Динамика колебательного движения

 Введение

В со­вре­мен­ном тех­но­ло­гич­ном мире нас везде окру­жа­ет дви­же­ние: стре­ми­тель­ное метро, нето­роп­ли­вая стрел­ка часов, па­да­ю­щий смарт­фон, спут­ни­ки на ор­би­те. Среди всего этого дви­же­ния можно вы­де­лить такое, ко­то­рое по­вто­ря­ет­ся во вре­ме­ни раз за разом. На­при­мер, дви­жут­ся Земля во­круг Солн­ца, че­ло­век на ка­че­лях, поезд Москва-Пи­тер-Москва, кла­ви­ша рояля, игла швей­ной ма­шин­ки, по­пла­вок на вол­нах, че­ло­век на ба­ту­те, со­бач­ка на тор­пе­де. Любое такое дви­же­ние можно за­пи­сать в гифку и бес­ко­неч­но по­вто­рять.

Среди таких по­вто­ря­ю­щих­ся при­ме­ров дви­же­ния можно вы­де­лить такие, ко­то­рые могут ка­кое-то время про­ис­хо­дить сами по себе. На­при­мер, ка­че­ли могут ка­кое-то время дви­гать­ся, даже если ни­ка­ких уси­лий к ним не при­кла­ды­вать. В таком слу­чае мы имеем дело со сво­бод­ны­ми ко­ле­ба­ни­я­ми. О них и по­го­во­рим.

Об­ра­ти­те вни­ма­ние: силы тре­ния, со­про­тив­ле­ния пре­пят­ству­ют дви­же­нию. И если мы их никак не ком­пен­си­ру­ем, то сво­бод­ные ко­ле­ба­ния все­гда рано или позд­но будут за­ту­хать. Точку, где оста­но­ви­лось тело, при­ня­то на­зы­вать по­ло­же­ни­ем рав­но­ве­сия (см. Рис. 1.).

Рис. 1. По­ло­же­ние рав­но­ве­сия

Сво­бод­ные ко­ле­ба­ния как раз и про­ис­хо­дят во­круг по­ло­же­ния рав­но­ве­сия.

На про­стых при­ме­рах ни­тя­но­го и пру­жин­но­го ма­ят­ни­ка (см. Рис. 2.) по­го­во­рим о том, какие ха­рак­те­ри­сти­ки есть у та­ко­го дви­же­ния, а потом рас­смот­рим силы, яв­ля­ю­щи­е­ся при­чи­ной та­ко­го дви­же­ния.

Рис. 2. Ни­тя­ной и пру­жин­ный ма­ят­ник

То есть, об­раз­но го­во­ря, сна­ча­ла рас­смот­рим его как бы со сто­ро­ны, а потом по­пы­та­ем­ся по­нять это дви­же­ние из­нут­ри.

(Толь­ко сей­час не будем учи­ты­вать силы со­про­тив­ле­ния. В таком слу­чае ко­ле­ба­ния за­ту­хать не будут. Од­на­ко и с по­мо­щью такой упро­щен­ной тео­ре­ти­че­ской мо­де­ли можно ре­шать ре­аль­ные фи­зи­че­ские за­да­чи.)

 Колебания. Величины, связанные с колебаниями

При ко­ле­ба­ни­ях ско­рость тела, уско­ре­ние непре­рыв­но ме­ня­ют­ся. Пока что не будем вы­чис­лять их в любой мо­мент вре­ме­ни. Вве­дем новые ве­ли­чи­ны, ха­рак­те­ри­зу­ю­щие такое дви­же­ние, а имен­но его по­вто­ря­е­мость.

Ко­ле­ба­ния – это по­вто­ря­ю­ще­е­ся дви­же­ние. И это по­вто­ре­ние может про­ис­хо­дить, грубо го­во­ря, где-то быст­рее, где-то мед­лен­нее. То есть за еди­ни­цу вре­ме­ни может про­ис­хо­дить раз­ное ко­ли­че­ство ко­ле­ба­ний.

 

Ча­сто­та ко­ле­ба­ний

Есть ве­ли­чи­на, ко­то­рая как раз по­ка­зы­ва­ет, сколь­ко пол­ных ко­ле­ба­ний тело со­вер­ша­ет за еди­ни­цу вре­ме­ни. Ее на­зы­ва­ют ча­сто­той, обо­зна­ча­ет­ся она гре­че­ской бук­вой ν. Найти ее можно по фор­му­ле:

В си­сте­ме СИ из­ме­ря­ет­ся эта ве­ли­чи­на в гер­цах, по­ка­зы­ва­ет ко­ли­че­ство ко­ле­ба­ний в одну се­кун­ду.

Важно по­ни­мать, что одно пол­ное ко­ле­ба­ние за­кан­чи­ва­ет­ся, когда тело воз­вра­ща­ет­ся в ту же точку, при­чем ско­рость долж­на быть такой же и по мо­ду­лю, и по на­прав­ле­нию.

То есть если ко­ле­ба­ния на­ча­лись из край­ней точки, то тело долж­но прой­ти туда, потом об­рат­но, это и будет пол­ное ко­ле­ба­ние. Если ко­ле­ба­ния на­чи­на­ют­ся из по­ло­же­ния рав­но­ве­сия, то тело долж­но прой­ти туда, потом об­рат­но, прой­ти по­ло­же­ние рав­но­ве­сия, до­стиг­нуть дру­гой край­ней точки и толь­ко потом вер­нуть­ся в по­ло­же­ние рав­но­ве­сия, это и будет пол­ное ко­ле­ба­ние (см. Рис. 3.).

Рис. 3. Пол­ное ко­ле­ба­ние из по­ло­же­ния рав­но­ве­сия

Не имеет зна­че­ния, от­ку­да за­пус­ка­ет­ся ко­ле­ба­ние – может быть, даже от­ку­да-то между край­ней точ­кой и по­ло­же­ни­ем рав­но­ве­сия. Самое глав­ное: чтобы про­изо­шло одно пол­ное ко­ле­ба­ние, мы долж­ны до­ждать­ся мо­мен­та, когда тело вер­нет­ся в эту же точку и будет дви­гать­ся с той же ско­ро­стью в том же на­прав­ле­нии.

 

Ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний

Дру­гой важ­ной ха­рак­те­ри­сти­кой яв­ля­ет­ся ам­пли­ту­да. Это мак­си­маль­ное от­кло­не­ние от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия. При ме­ха­ни­че­ских ко­ле­ба­ни­ях в боль­шин­стве слу­ча­ем мы будем из­ме­рять ее в еди­ни­цах длины, то есть в мет­рах. Кста­ти, за одно ко­ле­ба­ние тело про­хо­дит путь, рав­ный 4 ам­пли­ту­дам.

 

Пе­ри­од ко­ле­ба­ний

Еще одна важ­ная ха­рак­те­ри­сти­ка та­ко­го дви­же­ния – пе­ри­од. Это время, за ко­то­рое про­ис­хо­дит одно пол­ное ко­ле­ба­ние. Не важно, от­ку­да оно на­чи­на­ет­ся, более того, мы можем вы­брать любой мо­мент для на­ча­ла на­блю­де­ний, не обя­за­тель­но имен­но пер­вое ко­ле­ба­ние. Обо­зна­ча­ет­ся пе­ри­од боль­шой бук­вой , и раз это время, то из­ме­ря­ет­ся оно в си­сте­ме СИ в се­кун­дах. Пе­ри­од можно найти по фор­му­ле:

Видно, что эта ве­ли­чи­на про­сто об­рат­но про­пор­ци­о­наль­на ча­сто­те, по­это­му можно на­хо­дить ее из ча­сто­ты по фор­му­ле:

 Задача № 1

Дано:

Вася при­шел в ак­ва­парк в бас­сейн и ка­ча­ет­ся на ис­кус­ствен­ных вол­нах вверх-вниз. Он по­счи­тал, что за 20 се­кунд 5 раз под­нял­ся вверх и 5 вниз. Рас­счи­тай­те ча­сто­ту и пе­ри­од ко­ле­ба­ний Васи.

Ре­ше­ние

По усло­вию за­да­чи Вася со­вер­ша­ет ко­ле­ба­ния. Дви­же­ние по­вто­ря­ю­ще­е­ся, по­это­му мы можем вы­чис­лить ча­сто­ту и пе­ри­од этих ко­ле­ба­ний. Здесь ко­ле­ба­ния вы­нуж­ден­ные, неза­ту­ха­ю­щие. До этого мы узна­ли фор­му­лы для сво­бод­ных ко­ле­ба­ний, но по­счи­та­ли, что они неза­ту­ха­ю­щие. По­это­му они по­дой­дут и в этой за­да­че.

Нач­нем с ча­сто­ты. Нам нужно знать ко­ли­че­ство пол­ных ко­ле­ба­ний и время, за ко­то­рое они про­изо­шли. По усло­вию, если Вася 5 раз под­нял­ся вверх и 5 раз опу­стил­ся вниз, зна­чит, было со­вер­ше­но 5 пол­ных ко­ле­ба­ний. Для этого по­тре­бо­ва­лось 20 се­кунд. Под­став­ля­ем в фор­му­лу зна­че­ния:

По­лу­ча­ем 0,25 Гц.

Что ка­са­ет­ся пе­ри­о­да, то это же время од­но­го ко­ле­ба­ния. И если за 20 се­кунд про­ис­хо­дит 5 ко­ле­ба­ний, то за сколь­ко про­изой­дет одно? Нужно время раз­де­лить на ко­ли­че­ство ко­ле­ба­ний, и по­лу­чим 4 с. Пе­ри­од – это об­рат­ная ве­ли­чи­на ча­сто­те, и можно про­сто взять об­рат­ную ча­сто­те ве­ли­чи­ну.

Ответ:

 Причины колебательного движения

Те­перь по­го­во­рим о при­чи­нах та­ко­го дви­же­ния на при­ме­ре пру­жин­но­го ма­ят­ни­ка. Мы видим, что дви­же­ние по­вто­ря­ет­ся, зна­чит, ско­рее всего, воз­ни­ка­ет ка­кая-то сила, ко­то­рая воз­вра­ща­ет тело в ис­ход­ное со­сто­я­ние. В нашем слу­чае это будет сила упру­го­сти, ведь, по за­ко­ну Гука, , и если сме­ще­ние про­ис­хо­дит в одну сто­ро­ну, то сила на­прав­ле­на в дру­гую. Иными сло­ва­ми, она все­гда на­прав­ле­на к по­ло­же­нию рав­но­ве­сия. Рас­смот­рим, как имен­но про­ис­хо­дят ко­ле­ба­ния.

За­пу­стим ко­ле­ба­ния, рас­тя­нув пру­жи­ну и от­пу­стив груз. В самое пер­вое мгно­ве­ние на него дей­ству­ет сила упру­го­сти со сто­ро­ны рас­тя­ну­той пру­жи­ны (см. Рис. 4.).

Рис. 4. Рас­тя­ну­тая пру­жи­на

По мере дви­же­ния сила убы­ва­ет, но все-та­ки раз­го­ня­ет тело, и ско­рость воз­рас­та­ет. И когда тело до­сти­га­ет по­ло­же­ния рав­но­ве­сия, то сила об­ну­лит­ся, но ско­рость будет до­ста­точ­но боль­шой, и оно по инер­ции про­ле­тит эту точку и устре­мит­ся даль­ше. Тогда уже пру­жи­на будет сжата, сила на­прав­ле­на про­тив дви­же­ния. Зна­чит, тело будет тор­мо­зить.

В ка­кой-то мо­мент оно оста­но­вит­ся и по­ле­тит в об­рат­ную сто­ро­ну, ведь сила упру­го­сти ни­ку­да не ис­чез­ла и на­прав­ле­на к по­ло­же­нию рав­но­ве­сия. Толь­ко те­перь она раз­го­ня­ет тело. Оно по-преж­не­му про­ле­та­ет по­ло­же­ние рав­но­ве­сия по инер­ции и воз­вра­ща­ет­ся в ис­ход­ную точку. Далее все по­вто­ря­ет­ся.

Как ви­ди­те, при ко­ле­ба­тель­ном дви­же­нии есть некая воз­вра­ща­ю­щая сила, ко­то­рая пы­та­ет­ся вер­нуть тело в по­ло­же­ние рав­но­ве­сия. Но тело об­ла­да­ет неко­то­рой инерт­но­стью, по­это­му по­сто­ян­но это по­ло­же­ние рав­но­ве­сия про­ле­та­ет. По всем этим при­чи­нам дви­же­ние и по­вто­ря­ет­ся во вре­ме­ни.

 Ускорение при колебательном движении

Важно по­ни­мать, что в про­цес­се дви­же­ния сила по­сто­ян­но ме­ня­ет­ся. Зна­чит, и ме­ня­ет­ся уско­ре­ние, ведь оно свя­за­но с си­ла­ми по вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на. Зна­чит, уско­ре­ние здесь пе­ре­мен­ное и все фор­му­лы для рав­но­уско­рен­но­го дви­же­ния не ра­бо­та­ют. (, ). Не за­бы­вай­те об этом!

Од­на­ко можно счи­тать уско­ре­ние по­сто­ян­ным на очень ма­лень­ких про­ме­жут­ках вре­ме­ни, и тогда . Это мы будем ис­поль­зо­вать позже.

Далее мы вы­ве­дем урав­не­ния дви­же­ния и за­ви­си­мость ско­ро­сти от вре­ме­ни.