Колебательное движение
Введение
Мы уже имеем представление о способах решения главной задачи механики для нескольких случаев – это случаи равномерного и равноускоренного движения. Такое движение обуславливают постоянные силы, которые не зависят от времени или положения движущихся тел. Однако большинство сил, которые встречаются в природе, не являются постоянными величинами. К примеру, изученная нами сила всемирного тяготения зависит от расстояния между взаимодействующими телами (см. рис. 1).
Рис. 1. Сила всемирного тяготения
Когда мы описывали движение тела в поле тяжести Земли, мы пренебрегали этой зависимостью, поскольку в силу малости размеров описываемых тел, по сравнению с радиусом нашей планеты, силу притяжения к ней можно было считать постоянной, пока тело не удалялось от поверхности Земли на значительное расстояние. Вы помните формулу 
. Однако если начать рассматривать движение тел в космических масштабах, то не учитывать зависимость силы от положения движущегося тела уже нельзя – задача значительно усложняется.
Колебательное движение
Существуют также силы, зависимость которых от смещения (от координаты), проявляется уже при малых значениях этого самого смещения. Рассмотрим простую систему: груз, подвешенный на пружине, если в этой системе внешними воздействиями не возбуждать никакие движения, то груз будет находиться в неподвижном состоянии бесконечно долго – это естественно, однако если каким-то образом сместить груз (см. рис. 2), а затем отпустить его, то он перейдет в состояние движения, причем движение это не будет соответствовать ни одному из ранее изученных типов. Оно не является ни равномерным, ни равноускоренным.
Рис. 2. Смещение груза
Еще один пример системы, в которой сила, действующая на тело, существенно зависит от смещения тела: возьмем небольшое массивное тело, подвесим его к опоре на длинной легкой нерастяжимой нити и оставим систему в покое (см. рис. 3).
Рис. 3. Груз, подвешенный на опоре
Естественно, что груз будет неподвижно висеть. Такое положение логично назвать равновесием. Оставляя длину нити неизменной, слегка отклоним груз от положения равновесия и отпустим (см. рис. 4).
Рис. 4. Отклонение груза от положения равновесия
Груз начнет совершать движения – тип которого, как и в прошлом примере, не будет соответствовать ни одному известному нам движению. Когда говорим «ни одному из известных», то подразумеваем известность с точки зрения физики, то есть с точки зрения решения главной задачи механики – определения тела в любой момент времени – закона 
.
Решение главной задачи механики в случае колебаний
Как вы знаете, механические колебания – это один из видов механического движения. А какая же главная задача механики? Мы помним, что это определение положения тела в любой момент времени. В нашем случае мы говорим о записи уравнения или закона зависимости координаты от времени. Давайте получим закон координаты от времени для механических колебаний. Закон, который мы ищем, попытаемся угадать, а не вывести. Почему же? Потому что уровня знаний математики в 9 классе нам пока не достаточно для строгого вывода. Однако не стоит думать, что тот закон, который мы получим, будет неправильным.
Мы знаем, что колебания – это периодический или почти периодический процесс. Значит, закон – это периодическая функция. Периодические функции, которые мы знаем, это 
или 
Тогда будет ли данная зависимость – 
– решением главной задачи механики для колебаний? Конечно же, нет! Почему? 
– это метры, синус – безразмерная величина, с точки зрения физики, абсурд, нам нужно усовершенствовать ту формулу, которую мы сейчас записали: здесь справа и слева должны стоять метры.
Попробуем угадать, какое максимальное значение приобретает синус или косинус. Это единица, а какое максимальное отклонение от положения равновесия колеблющегося маятника? Это амплитуда (см. рис. 5).
Рис. 5. Амплитуда
Итак, становится ясно, что перед синусом нужно поставить амплитудное значение, то есть 
.
Ну что, мы угадали? Конечно же, нет, так как время измеряется в секундах. Значит, на месте величины 
должна стоять величина, которая измеряется в градусах или радианах. Это фаза колебаний – произведение циклической частоты на время: 
.
Мы получаем закон, который описывает свободные гармонические колебания: 
.
Ответ получен
Естественно, что с житейской точки зрения нам все эти виды известны (движение грузика на нити и на пружинке – ведь мы так часто катаемся на качелях, маятник часов, поплавок на воде, струна музыкального инструмента, мембрана динамика), тем более будет более интересным изучить эти явления с точки зрения физики.
Несмотря на разнообразие приведенных примеров, общее у них одно – свойство повторяемости. Вернемся к примеру с пружиной и нитью: выходит, что и координата, и скорость, и ускорение груза от времени зависит периодическим образом, то есть через определенные отрезки времени они принимают одни и те же значения – такое движение мы будем называть колебательным.
Колебательное движение – это такое движение тела, при котором значения кинематических характеристик (координата, скорость, ускорение) периодически повторяются с течением времени. Кстати, можно отметить, что вращательное движение – одно из такого типа движения. Вспомните: стрелка часов тоже периодически возвращается на определенное место шкалы. Связь между колебательным и вращательным движением нами будет изучена позже. А сейчас приступим к главным характеристикам такого движения, а также поговорим о том, какая должна быть система, чтобы в ней происходило колебательное движение.
Механическое равновесие
Для начала поговорим о механическом равновесии. Равновесным называется такое состояние тела, при котором геометрическая сумма всех действующих на него сил равна нулю.
Энергия и равновесие
Необходимым условием для того, чтобы система была колебательной, является наличие положения равновесия. Различают три вида равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное (см. рис. 6).
Рис. 6. Виды равновесия
Представьте себе, что у нас есть шарик, который положили в сферический желоб. Что будет, если я выведу этот шарик из положения равновесия? Давайте рассмотрим, какие силы действуют на шарик, и предскажем, что будет с шариком (см. рис. 7).
Рис. 7. Устойчивое равновесие
На шарик действует сила тяжести 
, которая направлена вертикально вниз, сила реакции опоры 
(перпендикулярно касательной, т.е. в сторону радиуса), векторная сумма этих двух сил и будет равнодействующей (мы сложили по правилу параллелограмма), и векторная сумма направлена обратно, к положению равновесия – шарик будет стремиться вернуться в начальное положение. Та же ситуация будет с другой стороны, если шарик сместить в левую сторону от начального положения, такой вид равновесия называется устойчивым.
Что же будет, если мы положим этот же шарик на выпуклую поверхность и немного его сдвинем (см. рис. 8)?
Рис. 8. Неустойчивое равновесие
Обратите внимание сила тяжести и сила реакции опоры по-прежнему направлены также, а вот равнодействующая сила направлена в противоположную сторону от начального положения: шарик будет стремиться скатиться вниз – такое положение равновесия называется неустойчивым.
И наконец, шарик находится на горизонтальной плоскости – равнодействующая двух сил, куда б ни поставили шарик, будет одинаковой (см. рис. 9) – безразличное равновесие (шарику все равно, где лежать на горизонтальной поверхности).
Рис. 9. Безразличное равновесие
Теперь поговорим о равновесии с энергетической точки зрения. Вспомните о примерах в устойчивом и неустойчивом положении шарика: там, где стремился занять первоначальное положение или скатиться вниз, то есть пытался занять такое положение, в котором его потенциальная энергия будет минимальная. Механическая система самопроизвольно стремится занять такое положение, в котором его потенциальная энергия будет минимальная. Пример из жизни очень простой: куда удобно лежать, чем стоять. Теперь перейдем к колебаниям: как же нужно дополнить условия наличия колебательной системы? Мы знаем, что у системы должно быть положение равновесия и что это положение должно быть устойчивым (обязательно!), то есть должна быть возвращающая сила, которая пытается вернуть наш качающийся маятник в положение равновесия
Рассмотрим три случая.
1) Шарик лежит на плоской поверхности (см. рис. 10). На него действует сила тяжести и сила реакции опоры. Сумма этих сил равна 0 – шарик покоится.
Рис. 10. Шарик на плоской поверхности
Если мы сместим шарик вправо (влево) и предоставим самому себе, то нулевое значение равнодействующей сохранится. Шарик по-прежнему будет находиться в состоянии покоя: 
. Такое состояние называют безразличным равновесием.
На шарик, который мы поместили на вогнутую поверхность и сдвинули влево, по-прежнему действуют сила тяжести и сила реакции опоры, но результирующая сила направлена к начальному положению шарика (см. рис. 11).
Рис. 11. Шарик на вогнутой сфере
Шарик в нижнем положении сферы находится в устойчивом равновесии, а сила, возвращающая шарик в начальное положение, – возвращающая сила. В данном случае возвращающая сила – это сумма силы тяжести и реакции опоры: 
. Обратите внимание: чем выше мы поднимаем шарик по вогнутой поверхности, тем больше значение имеет возвращающая сила – связано это с изменением направление силы реакции опоры.
Теперь рассмотрим третье положение, когда шарик находится на выпуклой сфере. В таком положении равнодействующая сил равна 0. Но если мы даже немного выведем его из равновесия, то шарик скатится вниз, то есть возникает сила, которая еще более хочет удалить шарик от исходной точки (см. рис. 12).
Рис. 12. Шарик на выпуклой поверхности
Такое состояние шарика в верхней точке называется неустойчивым.
Условия колебательного движения
В каком из трех приведенных примеров мы наблюдали колебательное движение? Безусловно, это случай устойчивого равновесия. То есть обязательное условие существования колебательного движения – это устойчивое равновесие. Для колебаний необходимо, чтобы в системе было положение устойчивого равновесия, а также возвращающая сила, величина которой тем больше, чем больше смещение тела. Во всех приведенных нами примерах возникают возвращающие силы, величина которых тем выше, чем больше смещение тела от исходного положения, устойчивого. Таким образом, механизм возникновения колебаний следующий: под действием некоторых внешних факторов (например, руки человека) тело выводится из положения устойчивого равновесия, после чего внешние воздействия отключаются. Возвращающая сила тем больше, чем дальше от положения равновесия находится тело. Под действием этой силы тело начинает ускоренно двигаться к точке равновесия, а сила, по мере приближения к этой точке, уменьшается – раз уменьшается сила, то по второму закону Ньютона уменьшается и ускорение, однако скорость при этом нарастает, достигая максимальной скорости тогда, когда тело проходит точку равновесия. Вспомните, где скорость качали максимальная? Конечно же, в нижней точке. В этой же точке сила с ускорением обращаются в 0 (см. рис. 13).
Рис. 13. Максимальная скорость
Несмотря на нулевое положение силы в положении равновесия, тело не останавливается – вспомним о явлении инерции: тело по инерции проскакивает это положение. А дальше картина повторяется, но в обратном направлении: скорость уменьшается, сила возрастает, возрастает и модуль ускорения 
, однако теперь вектор ускорения антипараллелен скорости (см. рис. 14).
Рис. 14. Положение качелей, при котором вектор ускорения антипараллелен скорости
В коне концов в противоположной точке скорость достигает своего минимума, а вот ускорение и сила достигают своих максимальных значений. Дальнейшее движение будет зеркальным отображением описанного выше процесса.
Все приведенные выше значения позволяют ввести понятие колебательной системы, то есть такой системы, в которой в результате отклонения возникает возвращающая сила и система переходит в колебательное движение. Описанные системы совершают свободные колебания, именно такими мы и будем заниматься в ближайшее время, то есть колебания, которые происходят только за счет запасенной начальной энергии. В случае с пружинкой это та энергия, которую сообщила рука, когда оттянула пружинку.
Итак, мы ответили на очень важный вопрос: какой должна быть система, чтоб в ней происходили колебания. Введем теперь некоторые характеристики данной системы.
Характеристики колебательного движения
1) Период колебаний – промежуток времени, по прошествии которого значение координаты, скорости, ускорения и возвращающей силы повторяются. За 1 период система совершает одно полное колебание (см. рис. 15).
Рис. 15. Период колебаний
2) Частота колебаний – число полных колебаний, совершаемых в единицу времени: 
, где N – количество полных колебаний; 
. Частота и период связаны обратной пропорциональностью: 
. Чем больше период, тем меньше частота и наоборот. Частота 
еще иногда называется линейной частотой. Наряду с ней часто используют определение угловой частоты – скалярная физическая величина, мера частоты вращательного или колебательного движения (см. рис .16).
Рис. 16. Угловая частота
3) Амплитуда колебаний – максимальное отклонение (по модулю) координаты тела от положения его равновесия (см. рис. 17).
Рис. 17. Амплитуда колебаний
4) Амплитуда скорости – максимально значение скорости колеблющегося тела.
5) Амплитуда ускорения – максимальное значение ускорения колеблющегося тела.
Уравнение зависимости скорости и ускорения от времени
Разберемся с вопросом: меняется ли скорость и ускорение при колебаниях? Обратимся к математическому маятнику: если мы его вывели из положения равновесия, то он начал совершать колебания. В крайних точках его скорость будет минимальна, а при прохождении положения равновесия его скорость будет максимальной, то есть скорость при колебаниях изменяется. Но если меняется скорость, то изменяется и ускорение, а движение не будет равноускоренным, так как скорость, помимо увеличения или уменьшения, изменяет направление.
Получим закон изменения проекции скорости и проекции ускорения от времени при совершении свободных гармонических колебаний. По какому закону они будут меняться? Попробуем угадать: так как координата меняется от времени по гармоническому закону, то скорость и ускорение тоже будут изменяться по гармоническому закону. Закон, по которому меняется координата со временем, имеет вид: 
.
Закон изменения проекции скорости от времени записан ниже: 
.
Почему же в первом варианте синус, а во втором – косинус? Ответим на этот вопрос. Воспользуемся маятником. Чему равна координата в положении равновесия? Нулю. А при прохождения равновесия скорость максимальна (и наоборот): там, где координата максимальна – скорость минимальна, это точка поворота, поэтому если в первом выражении синус, то во втором – косинус (и наоборот). Перейдем к проекции ускорения от времени: 
.
Откуда же берется знак минус? Так как координата нарастает (маятник идет вверх), а возвращающая сила направлена вниз. По второму закону Ньютона, куда направлена результирующая сила, туда же направлено и ускорение – итак, если координата растет, ускорение со знаком минус, то есть по модулю оно растет, а по направлению оно противоположно (и наоборот).
Мы получили законы, по которым изменяются проекции скорости и ускорения при свободных гармонических колебаниях. Теперь у нас есть полный спектр кинематических характеристик. Закон изменения координаты от времени, проекции скорости от времени и проекции ускорения от времени
Маятник
Введем еще один термин. Маятник – система, подвешенная в поле тяжести и совершающая механические колебания (см. рис. 18).
Рис. 18. Маятники
Давайте посмотрим зависимость координаты x от времени t для маятника, совершающего колебательное движение. Зависимость является периодической, то есть тело всегда возвращается в то положение, из которого оно начинало движение (см. рис. 19).
Рис. 19. Зависимость координаты от времени
На графике показан период колебаний и амплитуда колебаний. Есть еще одна характеристика колебаний – фаза колебаний. Рассмотрим два одинаковых маятника, которые совершают колебания таким образом, что когда первый маятник находится в крайне правом положении, то второй маятник находится в крайне левом положении (см. рис. 20).
Рис. 20. Два маятника
Частоты колебаний маятников равны между собой, однако их отклонение от положения равновесия скорости и ускорения в любой момент времени противоположны по знаку и равны по модулю (см. рис. 21).
Рис. 21. Маятники колеблются в противоположных фазах
О таких маятниках говорят, что они колеблются в противоположных фазах. Если же маятники будут колебаться так, что все кинематические величины в любой момент времени будут совпадать и по модулю, и по знаку, то маятники колеблются в одинаковой фазе, то есть синфазно (см. рис. 22).
Рис. 22. Маятники колеблются синфазно
Бывают такие ситуации, когда маятники колеблются не синфазно и не противофазно, тогда говорят, что в колебательных системах присутствует некая разность фаз (см. рис. 23).
Рис. 23. Разность фаз
Таким образом, фаза – это величина, которая показывает, на сколько колебания одного маятника опережают или отстают по сравнению с колебаниями второго.
Колебания для нас представляют огромный интерес, ведь колебательные движения так часто встречаются в природе. Мы отметили аналогию между вращательным и колебательным движением, более того, нашли величины, такие как период и частота, которые описывают как вращательное движение, так и колебательное. Также выяснили, что же должно быть, чтоб система являлась колебательной.