Графики равноускоренного движения

 График зависимости проекции скорости от времени 

Гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти от вре­ме­ни 

За­ви­си­мость про­ек­ции ско­ро­сти от вре­ме­ни яв­ля­ет­ся ли­ней­ной, так как опи­сы­ва­ет­ся сле­ду­ю­щим за­ко­ном:

 

Из курса ма­те­ма­ти­ки нам из­вест­но по­хо­жее урав­не­ние:

 

Это урав­не­ние пря­мой, сле­до­ва­тель­но, гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти от вре­ме­ни также будет иметь вид пря­мой. На­ри­су­ем эту пря­мую на ко­ор­ди­нат­ной сетке (см. Рис. 1), для этого вы­би­ра­ем про­из­воль­ное зна­че­ние  и стро­им про­из­воль­ную пря­мую.

Рис. 1. Гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти от вре­ме­ни 

Про­ана­ли­зи­ру­ем по­лу­чен­ный гра­фик.

Видно, что ско­рость тела воз­рас­та­ла и в ка­кой-то мо­мент вре­ме­ни  она была равна . Это го­во­рит о том, что про­ек­ция уско­ре­ния .

Рас­смот­рим  пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник (вы­де­лен­ный крас­ным цве­том). Длина ка­те­та 1 в этом тре­уголь­ни­ке равна , а длина ка­те­та 2 равна . С по­мо­щью этих ка­те­тов най­дем тан­генс угла , то есть тан­генс угла на­кло­на по­стро­ен­ной пря­мой:

 

Нам из­вест­но, что от­но­ше­ние из­ме­не­ния ско­ро­сти ко вре­ме­ни, за ко­то­рое оно про­изо­шло, – это уско­ре­ние, сле­до­ва­тель­но:

 

Про­ана­ли­зи­ру­ем гра­фик  на ри­сун­ке 2.

Рис. 2. Гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти от вре­ме­ни 

Видно, что ско­рость тела не ме­ня­лась и все­гда оста­ва­лась рав­ной , сле­до­ва­тель­но, про­ек­ция уско­ре­ния этого тела равно нулю . Такое дви­же­ние яв­ля­ет­ся рав­но­мер­ным.

Про­ана­ли­зи­ру­ем гра­фик  на ри­сун­ке 3.

Рис. 3. Гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти от вре­ме­ни 

Видно, что про­ек­ция уско­ре­ния имеет знак минус . До мо­мен­та вре­ме­ни  мо­дуль ско­ро­сти умень­шал­ся (тело тор­мо­зи­ло), а далее мо­дуль ско­ро­сти уве­ли­чи­вал­ся (тело раз­го­ня­лось в про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну), сле­до­ва­тель­но, мо­мент вре­ме­ни  – это точка по­во­ро­та.

 Задача 1

На ри­сун­ке 4 пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти от вре­ме­ни для дви­жу­ще­го­ся тела. По дан­но­му ри­сун­ку за­пи­ши­те эту за­ви­си­мость ана­ли­ти­че­ски.

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­ше­ние

За­ви­си­мость яв­ля­ет­ся пря­мой, так как тело дви­га­лось рав­но­уско­рен­но. За­ви­си­мость ско­ро­сти от вре­ме­ни при рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии вы­гля­дит сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

Для того чтобы за­пи­сать эту за­ви­си­мость для дан­но­го тела, необ­хо­ди­мо найти про­ек­цию на­чаль­ной ско­ро­сти  и про­ек­цию уско­ре­ния .

На­чаль­ная ско­рость – это ско­рость, в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни, то есть при . На дан­ном гра­фи­ке видно, что на­чаль­ная ско­рость равна  (цена од­но­го де­ле­ния на оси про­ек­ции ско­ро­сти – ).

Фор­му­ла для на­хож­де­ния про­ек­ции уско­ре­ния:

 

На­чаль­ная ско­рость  нам из­вест­на, а  опре­де­лим в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни. В дан­ном слу­чае удоб­но опре­де­лить ско­рость  в точке пе­ре­се­че­ния пря­мой с осью вре­ме­ни. Ско­рость в этой точке равна нулю . Время, за ко­то­рое ско­рость из­ме­ни­лась с  до  опре­де­лим по гра­фи­ку. Это время равно  (цена од­но­го де­ле­ния на оси вре­ме­ни – ).

Под­став­ля­ем по­лу­чен­ные дан­ные в фор­му­лу про­ек­ции уско­ре­ния:

 

Под­став­ля­ем зна­че­ние про­ек­ции на­чаль­ной ско­ро­сти и уско­ре­ния в закон из­ме­не­ния про­ек­ции ско­ро­сти со вре­ме­нем:

 

Ответ: 

 График зависимости проекции перемещения от времени 

За­ви­си­мость про­ек­ции пе­ре­ме­ще­ния от вре­ме­ни имеет сле­ду­ю­щий вид:

 

Мно­жи­тель t в этой за­ви­си­мо­сти стоит как в пер­вой сте­пе­ни, так и во вто­рой. С точки зре­ния ма­те­ма­ти­ки такая за­ви­си­мость на­зы­ва­ет­ся квад­ра­тич­ной, а гра­фик ее – па­ра­бо­ла.

 

Рис. 5. Гра­фи­ки за­ви­си­мо­сти про­ек­ции пе­ре­ме­ще­ния от вре­ме­ни 

На ри­сун­ке 5 изоб­ра­же­ны па­ра­бо­лы.

Ветви па­ра­бо­лы 1 на­прав­ле­ны вверх, сле­до­ва­тель­но, ко­эф­фи­ци­ент , то есть про­ек­ция уско­ре­ния, по­ло­жи­тель­ная .

Для па­ра­бо­лы 2 про­ек­ция уско­ре­ния также будет по­ло­жи­тель­ной . До мо­мен­та вре­ме­ни  тело дви­га­лось в про­ти­во­по­лож­ную вы­бран­ной оси сто­ро­ну;  – точка по­во­ро­та.

Ветви па­ра­бо­лы 3 на­прав­ле­ны вниз, сле­до­ва­тель­но, про­ек­ция уско­ре­ния мень­ше нуля .  – точка по­во­ро­та.

 График зависимости координаты от времени 

За­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты от вре­ме­ни имеет сле­ду­ю­щий вид:

 

Дан­ная за­ви­си­мость от­ли­ча­ет­ся от урав­не­ния за­ви­си­мо­сти про­ек­ции пе­ре­ме­ще­ния от вре­ме­ни толь­ко сла­га­е­мым . По­это­му гра­фик  также будет иметь вид па­ра­бо­лы, ко­то­рая сдви­ну­та по оси ор­ди­нат на ве­ли­чи­ну на­чаль­ной ко­ор­ди­на­ты ().

Рис. 6. Гра­фи­ки за­ви­си­мо­сти ко­ор­ди­на­ты от вре­ме­ни 

На ри­сун­ке 6 изоб­ра­же­ны гра­фи­ки за­ви­си­мо­сти ко­ор­ди­на­ты от вре­ме­ни.

Па­ра­бо­ла 1 имеет от­ри­ца­тель­ную на­чаль­ную ко­ор­ди­на­ту. Ветви этой па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вверх, сле­до­ва­тель­но, про­ек­ция уско­ре­ния будет боль­ше нуля .

У па­ра­бо­лы 2 на­чаль­ная ко­ор­ди­на­та боль­ше нуля. Ветви этой па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вниз, сле­до­ва­тель­но, про­ек­ция уско­ре­ния будет мень­ше нуля .

Мо­дуль про­ек­ции уско­ре­ния будет боль­ше во вто­ром слу­чае, так как ко­ор­ди­на­та (x) ме­ня­лась быст­рее.

 

 Задача 2

На ри­сун­ке 7 пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти  для рав­но­уско­рен­но дви­жу­ще­го­ся тела, из­вест­но, что на­чаль­ная ко­ор­ди­на­та тела со­став­ля­ла . По этим дан­ным за­пи­ши­те ана­ли­ти­че­ски за­ви­си­мость ,  и , а также по­строй­те гра­фик за­ви­си­мо­сти .

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­ше­ние

1. Общий вид за­ко­на :

 

На гра­фи­ке (рис. 7) видно, что про­ек­ция на­чаль­ной ско­ро­сти равна:

 

Фор­му­ла для на­хож­де­ния про­ек­ции уско­ре­ния:

 

В дан­ном слу­чае удоб­но опре­де­лить ско­рость  в точке пе­ре­се­че­ния пря­мой с осью вре­ме­ни. Ско­рость в этой точке равна нулю . Время, за ко­то­рое ско­рость из­ме­ни­лась от на­чаль­но­го зна­че­ния до зна­че­ния , опре­де­лим по гра­фи­ку. Это время равно .

 

Под­став­ля­ем зна­че­ние про­ек­ции на­чаль­ной ско­ро­сти и уско­ре­ния в урав­не­ние :

 

2. Общий вид за­ко­на :

 

Зна­че­ние про­ек­ции на­чаль­ной ско­ро­сти и уско­ре­ния нам из­вест­ны, по­это­му под­став­ля­ем их в урав­не­ние:

 

 

3. Общий вид за­ко­на :

 

Зна­че­ние про­ек­ции на­чаль­ной ско­ро­сти и уско­ре­ния, а также на­чаль­ной ко­ор­ди­на­ты нам из­вест­ны, по­это­му под­став­ля­ем их в урав­не­ние:

 

 

4. По име­ю­щей­ся за­ви­си­мо­сти  по­стро­им гра­фик.

Для того чтобы по­стро­ить гра­фик па­ра­бо­лы, необ­хо­ди­мо опре­де­лить ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны.

Абс­цис­са вер­ши­ны на­хо­дит­ся как от­но­ше­ние ко­эф­фи­ци­ен­та при t к удво­ен­но­му ко­эф­фи­ци­ен­ту при , взя­тое со зна­ком минус:

 

Ор­ди­на­ту вер­ши­ны най­дем, под­ста­вив зна­че­ние абс­цис­сы () в урав­не­ние за­ви­си­мо­сти :

 

Также необ­хо­ди­мо найти точки пе­ре­се­че­ния па­ра­бо­лы с осями.

Из усло­вия из­вест­на на­чаль­ная ко­ор­ди­на­та. То есть, при  . Вто­рую точку най­дем, под­ста­вив 0 вме­сто  в урав­не­ние за­ви­си­мо­сти ко­ор­ди­на­ты от вре­ме­ни.

 

При ре­ше­нии дан­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния по­лу­ча­ем два корня,  и . Нам под­хо­дит по­ло­жи­тель­ный ко­рень , так как мы счи­та­ем, что тело на­ча­ло дви­гать­ся в мо­мент вре­ме­ни . Сле­до­ва­тель­но, вто­рая точка имеет абс­цис­су , ор­ди­на­ту .

По из­вест­ным точ­кам стро­им па­ра­бо­лу. Ветви дан­ной па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вверх, так как в урав­не­нии перед  стоит знак плюс (см. Рис. 8).

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к за­да­че