Перемещение при равноускоренном движении. Уравнение координаты
Перемещение при равноускоренном движении
Вспомним основные определения прошлого урока:
- равноускоренным называют такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени изменяет свою скорость на одинаковую величину;
- ускорением называют отношение изменения скорости тела ко времени, за которое это изменение произошло;
- закон изменения скорости от времени и проекции скорости от времени для равноускоренного движения:
(t) = 
+ 
t
(t) = V0x + axt
Если мы знаем закон, по которому меняется скорость со временем либо проекция скорости со временем при равноускоренном движении, как же нам получить закон, по которому меняется проекция перемещения со временем? Для этого вспомним, какой вид имеет график зависимости проекции скорости от времени при равноускоренном и равномерном движении (Рис. 1):
Рис. 1. Графики зависимости скорости от времени при равноускоренном и равномерном прямолинейном движениях
При равноускоренном движении график имеет вид прямой линии, уходящей вверх, так как его проекция ускорения больше нуля.
При равномерном прямолинейном движении площадь численно будет равна модулю проекции перемещения тела. Оказывается, этот факт можно обобщить для случая не только равномерного движения, но и для любого движения, то есть показать, что площадь под графиком численно равна модулю проекции перемещения. Это делается строго математически, но мы воспользуемся графическим способом.
Рис. 2. График зависимости скорости от времени при равноускоренном движении
Разобьем график проекции скорости от времени для равноускоренного движения на небольшие промежутки времени Δt. Предположим, что они так малы, что на их протяжении скорость практически не менялась, то есть график линейной зависимости на рисунке мы условно превратим в лесенку. На каждой ее ступеньке мы считаем, что скорость практически не поменялась. Представим, что промежутки времени Δt мы сделаем бесконечно малыми. В математике говорят: совершаем предельный переход. В этом случае площадь такой лесенки будет неограниченно близко совпадать с площадью трапеции, которую ограничивает график Vx (t). А это значит, что и для случая равноускоренного движения можно сказать, что модуль проекции перемещения численно равен площади, ограниченной графиком Vx (t): осями абсцисс и ординат и перпендикуляром, опущенным на ось абсцисс, то есть площади трапеции ОАВС, которую мы видим на рисунке 2.
Задача из физической превращается в математическую задачу – поиск площади трапеции. Это стандартная ситуация, когда ученые физики составляют модель, которая описывает то или иное явление, а затем в дело вступает математика, которая обогащает эту модель уравнениями, законами – тем, что превращает модель в теорию.
Находим площадь трапеции: трапеция является прямоугольной, так как угол между осями – 900, разобьем трапецию на две фигуры – прямоугольник и треугольник. Очевидно, что общая площадь будет равна сумме площадей этих фигур (рис. 3). Найдем их площади: площадь прямоугольника равна произведению сторон, то есть V0x · t, площадь прямоугольного треугольника будет равна половине произведения катетов – 1/2АD·BD, подставив значения проекций, получим: 1/2t·( Vx - V0x), а, вспомнив закон изменения скорости от времени при равноускоренном движении: Vx (t) = V0x + ахt, совершенно очевидно, что разность проекций скоростей равна произведению проекции ускорения ах на время t, то есть Vx - V0x= ахt.
Рис. 3. Определение площади трапеции
Учитывая тот факт, что площадь трапеции численно равна модулю проекции перемещения, получим:
Sх(t) = V0xt + ахt2/2
Мы с вами получили закон зависимости проекции перемещения от времени при равноускоренном движении в скалярной форме, в векторной форме он будет выглядеть так:
(t) = 
t + t2 / 2
Уравнение координаты. Примеры
Выведем еще одну формулу для проекции перемещения, в которую не будет входить в качестве переменной время. Решим систему уравнений, исключив из нее время:
Sx(t) = V0x + ахt2/2
Vx(t) = V0x + ахt
Представим, что время нам неизвестно, тогда выразим время из второго уравнения:
t = Vx - V0x / ах
Подставим полученное значение в первое уравнение:
Sx = V0x · (Vx - V0x) / ах + ах/2· (Vx - V0x / ах)2
Получим такое громоздкое выражение, возведем в квадрат и приведем подобные:
Sx = 2V0x · Vx - 2V0x2 + Vx2 - 2V0x · Vx + V0x2 / 2 ах = Vx2 - V0x2 / 2ах
Мы получили очень удобное выражение проекции перемещения для случая, когда нам неизвестно время движения.
Пусть у нас начальная скорость автомобиля, когда началось торможение, составляет V0 = 72 км/ч, конечная скорость V = 0, ускорение а = 4 м/с2 . Узнаем длину тормозного пути. Переведя километры в метры и подставив значения в формулу, получим, что тормозной путь составит:
Sx= 0 - 400(м/с)2 / -2 · 4 м/с2 = 50 м
Проанализируем следующую формулу:
Sx = ( V0x + Vx) / 2 · t
Проекция перемещения– это полусумма проекций начальной и конечной скоростей, умноженная на время движения. Вспомним формулу перемещения для средней скорости
Sx = Vср · t
В случае равноускоренного движения средняя скорость будет:
Vср = ( V0 + Vк) / 2
Мы вплотную подошли к решению главной задачи механики равноускоренного движения, то есть получению закона, по которому меняется координата со временем:
х(t) = х0 + V0x t + ахt2/2
Для того чтобы научиться пользоваться этим законом, разберем типичную задачу.
Автомобиль, двигаясь из состояния покоя, приобретает ускорение 2 м/с2. Найти путь, который прошел автомобиль за 3 секунды и за третью секунду.
Дано: V0x = 0
А = 2 м/с2
S1х - ?
S2х - ?
Запишем закон, по которому меняется перемещение со временем при
равноускоренном движении: Sх = V0x t + ахt2/2. 2 c < Δt2 < 3.
Мы можем ответить на первый вопрос задачи, подставив данные:
t1 = 3 c S1х = ахt2/2 = 2· 32 / 2 = 9 (м) – это путь, который прошел
c автомобиль за 3 секунды.
Узнаем сколько он проехал за 2 секунды:
Sх (2 с) = ахt2/2 = 2· 22 / 2 = 4 (м)
Итак, мы с вами знаем, что за две секунды автомобиль проехал 4 метра.
Теперь, зная два эти расстояния, мы можем найти путь, который он прошел за третью секунду:
S2х = S1х + Sх (2 с) = 9 – 4 = 5 (м)
Ответ: 9 (м); 5 (м).