Равномерное движение тела по окружности
Криволинейное движение
На прошлых уроках мы имели дело только с прямолинейным движением (имеется одна координатная ось, и все силы, скорость, ускорение направлены вдоль нее). Для того чтобы разобраться с криволинейным движением, поступим так, как принято в науке – необходимо сложную задачу свести к нескольким простым, способ решения которых нам известен. Рассмотрим два метода.
1. Превратим криволинейное движение в прямолинейное. Для этого кривую траекторию разбиваем на множество участков, которые условно считаем прямолинейными (см. Рис. 1). Однако этот метод является очень трудоемким.
Рис. 1. Кривую траекторию можно представить как множество прямых отрезков
2. Любую кривую траекторию можно представить как совокупность движения по дугам окружностей разных радиусов (см. Рис. 2). При этом траектория разбивается на меньшее количество частей, чем при разбитии на прямые отрезки.
Рис. 2. Кривую траекторию можно представить как совокупность движения по дугам окружностей
Поэтому, для того чтобы научиться работать с криволинейным движением, достаточно научиться работать с движением по окружности.
Во многих задачах можно пользоваться и первым, и вторым способом работы с криволинейным движением.
Линейная скорость
При криволинейном движении скорость постоянно изменяет свое направление, тело поворачивается.
Пусть дана некоторая криволинейная траектория. Пройденный путь по этой траектории – это дуга AB, а перемещение – это вектор, направленный вдоль хорды AB. В данном случае вектор скорости во время движения не направлен так же, как вектор перемещения.
Если разбить дугу AB на множество прямых отрезков, то можно считать, что на каждом из них вектор скорости направлен вдоль отрезка (см. Рис. 3).
Рис. 3. Криволинейная траектория
Если совершать предельный переход к точке (см. Рис. 4), то видно, что вектор скорости будет направлен строго по касательной к траектории движения.
Рис. 4. Направление вектора скорости
Следовательно, при движении тела по криволинейной траектории мгновенная скорость направлена по касательной к данной точке траектории.
Пример. Если прижать к вращающемуся точильному камню концы стального прутка, то раскаленные частицы, отрывающиеся от камня, будут видны в виде искр. Эти частицы летят с той скоростью, которой они обладали в момент отрыва от камня. Направление вылета искр всегда совпадает с касательной к окружности в той точке, где пруток касается камня (см. Рис. 5).
Рис. 5. Вылет искр при работе на точильном станке
Под равномерным движением по окружности понимают, что тело за любой одинаковый промежуток времени поворачивается на одинаковый угол (см. Рис. 6).
Рис. 6. Равномерное движение по окружности
То есть модуль мгновенной скорости не меняется:
Такую скорость называют линейной.
Центростремительное ускорение
Хотя модуль скорости не меняется, направление скорости изменяется непрерывно. Рассмотрим векторы скорости в точках A и B (см. Рис. 7). Они направлены в разные стороны, поэтому не равны. Если вычесть из скорости в точке B скорость в точке A, получаем вектор 
.
Рис. 7. Векторы скорости
Отношение изменения скорости () ко времени, за которое это изменение произошло (
), является ускорением.
Следовательно, любое криволинейное движение является ускоренным.
Направление центростремительного ускорения
Если рассмотреть треугольник скоростей, полученный на рисунке 7, то при очень близком расположении точек A и B друг к другу угол (α) между векторами скорости будет близок к нулю:
Также известно, что этот треугольник равнобедренный, поэтому модули скоростей равны (равномерное движение):
Следовательно, оба угла при основании этого треугольника неограниченно близки к 
:
Это означает, что ускорение, которое направлено вдоль вектора , фактически перпендикулярно касательной. Известно, что линия в окружности, перпендикулярная касательной, является радиусом, поэтому ускорение направлено вдоль радиуса к центру окружности. Называется такое ускорение центростремительным.
Формула центростремительного ускорения
На рисунке 8 изображены рассмотренный ранее треугольник скоростей и равнобедренный треугольник 
(две стороны являются радиусами окружности). Эти треугольники являются подобными, так как у них равны углы, образованные взаимно перпендикулярными прямыми (радиус, как и вектор перпендикулярны к касательной).
Рис. 8. Иллюстрация к выводу формулы центростремительного ускорения
Так как:
То:
Отрезок AB является перемещением (
). Мы рассматриваем равномерное движение по окружности, поэтому:
Подставим полученное выражение для AB в формулу подобия треугольников:
Так как
То
Характеристики вращательного движения
Понятий «линейная скорость», «ускорение», «координата» не достаточно для того, чтобы описать движение по кривой траектории. Поэтому необходимо ввести величины, характеризующие вращательное движение.
1. Периодом вращения (T) называется время одного полного оборота. Измеряется в системе СИ в секундах.
Примеры периодов: Земля вращается вокруг своей оси за 24 часа (
), а вокруг Солнца – за 1 год (
).
Формула для вычисления периода:
,
где 
– полное время вращения; 
– число оборотов.
2. Частота вращения (n) – число оборотов, которое тело совершает в единицу времени. Измеряется в системе СИ в обратных секундах.
Формула для нахождения частоты:
,
где – полное время вращения; – число оборотов
Частота и период – обратно пропорциональные величины:
3. Угловой скоростью (
) называют отношение изменения угла, на который повернулось тело, ко времени, за которое этот поворот произошел. Измеряется в системе СИ в радианах, деленных на секунды.
Формула для нахождения угловой скорости:
,
где 
– изменение угла; – время, за которое произошел поворот на угол .
Такой величиной, как угловая скорость, удобно пользоваться для описания движения тела по окружности, так как для точек, которые лежат на одном радиусе, угловая скорость при вращении одинакова. В отличие от угловой, линейная скорость тем больше, чем дальше точка от оси вращения.
Для примера рассмотрим дом и спутник, который обеспечивает телевизионный сигнал. Дом вращается вместе с Землей, поэтому спутник должен все время «висеть» над домом для обеспечения бесперебойного сигнала, то есть вращаться одинаково с Землей. На рисунке 9 изображены дуги окружностей, по которым двигаются дом с Землей и спутник. Линейная скорость спутника больше, чем линейная скорость дома, так как он проходит большее расстояние за одно и то же время. Но Земля и спутник за это время поворачиваются на одинаковый угол, поэтому в таких случаях говорят, что у тел одинаковая угловая скорость.
Рис. 9. Вращение Земли и спутника
Для того чтобы связать угловую и линейную скорость, рассмотрим один полный оборот тела по окружности:
-путь тела будет равен длине окружности:
- угловое перемещение будет равно 
:
- время полного оборота равно периоду:
Подставим эти данные в формулы для скоростей:
– угловая скорость
– линейная скорость
– связь между линейной и угловой скоростью
Центростремительное ускорение связано с линейной скоростью формулой:
Зная, что , получаем формулу, которая связывает центростремительное ускорение с угловой скоростью:
