Лабораторная работа «Исследование колебаний математического маятника»

 Цель работы. Оборудование

Цель: вы­яс­нить, как за­ви­сит пе­ри­од и ча­сто­та сво­бод­ных ко­ле­ба­ний ма­те­ма­ти­че­ско­го ма­ят­ни­ка от его длины.

Обо­ру­до­ва­ние: шта­тив с муф­той и лап­кой, шарик с нитью, се­кун­до­мер.

Для вы­пол­не­ния ра­бо­ты нам по­тре­бу­ет­ся таб­ли­ца. Таб­ли­ца будет со­сто­ять из сле­ду­ю­щих ча­стей:

Во-пер­вых, нужно опре­де­лить ко­ли­че­ство экс­пе­ри­мен­тов. В дан­ном слу­чае их 5. По вер­ти­ка­ли за­пи­са­ны те самые ве­ли­чи­ны, ко­то­рые мы будем из­ме­рять. В первую оче­редь длина са­мо­го ма­ят­ни­ка в сан­ти­мет­рах. Сле­ду­ю­щая ве­ли­чи­на – ко­ли­че­ство ко­ле­ба­ний. Далее, пол­ное время ко­ле­ба­ний. Сле­ду­ю­щие две графы – это пе­ри­од ко­ле­ба­ний, ко­то­рый из­ме­ря­ет­ся в се­кун­дах, и ча­сто­та в Гц. Об­ра­ти­те вни­ма­ние, что мы за­ра­нее за­пи­са­ли те ве­ли­чи­ны, ко­то­рые будем ис­поль­зо­вать. В первую оче­редь это длина ни­тя­но­го ма­ят­ни­ка. На­чаль­ная длина: 5 см – это очень ко­рот­кий ма­ят­ник. Даль­ше, 20, 45, 80 и 125. Число ко­ле­ба­ний мы будем ис­поль­зо­вать по­сто­ян­ное. Это 30 ко­ле­ба­ний. В каж­дом экс­пе­ри­мен­те мы будем ис­поль­зо­вать по 30 ко­ле­ба­ний.

 Проведение серии экспериментов

Со­бе­рем экс­пе­ри­мен­таль­ную уста­нов­ку. Уста­нов­ка со­сто­ит из ша­ри­ка на нити. Нить про­дер­ну­та через ла­стик. Это сде­ла­но для того, чтобы можно было ре­гу­ли­ро­вать его длину. Об­ра­ти­те вни­ма­ние, что сам ла­стик укреп­лен в лапке шта­ти­ва.

Рис. 1. Гру­зик на нити, за­креп­лен­ный в шта­ти­ве 

Для из­ме­ре­ния длины будем ис­поль­зо­вать ли­ней­ку и се­кун­до­мер. Итак, мы от­счи­та­ли 30 ко­ле­ба­ний и время, ко­то­рое мы за­ре­ги­стри­ро­ва­ли, ока­за­лось рав­ным 13,2 с. За­но­сим эти дан­ные в таб­ли­цу и можем при­сту­пать к рас­че­там пе­ри­о­да и ча­сто­ты ко­ле­ба­ний. Сле­ду­ю­щий шаг: уве­ли­чи­ва­ем длину ма­ят­ни­ка до 20 см. И весь экс­пе­ри­мент по­вто­ря­ем сна­ча­ла. Вновь ре­зуль­та­ты за­но­сим в таб­ли­цу. Итак, про­ве­дя наши экс­пе­ри­мен­ты, мы по­лу­чи­ли ко­неч­ные ре­зуль­та­ты и за­нес­ли их в таб­ли­цу.

Об­ра­ти­те вни­ма­ние, когда длина ма­ят­ни­ка со­став­ля­ла 5 см, 30 ко­ле­ба­ний про­шли за время 13,2 с. Пе­ри­од ко­ле­ба­ний со­ста­вил 0,44 с, а ча­сто­та 2,27 Гц.

Сле­ду­ю­щий ре­зуль­тат: те же 30 ко­ле­ба­ний, но длина ма­ят­ни­ка была уже 20 см. В этом слу­чае уве­ли­чи­лось время ко­ле­ба­ний – 26,59 с, а пе­ри­од ко­ле­ба­ний со­ста­вил 0,886 с. Ча­сто­та умень­ши­лась почти в 2 раза, об­ра­ти­те вни­ма­ние: 1,128 Гц.

Если мы по­смот­рим на тре­тий ре­зуль­тат, то уви­дим, что длина ма­ят­ни­ка еще боль­ше, пе­ри­од стал боль­ше, а ча­сто­та умень­ши­лась еще на неко­то­рое зна­че­ние. Сле­ду­ю­щий, чет­вер­тый и пятый, по­ста­рай­тесь по­счи­тать сами. Об­ра­ти­те вни­ма­ние на то, как при этом будет ме­нять­ся пе­ри­од и ча­сто­та ко­ле­ба­ний на­ше­го ни­тя­но­го ма­ят­ни­ка.

 Выводы

Можно сде­лать вывод: с уве­ли­че­ни­ем длины ма­ят­ни­ка уве­ли­чи­ва­ет­ся пе­ри­од ко­ле­ба­ний и умень­ша­ет­ся ча­сто­та. Хо­те­лось бы, чтобы чет­вер­тый и пятый опыты вы про­де­ла­ли сами и убе­ди­лись, что все дей­стви­тель­но так, как мы по­лу­чи­ли в наших опы­тах. На этом ла­бо­ра­тор­ная ра­бо­та за­кан­чи­ва­ет­ся, но есть до­пол­ни­тель­ная часть к ла­бо­ра­тор­ной ра­бо­те – даль­ней­шее ис­сле­до­ва­ние ко­ле­ба­ний.

 Точная математическая зависимость периода от длины

Ма­те­ма­ти­че­ская за­ви­си­мость между дли­ной ма­ят­ни­ка и пе­ри­о­дом ко­ле­ба­ний

До­пол­ни­тель­ная часть ла­бо­ра­тор­ной ра­бо­ты за­клю­ча­ет­ся в том, чтобы лучше опре­де­лить вза­и­мо­связь пе­ри­о­да ко­ле­ба­ний и длины ни­тя­но­го ма­ят­ни­ка. Эта за­ви­си­мость долж­на опре­де­лять­ся ма­те­ма­ти­че­ски. Цель до­пол­ни­тель­но­го за­да­ния в том, чтобы вы­явить ма­те­ма­ти­че­скую за­ви­си­мость между пе­ри­о­дом и дли­ной ма­ят­ни­ка. Как это можно сде­лать? Нужно рас­смот­реть от­но­ше­ние пе­ри­о­дов ко­ле­ба­ний ма­ят­ни­ка и от­но­ше­ние длин ма­ят­ни­ка. По­смот­рим на таб­ли­цу, ко­то­рую ис­поль­зу­ем, и об­су­дим те ве­ли­чи­ны, ко­то­рые будем туда за­но­сить.

В пер­вой части мы рас­смот­рим от­но­ше­ние пе­ри­о­да из вто­ро­го опыта, когда длина ма­ят­ни­ка со­став­ля­ла 20 см. От­но­ше­ние мы будем ис­кать к пе­ри­о­ду, ко­то­рый по­лу­чи­ли, когда длина ма­ят­ни­ка со­став­ля­ла 5 см. От­но­ше­ние самих длин мы рас­смот­рим в ниж­ней стро­ке. Итак, в верх­ней стро­ке от­но­ше­ние пе­ри­о­дов , в ниж­ней стро­ке от­но­ше­ние длин ма­ят­ни­ка . Все необ­хо­ди­мые дан­ные мы возь­мем из преды­ду­щей таб­ли­цы. Об­ра­щаю ваше вни­ма­ние, что эти вы­чис­ле­ния в неко­то­рых слу­ча­ях по­лу­чат­ся при­бли­жен­ны­ми, но это за­ви­сит уже от чи­сто­ты экс­пе­ри­мен­та. Если мы об­ра­тим­ся к пер­вой стро­ке, то уви­дим, что во всех экс­пе­ри­мен­тах от­но­ше­ние пе­ри­о­дов будет со­став­лять сле­ду­ю­щую цифру ; ;  раза. А далее – от­но­ше­ние длин ма­ят­ни­ков. Об­ра­ти­те вни­ма­ние, в пер­вом слу­чае это от­но­ше­ние равно 4, т.е. 20/5. Во вто­ром слу­чае – 9. В тре­тьем слу­чае – 16. Видно сразу, как будут свя­за­ны эти ве­ли­чи­ны. По­смот­ри­те, в пер­вом слу­чае у нас 2 и 4. В дру­гом слу­чае – 3 и 9 и т.д. Де­ла­ем вывод о том, что пе­ри­од будет про­пор­ци­о­на­лен корню квад­рат­но­му из длины ма­ят­ни­ка. Эту за­ви­си­мость мы можем ис­поль­зо­вать в даль­ней­шем для ана­ли­за по­доб­ных ко­ле­ба­ний: .

То, что мы на­блю­да­ли, когда от­но­ше­ние пе­ри­о­дов в квад­ра­те равно от­но­ше­нию длин ма­ят­ни­ка. Из этого сле­ду­ет, что пе­ри­од мы можем за­пи­сать как .

Дру­ги­ми сло­ва­ми, если мы уве­ли­чи­ва­ем длину ма­ят­ни­ка в 4 раза, то пе­ри­од уве­ли­чит­ся в 2 раза. Если уве­ли­чим длину ма­ят­ни­ка в 3 раза, то уве­ли­чит­ся пе­ри­од в  раз. И т.д. В этом и за­клю­ча­ет­ся ре­зуль­тат ла­бо­ра­тор­ной ра­бо­ты.