Решение задач по теме «Механические колебания и волны»
Введение
Решаемые ниже задачи являются типовыми, то есть аналогичные им встречались во время ЕГЭ. Для начала вспомним основные теоретические характеристики, которые нам сегодня понадобятся.
1) Период колебаний – промежуток времени, по прошествии которого значение координаты, скорости, ускорения и возвращающей силы повторяются. За 1 период система совершает одно полное колебание: 
.
2) Частота колебаний – число полных колебаний, совершаемых в единицу времени.
, где N – количество полных колебаний; 
. Частота и период связаны обратной пропорциональностью: .
3) Угловая частота – скалярная физическая величина, мера частоты вращательного или колебательного движения (см. рис. 1).
4) Амплитуда колебаний – максимальное отклонение (по модулю) координаты тела от положения его равновесия: 
.
5) Амплитуда скорости – максимально значение скорости колеблющегося тела: 
.
Переходим к решению задач.
Задача №1
Амплитуда колебаний груза на пружине равна 3 см. Какой путь от положения равновесия пройдет груз за время, равное 
, 
, 
, 
?
Решение
Воспользуемся рисунком и отметим на нем те точки, которых достигнет груз через указанный в условии промежуток времени. Отметим, что за период тело вернулось в свое начальное положение, пускай на рисунке это будет точка А (см. рис. 1).
Рис. 1. Положение груза через период T
Отметим, где было тело через полпериода . Ясно, что если мы рассматриваем гармонические незатухающие колебания, то это будет точка, максимально удаленная от начальной, пускай это будет точка В (см. рис. 2).
Рис. 2. Положение груза через полупериод
Соответственно, через четверть периода груз будет в точке С, но эта точка является также точкой, где тело было через (см. рис. 3).
Рис. 3. Положение груза через четверть периода и
Итак, точки отмечены, теперь вспомним определение амплитуды – максимальное отклонение от положения равновесия. Отметим это отклонение (см. рис. 4), где расстояние АС = ВС.
Рис. 4. Отмеченная амплитуда
Теперь несложно найти путь – длина траектории, который тело совершит за указанное время. Из рисунка видно, что через четверть периода путь будет равен длине отрезка АС, то есть амплитуде: 
.
Аналогично мы видим, что через полпериода длина отрезка станет в 2 раза больше, поэтому 
.
Когда груз возвращается в исходную точку А, модуль перемещения становится меньше, но путь нарастает, этим он и отличается от перемещения. Итак, от точки А до В тело прошло уже 6 см, и от В до С прошло еще 3 см. В итоге имеем, что путь через равен трем значениям амплитуды: 
.
Тогда, возвращаясь в исходную точку, перемещение равно 0, а вот путь будет равен четырем отрезкам амплитуды: 
.
Задача решена.
Ответ: 
, 
, 
, 
.
Задача №2
Точка струны, которая колеблется с частотой 
Гц, за 
с прошла путь 
м. Определите амплитуду колебаний 
.
Решение
Для решения данной задачи нам понадобятся данные из прошлой задачи. Вспомните главный вывод из предыдущей задачи: путь, который точка проходит за одно полное колебание, равен четырем амплитудам. Запишем, что 
– путь за одно колебание: 
. Это значит, что для того чтоб найти амплитуду, нужно знать – путь, который проходит струна за одно полное колебание. Обратим внимание на то, что мы знаем полный путь, пройденный струной, – это 64 м.
Чтобы понять, как решать задачу, немного отвлечемся и решим простенькую задачку. Сколько килограмм яблок в ящике, если в 10 ящиках 150 кг? Ответ: 15 кг в ящике. Мы полную массу яблок поделили на количество ящиков. В нашей задаче точно так же. Путь за одно колебание равен полному пути, деленному на количество колебаний: 
.
Таким образом, задача сводится к следующей: найти число колебаний точки струны, ведь полный путь мы уже знаем. Для нахождения числа колебаний у нас есть все: частота и время движения. Можно записать, что число колебаний равно полному времени t поделить на время одного колебания T: 
. Тогда конечная формула для амплитуды будет иметь вид: 
.
Ответ: 1 мм.
А теперь разберем задачи на тему «Механические волны», но для начала вспомним основные теоретические сведения.
1) Волны бывают продольными и поперечными (см. рис. 5).
Рис. 5. Поперечные и продольные волны
Отличаются они тем, что в случае продольных волн частицы среды совершают колебания в направлении распространения волны; в случае поперечных частицы среды совершают колебания перпендикулярно направлению распространения волны.
2) Характеристика волны: длина волны (
) – кратчайшее расстояние между точками, колеблющимися одинаково (в одной фазе) (см. рис. 6). Длина волны связана с её скоростью и частотой формулой 
.
Рис. 6. Длина волны
3) Звуковые волны являются продольными упругими колебаниями среды.
Вспомнив все это, переходим к разбору задач.
Задача №3
Есть мгновенная фотография волны в резиновом шнуре (см. рис. 7).
Определите: 1) длину волны; 2) амплитуду колебаний частичек шнура.
Рис. 7. Фотография волны
Решение
Сначала найдем длину волны: 
. Длину волны можно также получить, если отметить и другие две точки (см. рис. 8).
Рис. 8. Определение длины волны
Значение амплитуды из рисунка равно 
. Так что длину волны и амплитуду мы нашли, можно записывать ответ.
Ответ: 
, 
.
Задача №4
Подводная лодка всплыла на расстоянии 
м от берега, вызвала волны на поверхности воды. Волны дошли до берега за 
с, причем за следующие 
с было 
всплесков волн о берег. Каково расстояние между гребнями соседних волн 
?
Решение
Вспомним формулу, которая связывает длину волны с другими характеристиками этого волнового движения. Длина волны связана со скоростью и частотой, поэтому задача разбивается на два этапа: на нахождение скорости волны и на нахождение её частоты.
Нам известно, что первая волна, как и последующие, прошла расстояние 200 м за 40 с, поэтому 
. Итак, скорость волны найдена.
Частота, если известно количество колебаний, совершенных за определенное количество времени, имеет вид: 
Мы знаем все для нахождения длины волны: 
.
Ответ: 2,5 м.