Основные понятия кинематики. Скорость. Средняя скорость. Относительная скорость. Сложение перемещений и скоростей

 Основные понятия кинематики

Ки­не­ма­ти­ка – раз­дел фи­зи­ки, в ко­то­ром да­ёт­ся опи­са­ние ме­ха­ни­че­ско­го дви­же­ния без вы­яс­не­ния при­чин, ко­то­рые при­во­дят к этому дви­же­нию.

Ме­ха­ни­че­ское дви­же­ние – это из­ме­не­ние вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния тел или ча­стей тела.

Ме­ха­ни­че­ское дви­же­ние можно на­блю­дать толь­ко от­но­си­тель­но дру­гих тел. В раз­лич­ных си­сте­мах от­счё­та фи­зи­че­ские ве­ли­чи­ны, ха­рак­те­ри­зу­ю­щие дви­же­ние, и ха­рак­тер дви­же­ния могут быть раз­лич­ны­ми. На­при­мер, ав­то­мо­биль дви­жет­ся по до­ро­ге. В ав­то­мо­би­ле на­хо­дят­ся люди. Люди дви­жут­ся вме­сте с ав­то­мо­би­лем по до­ро­ге. То есть люди пе­ре­ме­ща­ют­ся в про­стран­стве от­но­си­тель­но до­ро­ги. Но от­но­си­тель­но са­мо­го ав­то­мо­би­ля люди не дви­жут­ся.

Си­сте­ма от­счё­та, от­но­си­тель­но ко­то­рой опи­сы­ва­ет­ся дви­же­ние, со­сто­ит из:

1. тела от­счё­та – услов­но непо­движ­ное тело;

2. си­сте­мы ко­ор­ди­нат и часов, свя­зан­ной с телом от­счё­та.

При дви­же­нии тело опи­сы­ва­ет неко­то­рую линию, ко­то­рая на­зы­ва­ет­ся тра­ек­то­ри­ей дви­же­ния.

Тра­ек­то­рия дви­же­ния – это мно­же­ство точек, ко­то­рые опре­де­ля­ют по­ло­же­ние тела в тот или иной мо­мент вре­ме­ни.

Ос­нов­ные виды ме­ха­ни­че­ско­го дви­же­ния:

1. по­сту­па­тель­ное – это дви­же­ние тела, при ко­то­ром пря­мая, со­еди­ня­ю­щая две любые точки тела, пе­ре­но­сит­ся всё время па­рал­лель­но пер­во­на­чаль­но­му по­ло­же­нию (кузов ав­то­мо­би­ля со­вер­ша­ет по­сту­па­тель­ное дви­же­ние при дви­же­нии ав­то­мо­би­ля по до­ро­ге);

2. вра­ща­тель­ное – это дви­же­ние тела во­круг неко­то­рой оси. При таком дви­же­нии все точки тела со­вер­ша­ют дви­же­ние по окруж­но­стям, цен­тром ко­то­рых яв­ля­ет­ся эта ось (ко­лё­са со­вер­ша­ют вра­ща­тель­ное дви­же­ние при дви­же­нии ав­то­мо­би­ля по до­ро­ге);

3. ко­ле­ба­тель­ное – дви­же­ние, при ко­то­ром тело про­хо­дит по­ло­же­ние рав­но­ве­сия, каж­дый раз дви­га­ясь в на­прав­ле­нии, про­ти­во­по­лож­ном преды­ду­ще­му (ко­ле­ба­тель­ное дви­же­ние со­вер­ша­ет ма­ят­ник в часах).

Ско­рость яв­ля­ет­ся ос­нов­ной ха­рак­те­ри­сти­кой ме­ха­ни­че­ско­го дви­же­ния. Ско­рость – это быст­ро­та пе­ре­ме­ще­ния.

Пе­ре­ме­ще­ние – век­тор­ная ве­ли­чи­на, свя­зы­ва­ю­щая две любые точки тра­ек­то­рии.

 , где

 – ско­рость;  – пе­ре­ме­ще­ние;  – время, за­тра­чен­ное на пе­ре­ме­ще­ние.

Ско­рость – это век­тор­ная ве­ли­чи­на, все­гда на­прав­лен­ная по ка­са­тель­ной к тра­ек­то­рии дви­же­ния в каж­дой её точке.

Сред­няя ско­рость – от­но­ше­ние всего прой­ден­но­го пути к за­тра­чен­но­му на это дви­же­ние вре­ме­ни.

,

где  – сред­няя ско­рость;  – весь прой­ден­ный путь;  – всё за­тра­чен­ное время.

По­ня­ти­ем от­но­си­тель­ной ско­ро­сти поль­зу­ют­ся в том слу­чае, когда рас­смат­ри­ва­ют дви­же­ние од­но­го тела по от­но­ше­нию к дру­го­му телу. На­при­мер, дви­жут­ся два ав­то­мо­би­ля нав­стре­чу друг другу, их от­но­си­тель­ная ско­рость будет равна сумме ско­ро­стей (см. Рис. 1). Если бы эти ав­то­мо­би­ли дви­га­лись в одном на­прав­ле­нии, то от­но­си­тель­ная ско­рость была бы равна ско­ро­сти вто­ро­го минус ско­рость пер­во­го (см. Рис. 1).

Рис. 1. От­но­си­тель­ная ско­рость

В любом слу­чае, от­но­си­тель­ная ско­рость равна век­тор­ной раз­но­сти ско­ро­стей:

 

Сло­же­ние пе­ре­ме­ще­ний и ско­ро­стей про­во­дит­ся по пра­ви­лу сло­же­ния век­то­ров. Век­то­ры скла­ды­ва­ют­ся по пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка или по пра­ви­лу па­рал­ле­ло­грам­ма (см. Рис. 2).

 

Рис. 2. Пра­ви­ла сло­же­ния век­то­ров

 Задача 1

По­ло­ви­ну пути пе­ше­ход про­шёл со ско­ро­стью . А вто­рую – со ско­ро­стью . Чему равна сред­няя ско­рость пе­ше­хо­да?

Дано: ;  – путь, прой­ден­ный на пер­вом участ­ке; ;  – путь, прой­ден­ный на вто­ром участ­ке

Найти: 

Ре­ше­ние

 

Общее время со­сто­ит из двух от­рез­ков вре­ме­ни:

 

Время пер­вой по­ло­ви­ны пути:

 

Время вто­рой по­ло­ви­ны пути:

 

 

Под­став­ля­ем дан­ное вы­ра­же­ние в фор­му­лу сред­ней ско­ро­сти:

 

Ответ: .

 Задача 2

Лодка, раз­ви­ва­ю­щая от­но­си­тель­но воды ско­рость 5 м/с, пе­ре­се­ка­ет реку ши­ри­ной 40 м по на­и­крат­чай­ше­му пути. Найти время пе­ре­пра­вы, если ско­рость те­че­ния реки – 3 м/с.

Дано: ; ; 

Найти: 

Ре­ше­ние

Для того чтобы пе­ре­сечь реку, то есть прой­ти из пунк­та А в пункт В, необ­хо­ди­мо на­пра­вить лодку про­тив те­че­ния реки под опре­де­лён­ным углом (см. Рис. 3). При этом к ско­ро­сти лодки  до­ба­вит­ся ско­рость те­че­ния реки  и ре­зуль­ти­ру­ю­щая ско­рость  будет на­прав­ле­на по пря­мой АВ. Это можно за­пи­сать в виде сле­ду­ю­ще­го век­тор­но­го со­от­но­ше­ния:

 

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Так как , то тре­уголь­ник ско­ро­стей яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным. Если по­смот­реть на циф­ро­вые зна­че­ния сто­рон этого тре­уголь­ни­ка (см. Рис. 4), то ока­жет­ся, что это еги­пет­ский тре­уголь­ник. Если ги­по­те­ну­за равна 5, а один из ка­те­тов – 3, то вто­рой катет равен 4.

Рис. 4. Еги­пет­ский тре­уголь­ник

Сле­до­ва­тель­но, ско­рость, с ко­то­рой лодка пе­ре­се­ка­ет речку, равна 4:

 

Время пе­ре­пра­вы на­хо­дит­ся по фор­му­ле:

 

 

Ответ: .

 Задача 3

Найти от­но­си­тель­ную ско­рость двух ав­то­мо­би­лей, дви­жу­щих­ся по двум до­ро­гам, пе­ре­се­ка­ю­щим­ся под , в одном на­прав­ле­нии со ско­ро­стя­ми по 30 м/с. Ва­ри­ан­ты от­ве­тов: 1. 0 м/с; 2. 30 м/с; 3. 60 м/с; 4. 45 м/с.

Дано: ; 

Найти: 

Ре­ше­ние

От­но­си­тель­ная ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля по от­но­ше­нию к пер­во­му равна:

 

На ри­сун­ке 5 вы­пол­нен схе­ма­ти­че­ский ри­су­нок к за­да­че.

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Для того чтобы найти раз­ность двух век­то­ров, необ­хо­ди­мо вы­ра­же­ние от­но­си­тель­ной ско­ро­сти пред­ста­вить в таком виде:

 

Тогда к концу век­то­ра  при­кла­ды­ва­ет­ся на­ча­ло век­то­ра  и эти век­то­ра со­еди­ня­ют­ся. По­лу­чен­ный век­тор яв­ля­ет­ся век­то­ром от­но­си­тель­ной ско­ро­сти.

Тре­уголь­ник ско­ро­стей яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, с углом при вер­шине , сле­до­ва­тель­но:

 

Ответ: 2. 30 м/с.