­ци­а­лов

В за­ви­си­мо­сти от за­да­чи точ­кой от­сче­та вы­би­ра­ют по­тен­ци­ал по­верх­но­сти Земли, по­тен­ци­ал от­ри­ца­тель­но за­ря­жен­ной пла­сти­ны кон­ден­са­то­ра или по­тен­ци­ал любой дру­гой точки, удоб­ной для ре­ше­ния за­да­чи.

Таким об­ра­зом, поль­зу­ясь опре­де­ле­ни­ем по­тен­ци­а­ла, можно вы­чис­лить по­тен­ци­аль­ную энер­гию за­ря­да, на­хо­дя­ще­го­ся в элек­тро­ста­ти­че­ском поле:

и ра­бо­ту поля по пе­ре­ме­ще­нию за­ря­да из точки с по­тен­ци­а­лом  в точку с по­тен­ци­а­лом :

Элек­три­че­ское поле яв­ля­ет­ся кон­сер­ва­тив­ным, его ра­бо­та не за­ви­сит от тра­ек­то­рии дви­же­ния за­ря­да, а за­ви­сит толь­ко от пе­ре­ме­ще­ния.

Заряд все­гда рас­пре­де­лен на ка­ком-то теле, име­ю­щем гео­мет­ри­че­ские раз­ме­ры. На рас­сто­я­ни­ях, много боль­ших раз­ме­ров тела, поле слабо за­ви­сит от объ­е­ма и формы этого тела, и по­то­му мо­де­ли то­чеч­но­го за­ря­да до­ста­точ­но. На­при­мер, по­тен­ци­ал поля за­ря­жен­но­го ме­тал­ли­че­ско­го шара при  эк­ви­ва­лен­тен по­тен­ци­а­лу поля то­чеч­но­го за­ря­да (см. рис. 8):

Рис. 8. По­тен­ци­ал поля при 

.

Внут­ри шара по­тен­ци­ал во всех точ­ках оди­на­ков и равен по­тен­ци­а­лу на по­верх­но­сти шара (см. рис. 9):

Рис. 9. По­тен­ци­ал внут­ри шара

.

Если бы это было не так, то по­тен­ци­аль­ная энер­гия в раз­ных точ­ках внут­ри шара от­ли­ча­лась бы, а, так как внут­ри ме­тал­ла есть сво­бод­ные но­си­те­ли за­ря­да, поле вы­пол­ня­ло бы ра­бо­ту по пе­ре­ме­ще­нию за­ря­дов. В итоге элек­тро­ны пе­ре­ме­сти­лись бы в об­ласть боль­ше­го по­тен­ци­а­ла, тем самым умень­шив его. Таким об­ра­зом, по­тен­ци­ал во всех точ­ках при­рав­ни­ва­ет­ся.

По­тен­ци­ал под­чи­ня­ет­ся прин­ци­пу су­пер­по­зи­ции. При на­ли­чии несколь­ких ис­точ­ни­ков поля скла­ды­ва­ют­ся как век­то­ры на­пря­жен­но­сти поля, так и по­тен­ци­а­лы:

 Задача 1

При пе­ре­ме­ще­нии за­ря­да между точ­ка­ми с раз­но­стью по­тен­ци­а­лов 1 кВ элек­три­че­ское поле со­вер­ши­ло ра­бо­ту 40 мкДж. Чему равен заряд?

Это про­стая за­да­ча на по­ни­ма­ние смыс­ла ве­ли­чи­ны раз­но­сти по­тен­ци­а­лов.

Раз­ность по­тен­ци­а­лов равна ра­бо­те по пе­ре­но­су за­ря­да, де­лен­ной на ве­ли­чи­ну этого за­ря­да.

Вы­ра­зим зна­че­ние за­ря­да:

И вы­чис­лим ответ:

Ответ: 

 Задача 2

Какую ра­бо­ту надо со­вер­шить, чтобы пе­ре­не­сти заряд 5 мкКл из бес­ко­неч­но­сти в точку поля, уда­лен­ную от цен­тра за­ря­жен­но­го шара на 18 см? Заряд шара – 20 мкКл.

По­рас­суж­да­ем.

- По­тен­ци­ал поля за­ря­жен­но­го шара на бес­ко­неч­но­сти равен нулю. Сле­до­ва­тель­но, при­бли­жая заряд от бес­ко­неч­но­сти к шару, внеш­ней силе нужно со­вер­шать ра­бо­ту для пре­одо­ле­ния силы элек­тро­ста­ти­че­ско­го вза­и­мо­дей­ствия. Чис­лен­но эта ра­бо­та будет равна ра­бо­те элек­три­че­ско­го поля за­ря­жен­но­го шара по пе­ре­ме­ще­ния за­ря­да с рас­сто­я­ния 18 см на бес­ко­неч­ность.

- Ра­бо­та по пе­ре­но­су за­ря­да в элек­три­че­ском поле свя­за­на с раз­но­стью по­тен­ци­а­лов между на­чаль­ной и ко­неч­ной точ­ка­ми тра­ек­то­рии и ве­ли­чи­ной за­ря­да.

- Ве­ли­чи­на пе­ре­но­си­мо­го за­ря­да у нас есть.

- По­тен­ци­ал поля за­ря­жен­но­го шара на бес­ко­неч­но­сти, как мы уже от­ме­ти­ли, равен нулю. А в ко­неч­ной точке тра­ек­то­рии мы смо­жем его вы­чис­лить, поль­зу­ясь фор­му­лой для по­тен­ци­а­ла поля то­чеч­но­го за­ря­да, ко­то­рая спра­вед­ли­ва и для поля вне за­ря­жен­но­го шара.

При­сту­пим к ре­ше­нию.

Най­дем по­тен­ци­ал элек­три­че­ско­го поля за­ря­жен­но­го шара в ко­неч­ной точке тра­ек­то­рии.

По­тен­ци­ал элек­три­че­ско­го поля за­ря­жен­но­го шара на бес­ко­неч­но­сти равен нулю.

Раз­ность по­тен­ци­а­лов элек­три­че­ско­го поля по пе­ре­но­су за­ря­да из точки с по­тен­ци­а­лом  в точку с по­тен­ци­а­лом  будет равна:

В то же время она будет равна ра­бо­те элек­три­че­ско­го поля по пе­ре­но­су за­ря­да, де­лен­ной на заряд:

Ве­ли­чи­на ра­бо­ты внеш­них сил, ко­то­рую надо со­вер­шить, чтобы пе­ре­не­сти заряд из точки с мень­шим по­тен­ци­а­лом в точку с боль­шим по­тен­ци­а­лом, равна ра­бо­те элек­три­че­ско­го поля по пе­ре­но­су та­ко­го же за­ря­да в об­рат­ном на­прав­ле­нии.

Таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли си­сте­му из пяти урав­не­ний, решив ко­то­рую най­дем ис­ко­мую ве­ли­чи­ну. Про­на­блю­дать ма­те­ма­ти­че­скую часть ре­ше­ния за­да­чи вы мо­же­те в сверт­ке.

Ответ: .

Ма­те­ма­ти­че­ская часть ре­ше­ния за­да­чи 2

Под­ста­вим вы­ра­же­ния для по­тен­ци­а­лов из пер­во­го и вто­ро­го урав­не­ний в тре­тье:

Под­ста­вим по­лу­чен­ную раз­ность по­тен­ци­а­лов в чет­вер­тое урав­не­ние.

И вы­ра­зим ра­бо­ту элек­три­че­ско­го поля:

Со­глас­но пя­то­му урав­не­нию это и есть ис­ко­мая ра­бо­та .

Под­ста­вим дан­ные из усло­вия и рас­счи­та­ем ответ:

За­да­ча ре­ше­на.