Потенциальная энергия в поле тяготения. Вторая космическая скорость

1. Потенциальная энергия в поле тяготения

Вблизи поверхности Земли мы используем формулу:

Но для больших расстояний (например, в космосе) применяется более общая формула:

E_p = - \frac{G M m}{r}

Где:

• G — гравитационная постоянная

• M — масса планеты (например, Земли)

• m — масса тела

• r — расстояние до центра планеты

  Потенциальная энергия отрицательная, потому что тело связано гравитацией с Землёй.

Смысл

• Чем дальше тело от Земли, тем больше (менее отрицательной) становится энергия

• На бесконечности
  

• Чтобы удалить тело от Земли, нужно совершить работу

Наглядная схема

r маленькое:
[●] близко к Земле → E_p сильно отрицательная

r большое:
[●] далеко → E_p → 0

Удаление от Земли требует энергии

2. Полная механическая энергия в поле тяготения

Полная энергия тела:

​

• Если E < 0 → тело связано с планетой

• Если E = 0 → тело может улететь

• Если E > 0 → тело покидает поле тяготения

3. Вторая космическая скорость

Вторая космическая скорость — это минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно покинуло поле тяготения планеты и не вернулось обратно.

v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

Где:

•  — радиус планеты

•  — масса планеты

Для Земли:

Физический смысл

• При этой скорости кинетическая энергия равна по модулю потенциальной:

• Полная энергия становится равной нулю:

  Тело «освобождается» от притяжения Земли.

Наглядная схема

Запуск с Земли:

[●] ↑ v

Если v < v₂ → тело падает обратно  
Если v = v₂ → тело улетает  
Если v > v₂ → улетает быстрее

4. Пример

Если ракета запускается с поверхности Земли:

• при скорости 8 км/с — она станет спутником

• при скорости 11,2 км/с — покинет Землю

5. Связь с законом сохранения энергии

Для вывода второй космической скорости используется закон сохранения энергии:

  Отсюда и получается формула ​.

6. Важные выводы

1. Потенциальная энергия в поле тяготения зависит от расстояния до центра планеты

2. Она отрицательная и стремится к нулю на бесконечности

3. Чтобы покинуть поле тяготения, телу нужна определённая энергия

4. Вторая космическая скорость — минимальная скорость для «побега»

5. Закон сохранения энергии позволяет рассчитать эту скорость

Вопросы для самопроверки

1. Как записывается формула потенциальной энергии в поле тяготения?

2. Почему эта энергия отрицательная?

3. Что происходит с энергией при удалении от Земли?

4. Что такое вторая космическая скорость?

5. Чему она равна для Земли?

6. При каком условии тело покидает поле тяготения?

7. Как связаны кинетическая и потенциальная энергия при этой скорости?

8. Что будет, если скорость меньше второй космической?

9. Что будет, если больше?

10. Как используется закон сохранения энергии при выводе формулы?