Колебательное движение

 Введение

Мы уже имеем пред­став­ле­ние о спо­со­бах ре­ше­ния глав­ной за­да­чи ме­ха­ни­ки для несколь­ких слу­ча­ев – это слу­чаи рав­но­мер­но­го и рав­но­уско­рен­но­го дви­же­ния. Такое дви­же­ние обу­слав­ли­ва­ют по­сто­ян­ные силы, ко­то­рые не за­ви­сят от вре­ме­ни или по­ло­же­ния дви­жу­щих­ся тел. Од­на­ко боль­шин­ство сил, ко­то­рые встре­ча­ют­ся в при­ро­де, не яв­ля­ют­ся по­сто­ян­ны­ми ве­ли­чи­на­ми. К при­ме­ру, изу­чен­ная нами сила все­мир­но­го тя­го­те­ния за­ви­сит от рас­сто­я­ния между вза­и­мо­дей­ству­ю­щи­ми те­ла­ми (см. рис. 1).

Сила все­мир­но­го тя­го­те­ния

Рис. 1. Сила все­мир­но­го тя­го­те­ния

Когда мы опи­сы­ва­ли дви­же­ние тела в поле тя­же­сти Земли, мы пре­не­бре­га­ли этой за­ви­си­мо­стью, по­сколь­ку в силу ма­ло­сти раз­ме­ров опи­сы­ва­е­мых тел, по срав­не­нию с ра­ди­у­сом нашей пла­не­ты, силу при­тя­же­ния к ней можно было счи­тать по­сто­ян­ной, пока тело не уда­ля­лось от по­верх­но­сти Земли на зна­чи­тель­ное рас­сто­я­ние. Вы пом­ни­те фор­му­лу . Од­на­ко если на­чать рас­смат­ри­вать дви­же­ние тел в кос­ми­че­ских мас­шта­бах, то не учи­ты­вать за­ви­си­мость силы от по­ло­же­ния дви­жу­ще­го­ся тела уже нель­зя – за­да­ча зна­чи­тель­но услож­ня­ет­ся.

 Колебательное движение

Су­ще­ству­ют также силы, за­ви­си­мость ко­то­рых от сме­ще­ния (от ко­ор­ди­на­ты), про­яв­ля­ет­ся уже при малых зна­че­ни­ях этого са­мо­го сме­ще­ния. Рас­смот­рим про­стую си­сте­му: груз, под­ве­шен­ный на пру­жине, если в этой си­сте­ме внеш­ни­ми воз­дей­стви­я­ми не воз­буж­дать ни­ка­кие дви­же­ния, то груз будет на­хо­дить­ся в непо­движ­ном со­сто­я­нии бес­ко­неч­но долго – это есте­ствен­но, од­на­ко если ка­ким-то об­ра­зом сме­стить груз (см. рис. 2), а затем от­пу­стить его, то он пе­рей­дет в со­сто­я­ние дви­же­ния, при­чем дви­же­ние это не будет со­от­вет­ство­вать ни од­но­му из ранее изу­чен­ных типов. Оно не яв­ля­ет­ся ни рав­но­мер­ным, ни рав­но­уско­рен­ным.

Сме­ще­ние груза

Рис. 2. Сме­ще­ние груза

Еще один при­мер си­сте­мы, в ко­то­рой сила, дей­ству­ю­щая на тело, су­ще­ствен­но за­ви­сит от сме­ще­ния тела: возь­мем неболь­шое мас­сив­ное тело, под­ве­сим его к опоре на длин­ной лег­кой нерас­тя­жи­мой нити и оста­вим си­сте­му в покое (см. рис. 3).

Груз, под­ве­шен­ный на опоре

Рис. 3. Груз, под­ве­шен­ный на опоре

Есте­ствен­но, что груз будет непо­движ­но ви­сеть. Такое по­ло­же­ние ло­гич­но на­звать рав­но­ве­си­ем. Остав­ляя длину нити неиз­мен­ной, слег­ка от­кло­ним груз от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия и от­пу­стим (см. рис. 4).

От­кло­не­ние груза от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия

Рис. 4. От­кло­не­ние груза от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия

Груз нач­нет со­вер­шать дви­же­ния – тип ко­то­ро­го, как и в про­шлом при­ме­ре, не будет со­от­вет­ство­вать ни од­но­му из­вест­но­му нам дви­же­нию. Когда го­во­рим «ни од­но­му из из­вест­ных», то под­ра­зу­ме­ва­ем из­вест­ность с точки зре­ния фи­зи­ки, то есть с точки зре­ния ре­ше­ния глав­ной за­да­чи ме­ха­ни­ки – опре­де­ле­ния тела в любой мо­мент вре­ме­ни – за­ко­на .

Ре­ше­ние глав­ной за­да­чи ме­ха­ни­ки в слу­чае ко­ле­ба­ний

Как вы зна­е­те, ме­ха­ни­че­ские ко­ле­ба­ния – это один из видов ме­ха­ни­че­ско­го дви­же­ния. А какая же глав­ная за­да­ча ме­ха­ни­ки? Мы пом­ним, что это опре­де­ле­ние по­ло­же­ния тела в любой мо­мент вре­ме­ни. В нашем слу­чае мы го­во­рим о за­пи­си урав­не­ния или за­ко­на за­ви­си­мо­сти ко­ор­ди­на­ты от вре­ме­ни. Да­вай­те по­лу­чим закон ко­ор­ди­на­ты от вре­ме­ни для ме­ха­ни­че­ских ко­ле­ба­ний. Закон, ко­то­рый мы ищем, по­пы­та­ем­ся уга­дать, а не вы­ве­сти. По­че­му же? По­то­му что уров­ня зна­ний ма­те­ма­ти­ки в 9 клас­се нам пока не до­ста­точ­но для стро­го­го вы­во­да. Од­на­ко не стоит ду­мать, что тот закон, ко­то­рый мы по­лу­чим, будет непра­виль­ным.

Мы знаем, что ко­ле­ба­ния – это пе­ри­о­ди­че­ский или почти пе­ри­о­ди­че­ский про­цесс. Зна­чит, закон  – это пе­ри­о­ди­че­ская функ­ция. Пе­ри­о­ди­че­ские функ­ции, ко­то­рые мы знаем, это  или  Тогда будет ли дан­ная за­ви­си­мость –  – ре­ше­ни­ем глав­ной за­да­чи ме­ха­ни­ки для ко­ле­ба­ний? Ко­неч­но же, нет! По­че­му?  – это метры, синус – без­раз­мер­ная ве­ли­чи­на, с точки зре­ния фи­зи­ки, аб­сурд, нам нужно усо­вер­шен­ство­вать ту фор­му­лу, ко­то­рую мы сей­час за­пи­са­ли: здесь спра­ва и слева долж­ны сто­ять метры.

По­про­бу­ем уга­дать, какое мак­си­маль­ное зна­че­ние при­об­ре­та­ет синус или ко­си­нус. Это еди­ни­ца, а какое мак­си­маль­ное от­кло­не­ние от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия ко­леб­лю­ще­го­ся ма­ят­ни­ка? Это ам­пли­ту­да (см. рис. 5).

Ам­пли­ту­да

Рис. 5. Ам­пли­ту­да

Итак, ста­но­вит­ся ясно, что перед си­ну­сом нужно по­ста­вить ам­пли­туд­ное зна­че­ние, то есть .

Ну что, мы уга­да­ли? Ко­неч­но же, нет, так как время из­ме­ря­ет­ся в се­кун­дах. Зна­чит, на месте ве­ли­чи­ны  долж­на сто­ять ве­ли­чи­на, ко­то­рая из­ме­ря­ет­ся в гра­ду­сах или ра­ди­а­нах. Это фаза ко­ле­ба­ний – про­из­ве­де­ние цик­ли­че­ской ча­сто­ты на время: .

Мы по­лу­ча­ем закон, ко­то­рый опи­сы­ва­ет сво­бод­ные гар­мо­ни­че­ские ко­ле­ба­ния: .

Ответ по­лу­чен

Есте­ствен­но, что с жи­тей­ской точки зре­ния нам все эти виды из­вест­ны (дви­же­ние гру­зи­ка на нити и на пру­жин­ке – ведь мы так часто ка­та­ем­ся на ка­че­лях, ма­ят­ник часов, по­пла­вок на воде, стру­на му­зы­каль­но­го ин­стру­мен­та, мем­бра­на ди­на­ми­ка), тем более будет более ин­те­рес­ным изу­чить эти яв­ле­ния с точки зре­ния фи­зи­ки.

Несмот­ря на раз­но­об­ра­зие при­ве­ден­ных при­ме­ров, общее у них одно – свой­ство по­вто­ря­е­мо­сти. Вер­нем­ся к при­ме­ру с пру­жи­ной и нитью: вы­хо­дит, что и ко­ор­ди­на­та, и ско­рость, и уско­ре­ние груза от вре­ме­ни за­ви­сит пе­ри­о­ди­че­ским об­ра­зом, то есть через опре­де­лен­ные от­рез­ки вре­ме­ни они при­ни­ма­ют одни и те же зна­че­ния – такое дви­же­ние мы будем на­зы­вать ко­ле­ба­тель­ным.

Ко­ле­ба­тель­ное дви­же­ние – это такое дви­же­ние тела, при ко­то­ром зна­че­ния ки­не­ма­ти­че­ских ха­рак­те­ри­стик (ко­ор­ди­на­та, ско­рость, уско­ре­ние) пе­ри­о­ди­че­ски по­вто­ря­ют­ся с те­че­ни­ем вре­ме­ни. Кста­ти, можно от­ме­тить, что вра­ща­тель­ное дви­же­ние – одно из та­ко­го типа дви­же­ния. Вспом­ни­те: стрел­ка часов тоже пе­ри­о­ди­че­ски воз­вра­ща­ет­ся на опре­де­лен­ное место шкалы. Связь между ко­ле­ба­тель­ным и вра­ща­тель­ным дви­же­ни­ем нами будет изу­че­на позже. А сей­час при­сту­пим к глав­ным ха­рак­те­ри­сти­кам та­ко­го дви­же­ния, а также по­го­во­рим о том, какая долж­на быть си­сте­ма, чтобы в ней про­ис­хо­ди­ло ко­ле­ба­тель­ное дви­же­ние.

 Механическое равновесие

Для на­ча­ла по­го­во­рим о ме­ха­ни­че­ском рав­но­ве­сии. Рав­но­вес­ным на­зы­ва­ет­ся такое со­сто­я­ние тела, при ко­то­ром гео­мет­ри­че­ская сумма всех дей­ству­ю­щих на него сил равна нулю.

Энер­гия и рав­но­ве­сие

Необ­хо­ди­мым усло­ви­ем для того, чтобы си­сте­ма была ко­ле­ба­тель­ной, яв­ля­ет­ся на­ли­чие по­ло­же­ния рав­но­ве­сия. Раз­ли­ча­ют три вида рав­но­ве­сия: устой­чи­вое, неустой­чи­вое и без­раз­лич­ное (см. рис. 6).

Виды рав­но­ве­сия

Рис. 6. Виды рав­но­ве­сия

Пред­ставь­те себе, что у нас есть шарик, ко­то­рый по­ло­жи­ли в сфе­ри­че­ский желоб. Что будет, если я вы­ве­ду этот шарик из по­ло­же­ния рав­но­ве­сия? Да­вай­те рас­смот­рим, какие силы дей­ству­ют на шарик, и пред­ска­жем, что будет с ша­ри­ком (см. рис. 7).

Устой­чи­вое рав­но­ве­сие

Рис. 7. Устой­чи­вое рав­но­ве­сие

На шарик дей­ству­ет сила тя­же­сти , ко­то­рая на­прав­ле­на вер­ти­каль­но вниз, сила ре­ак­ции опоры  (пер­пен­ди­ку­ляр­но ка­са­тель­ной, т.е. в сто­ро­ну ра­ди­у­са), век­тор­ная сумма этих двух сил и будет рав­но­дей­ству­ю­щей (мы сло­жи­ли по пра­ви­лу па­рал­ле­ло­грам­ма), и век­тор­ная сумма на­прав­ле­на об­рат­но, к по­ло­же­нию рав­но­ве­сия – шарик будет стре­мить­ся вер­нуть­ся в на­чаль­ное по­ло­же­ние. Та же си­ту­а­ция будет с дру­гой сто­ро­ны, если шарик сме­стить в левую сто­ро­ну от на­чаль­но­го по­ло­же­ния, такой вид рав­но­ве­сия на­зы­ва­ет­ся устой­чи­вым.

Что же будет, если мы по­ло­жим этот же шарик на вы­пук­лую по­верх­ность и немно­го его сдви­нем (см. рис. 8)?

Неустой­чи­вое рав­но­ве­сие

Рис. 8. Неустой­чи­вое рав­но­ве­сие

Об­ра­ти­те вни­ма­ние сила тя­же­сти и сила ре­ак­ции опоры по-преж­не­му на­прав­ле­ны также, а вот рав­но­дей­ству­ю­щая сила на­прав­ле­на в про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну от на­чаль­но­го по­ло­же­ния: шарик будет стре­мить­ся ска­тить­ся вниз – такое по­ло­же­ние рав­но­ве­сия на­зы­ва­ет­ся неустой­чи­вым.

И на­ко­нец, шарик на­хо­дит­ся на го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти – рав­но­дей­ству­ю­щая двух сил, куда б ни по­ста­ви­ли шарик, будет оди­на­ко­вой (см. рис. 9) – без­раз­лич­ное рав­но­ве­сие (ша­ри­ку все равно, где ле­жать на го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти).

Без­раз­лич­ное рав­но­ве­сие

Рис. 9. Без­раз­лич­ное рав­но­ве­сие

Те­перь по­го­во­рим о рав­но­ве­сии с энер­ге­ти­че­ской точки зре­ния. Вспом­ни­те о при­ме­рах в устой­чи­вом и неустой­чи­вом по­ло­же­нии ша­ри­ка: там, где стре­мил­ся за­нять пер­во­на­чаль­ное по­ло­же­ние или ска­тить­ся вниз, то есть пы­тал­ся за­нять такое по­ло­же­ние, в ко­то­ром его по­тен­ци­аль­ная энер­гия будет ми­ни­маль­ная. Ме­ха­ни­че­ская си­сте­ма са­мо­про­из­воль­но стре­мит­ся за­нять такое по­ло­же­ние, в ко­то­ром его по­тен­ци­аль­ная энер­гия будет ми­ни­маль­ная. При­мер из жизни очень про­стой: куда удоб­но ле­жать, чем сто­ять. Те­перь пе­рей­дем к ко­ле­ба­ни­ям: как же нужно до­пол­нить усло­вия на­ли­чия ко­ле­ба­тель­ной си­сте­мы? Мы знаем, что у си­сте­мы долж­но быть по­ло­же­ние рав­но­ве­сия и что это по­ло­же­ние долж­но быть устой­чи­вым (обя­за­тель­но!), то есть долж­на быть воз­вра­ща­ю­щая сила, ко­то­рая пы­та­ет­ся вер­нуть наш ка­ча­ю­щий­ся ма­ят­ник в по­ло­же­ние рав­но­ве­сия

Рас­смот­рим три слу­чая.

1) Шарик лежит на плос­кой по­верх­но­сти (см. рис. 10). На него дей­ству­ет сила тя­же­сти и сила ре­ак­ции опоры. Сумма этих сил равна 0 – шарик по­ко­ит­ся.

Шарик на плос­кой по­верх­но­сти

Рис. 10. Шарик на плос­кой по­верх­но­сти

Если мы сме­стим шарик впра­во (влево) и предо­ста­вим са­мо­му себе, то ну­ле­вое зна­че­ние рав­но­дей­ству­ю­щей со­хра­нит­ся. Шарик по-преж­не­му будет на­хо­дить­ся в со­сто­я­нии покоя: . Такое со­сто­я­ние на­зы­ва­ют без­раз­лич­ным рав­но­ве­си­ем.

На шарик, ко­то­рый мы по­ме­сти­ли на во­гну­тую по­верх­ность и сдви­ну­ли влево, по-преж­не­му дей­ству­ют сила тя­же­сти и сила ре­ак­ции опоры, но ре­зуль­ти­ру­ю­щая сила на­прав­ле­на к на­чаль­но­му по­ло­же­нию ша­ри­ка (см. рис. 11).

Шарик на во­гну­той сфере

Рис. 11. Шарик на во­гну­той сфере

Шарик в ниж­нем по­ло­же­нии сферы на­хо­дит­ся в устой­чи­вом рав­но­ве­сии, а сила, воз­вра­ща­ю­щая шарик в на­чаль­ное по­ло­же­ние, – воз­вра­ща­ю­щая сила. В дан­ном слу­чае воз­вра­ща­ю­щая сила – это сумма силы тя­же­сти и ре­ак­ции опоры: . Об­ра­ти­те вни­ма­ние: чем выше мы под­ни­ма­ем шарик по во­гну­той по­верх­но­сти, тем боль­ше зна­че­ние имеет воз­вра­ща­ю­щая сила – свя­за­но это с из­ме­не­ни­ем на­прав­ле­ние силы ре­ак­ции опоры.

Те­перь рас­смот­рим тре­тье по­ло­же­ние, когда шарик на­хо­дит­ся на вы­пук­лой сфере. В таком по­ло­же­нии рав­но­дей­ству­ю­щая сил равна 0. Но если мы даже немно­го вы­ве­дем его из рав­но­ве­сия, то шарик ска­тит­ся вниз, то есть воз­ни­ка­ет сила, ко­то­рая еще более хочет уда­лить шарик от ис­ход­ной точки (см. рис. 12).

Шарик на вы­пук­лой по­верх­но­сти

Рис. 12. Шарик на вы­пук­лой по­верх­но­сти

Такое со­сто­я­ние ша­ри­ка в верх­ней точке на­зы­ва­ет­ся неустой­чи­вым.

 Условия колебательного движения

В каком из трех при­ве­ден­ных при­ме­ров мы на­блю­да­ли ко­ле­ба­тель­ное дви­же­ние? Без­услов­но, это слу­чай устой­чи­во­го рав­но­ве­сия. То есть обя­за­тель­ное усло­вие су­ще­ство­ва­ния ко­ле­ба­тель­но­го дви­же­ния – это устой­чи­вое рав­но­ве­сие. Для ко­ле­ба­ний необ­хо­ди­мо, чтобы в си­сте­ме было по­ло­же­ние устой­чи­во­го рав­но­ве­сия, а также воз­вра­ща­ю­щая сила, ве­ли­чи­на ко­то­рой тем боль­ше, чем боль­ше сме­ще­ние тела. Во всех при­ве­ден­ных нами при­ме­рах воз­ни­ка­ют воз­вра­ща­ю­щие силы, ве­ли­чи­на ко­то­рых тем выше, чем боль­ше сме­ще­ние тела от ис­ход­но­го по­ло­же­ния, устой­чи­во­го. Таким об­ра­зом, ме­ха­низм воз­ник­но­ве­ния ко­ле­ба­ний сле­ду­ю­щий: под дей­стви­ем неко­то­рых внеш­них фак­то­ров (на­при­мер, руки че­ло­ве­ка) тело вы­во­дит­ся из по­ло­же­ния устой­чи­во­го рав­но­ве­сия, после чего внеш­ние воз­дей­ствия от­клю­ча­ют­ся. Воз­вра­ща­ю­щая сила тем боль­ше, чем даль­ше от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия на­хо­дит­ся тело. Под дей­стви­ем этой силы тело на­чи­на­ет уско­рен­но дви­гать­ся к точке рав­но­ве­сия, а сила, по мере при­бли­же­ния к этой точке, умень­ша­ет­ся – раз умень­ша­ет­ся сила, то по вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на умень­ша­ет­ся и уско­ре­ние, од­на­ко ско­рость при этом на­рас­та­ет, до­сти­гая мак­си­маль­ной ско­ро­сти тогда, когда тело про­хо­дит точку рав­но­ве­сия. Вспом­ни­те, где ско­рость ка­ча­ли мак­си­маль­ная? Ко­неч­но же, в ниж­ней точке. В этой же точке сила с уско­ре­ни­ем об­ра­ща­ют­ся в 0 (см. рис. 13).

Мак­си­маль­ная ско­рость

Рис. 13. Мак­си­маль­ная ско­рость

Несмот­ря на ну­ле­вое по­ло­же­ние силы в по­ло­же­нии рав­но­ве­сия, тело не оста­нав­ли­ва­ет­ся – вспом­ним о яв­ле­нии инер­ции: тело по инер­ции про­ска­ки­ва­ет это по­ло­же­ние. А даль­ше кар­ти­на по­вто­ря­ет­ся, но в об­рат­ном на­прав­ле­нии: ско­рость умень­ша­ет­ся, сила воз­рас­та­ет, воз­рас­та­ет и мо­дуль уско­ре­ния , од­на­ко те­перь век­тор уско­ре­ния ан­ти­па­рал­ле­лен ско­ро­сти (см. рис. 14).

По­ло­же­ние ка­че­лей, при ко­то­ром век­тор уско­ре­ния ан­ти­па­рал­ле­лен ско­ро­сти

Рис. 14. По­ло­же­ние ка­че­лей, при ко­то­ром век­тор уско­ре­ния ан­ти­па­рал­ле­лен ско­ро­сти

В коне кон­цов в про­ти­во­по­лож­ной точке ско­рость до­сти­га­ет сво­е­го ми­ни­му­ма, а вот уско­ре­ние и сила до­сти­га­ют своих мак­си­маль­ных зна­че­ний. Даль­ней­шее дви­же­ние будет зер­каль­ным отоб­ра­же­ни­ем опи­сан­но­го выше про­цес­са.

Все при­ве­ден­ные выше зна­че­ния поз­во­ля­ют вве­сти по­ня­тие ко­ле­ба­тель­ной си­сте­мы, то есть такой си­сте­мы, в ко­то­рой в ре­зуль­та­те от­кло­не­ния воз­ни­ка­ет воз­вра­ща­ю­щая сила и си­сте­ма пе­ре­хо­дит в ко­ле­ба­тель­ное дви­же­ние. Опи­сан­ные си­сте­мы со­вер­ша­ют сво­бод­ные ко­ле­ба­ния, имен­но та­ки­ми мы и будем за­ни­мать­ся в бли­жай­шее время, то есть ко­ле­ба­ния, ко­то­рые про­ис­хо­дят толь­ко за счет за­па­сен­ной на­чаль­ной энер­гии. В слу­чае с пру­жин­кой это та энер­гия, ко­то­рую со­об­щи­ла рука, когда от­тя­ну­ла пру­жин­ку.

Итак, мы от­ве­ти­ли на очень важ­ный во­прос: какой долж­на быть си­сте­ма, чтоб в ней про­ис­хо­ди­ли ко­ле­ба­ния. Вве­дем те­перь неко­то­рые ха­рак­те­ри­сти­ки дан­ной си­сте­мы.

 Характеристики колебательного движения

1) Пе­ри­од ко­ле­ба­ний – про­ме­жу­ток вре­ме­ни, по про­ше­ствии ко­то­ро­го зна­че­ние ко­ор­ди­на­ты, ско­ро­сти, уско­ре­ния и воз­вра­ща­ю­щей силы по­вто­ря­ют­ся. За 1 пе­ри­од си­сте­ма со­вер­ша­ет одно пол­ное ко­ле­ба­ние (см. рис. 15).

Пе­ри­од ко­ле­ба­ний

Рис. 15. Пе­ри­од ко­ле­ба­ний

2) Ча­сто­та ко­ле­ба­ний – число пол­ных ко­ле­ба­ний, со­вер­ша­е­мых в еди­ни­цу вре­ме­ни: , где N – ко­ли­че­ство пол­ных ко­ле­ба­ний; . Ча­сто­та и пе­ри­од свя­за­ны об­рат­ной про­пор­ци­о­наль­но­стью: . Чем боль­ше пе­ри­од, тем мень­ше ча­сто­та и на­о­бо­рот. Ча­сто­та  еще ино­гда на­зы­ва­ет­ся ли­ней­ной ча­сто­той. На­ря­ду с ней часто ис­поль­зу­ют опре­де­ле­ние уг­ло­вой ча­сто­ты – ска­ляр­ная фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на, мера ча­сто­ты вра­ща­тель­но­го или ко­ле­ба­тель­но­го дви­же­ния (см. рис .16).

Уг­ло­вая ча­сто­та

Рис. 16. Уг­ло­вая ча­сто­та

3) Ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний – мак­си­маль­ное от­кло­не­ние (по мо­ду­лю) ко­ор­ди­на­ты тела от по­ло­же­ния его рав­но­ве­сия (см. рис. 17).

Ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний

Рис. 17. Ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний

4) Ам­пли­ту­да ско­ро­сти – мак­си­маль­но зна­че­ние ско­ро­сти ко­леб­лю­ще­го­ся тела.

5) Ам­пли­ту­да уско­ре­ния – мак­си­маль­ное зна­че­ние уско­ре­ния ко­леб­лю­ще­го­ся тела.

Урав­не­ние за­ви­си­мо­сти ско­ро­сти и уско­ре­ния от вре­ме­ни

Раз­бе­рем­ся с во­про­сом: ме­ня­ет­ся ли ско­рость и уско­ре­ние при ко­ле­ба­ни­ях? Об­ра­тим­ся к ма­те­ма­ти­че­ско­му ма­ят­ни­ку: если мы его вы­ве­ли из по­ло­же­ния рав­но­ве­сия, то он начал со­вер­шать ко­ле­ба­ния. В край­них точ­ках его ско­рость будет ми­ни­маль­на, а при про­хож­де­нии по­ло­же­ния рав­но­ве­сия его ско­рость будет мак­си­маль­ной, то есть ско­рость при ко­ле­ба­ни­ях из­ме­ня­ет­ся. Но если ме­ня­ет­ся ско­рость, то из­ме­ня­ет­ся и уско­ре­ние, а дви­же­ние не будет рав­но­уско­рен­ным, так как ско­рость, по­ми­мо уве­ли­че­ния или умень­ше­ния, из­ме­ня­ет на­прав­ле­ние.

По­лу­чим закон из­ме­не­ния про­ек­ции ско­ро­сти и про­ек­ции уско­ре­ния от вре­ме­ни при со­вер­ше­нии сво­бод­ных гар­мо­ни­че­ских ко­ле­ба­ний. По ка­ко­му за­ко­ну они будут ме­нять­ся? По­про­бу­ем уга­дать: так как ко­ор­ди­на­та ме­ня­ет­ся от вре­ме­ни по гар­мо­ни­че­ско­му за­ко­ну, то ско­рость и уско­ре­ние тоже будут из­ме­нять­ся по гар­мо­ни­че­ско­му за­ко­ну. Закон, по ко­то­ро­му ме­ня­ет­ся ко­ор­ди­на­та со вре­ме­нем, имеет вид: .

Закон из­ме­не­ния про­ек­ции ско­ро­сти от вре­ме­ни за­пи­сан ниже: .

По­че­му же в пер­вом ва­ри­ан­те синус, а во вто­ром – ко­си­нус? От­ве­тим на этот во­прос. Вос­поль­зу­ем­ся ма­ят­ни­ком. Чему равна ко­ор­ди­на­та в по­ло­же­нии рав­но­ве­сия? Нулю. А при про­хож­де­ния рав­но­ве­сия ско­рость мак­си­маль­на (и на­о­бо­рот): там, где ко­ор­ди­на­та мак­си­маль­на – ско­рость ми­ни­маль­на, это точка по­во­ро­та, по­это­му если в пер­вом вы­ра­же­нии синус, то во вто­ром – ко­си­нус (и на­о­бо­рот). Пе­рей­дем к про­ек­ции уско­ре­ния от вре­ме­ни: .

От­ку­да же бе­рет­ся знак минус? Так как ко­ор­ди­на­та на­рас­та­ет (ма­ят­ник идет вверх), а воз­вра­ща­ю­щая сила на­прав­ле­на вниз. По вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на, куда на­прав­ле­на ре­зуль­ти­ру­ю­щая сила, туда же на­прав­ле­но и уско­ре­ние – итак, если ко­ор­ди­на­та рас­тет, уско­ре­ние со зна­ком минус, то есть по мо­ду­лю оно рас­тет, а по на­прав­ле­нию оно про­ти­во­по­лож­но (и на­о­бо­рот).

Мы по­лу­чи­ли за­ко­ны, по ко­то­рым из­ме­ня­ют­ся про­ек­ции ско­ро­сти и уско­ре­ния при сво­бод­ных гар­мо­ни­че­ских ко­ле­ба­ни­ях. Те­перь у нас есть пол­ный спектр ки­не­ма­ти­че­ских ха­рак­те­ри­стик. Закон из­ме­не­ния ко­ор­ди­на­ты от вре­ме­ни, про­ек­ции ско­ро­сти от вре­ме­ни и про­ек­ции уско­ре­ния от вре­ме­ни

 Маятник

Вве­дем еще один тер­мин. Ма­ят­ник – си­сте­ма, под­ве­шен­ная в поле тя­же­сти и со­вер­ша­ю­щая ме­ха­ни­че­ские ко­ле­ба­ния (см. рис. 18).

Ма­ят­ни­ки

Рис. 18. Ма­ят­ни­ки

Да­вай­те по­смот­рим за­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты x от вре­ме­ни t для ма­ят­ни­ка, со­вер­ша­ю­ще­го ко­ле­ба­тель­ное дви­же­ние. За­ви­си­мость яв­ля­ет­ся пе­ри­о­ди­че­ской, то есть тело все­гда воз­вра­ща­ет­ся в то по­ло­же­ние, из ко­то­ро­го оно на­чи­на­ло дви­же­ние (см. рис. 19).

За­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты от вре­ме­ни

Рис. 19. За­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты от вре­ме­ни

На гра­фи­ке по­ка­зан пе­ри­од ко­ле­ба­ний и ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний. Есть еще одна ха­рак­те­ри­сти­ка ко­ле­ба­ний – фаза ко­ле­ба­ний. Рас­смот­рим два оди­на­ко­вых ма­ят­ни­ка, ко­то­рые со­вер­ша­ют ко­ле­ба­ния таким об­ра­зом, что когда пер­вый ма­ят­ник на­хо­дит­ся в крайне пра­вом по­ло­же­нии, то вто­рой ма­ят­ник на­хо­дит­ся в крайне левом по­ло­же­нии (см. рис. 20).

Два ма­ят­ни­ка

Рис. 20. Два ма­ят­ни­ка

Ча­сто­ты ко­ле­ба­ний ма­ят­ни­ков равны между собой, од­на­ко их от­кло­не­ние от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия ско­ро­сти и уско­ре­ния в любой мо­мент вре­ме­ни про­ти­во­по­лож­ны по знаку и равны по мо­ду­лю (см. рис. 21).

Ма­ят­ни­ки ко­леб­лют­ся в про­ти­во­по­лож­ных фазах

Рис. 21. Ма­ят­ни­ки ко­леб­лют­ся в про­ти­во­по­лож­ных фазах

О таких ма­ят­ни­ках го­во­рят, что они ко­леб­лют­ся в про­ти­во­по­лож­ных фазах. Если же ма­ят­ни­ки будут ко­ле­бать­ся так, что все ки­не­ма­ти­че­ские ве­ли­чи­ны в любой мо­мент вре­ме­ни будут сов­па­дать и по мо­ду­лю, и по знаку, то ма­ят­ни­ки ко­леб­лют­ся в оди­на­ко­вой фазе, то есть син­фаз­но (см. рис. 22).

Ма­ят­ни­ки ко­леб­лют­ся син­фаз­но

Рис. 22. Ма­ят­ни­ки ко­леб­лют­ся син­фаз­но

Бы­ва­ют такие си­ту­а­ции, когда ма­ят­ни­ки ко­леб­лют­ся не син­фаз­но и не про­ти­во­фаз­но, тогда го­во­рят, что в ко­ле­ба­тель­ных си­сте­мах при­сут­ству­ет некая раз­ность фаз (см. рис. 23).

Раз­ность фаз

Рис. 23. Раз­ность фаз

Таким об­ра­зом, фаза – это ве­ли­чи­на, ко­то­рая по­ка­зы­ва­ет, на сколь­ко ко­ле­ба­ния од­но­го ма­ят­ни­ка опе­ре­жа­ют или от­ста­ют по срав­не­нию с ко­ле­ба­ни­я­ми вто­ро­го.

Ко­ле­ба­ния для нас пред­став­ля­ют огром­ный ин­те­рес, ведь ко­ле­ба­тель­ные дви­же­ния так часто встре­ча­ют­ся в при­ро­де. Мы от­ме­ти­ли ана­ло­гию между вра­ща­тель­ным и ко­ле­ба­тель­ным дви­же­ни­ем, более того, нашли ве­ли­чи­ны, такие как пе­ри­од и ча­сто­та, ко­то­рые опи­сы­ва­ют как вра­ща­тель­ное дви­же­ние, так и ко­ле­ба­тель­ное. Также вы­яс­ни­ли, что же долж­но быть, чтоб си­сте­ма яв­ля­лась ко­ле­ба­тель­ной.

Последнее изменение: Пятница, 1 Июнь 2018, 16:35