Ускорение. Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения

 Ускорение. Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения

Ме­ха­ни­че­ское дви­же­ние по ха­рак­те­ру под­раз­де­ля­ет­ся на по­сту­па­тель­ное, вра­ща­тель­ное и ко­ле­ба­тель­ное; по виду тра­ек­то­рии – пря­мо­ли­ней­ное и кри­во­ли­ней­ное. Также ме­ха­ни­че­ское дви­же­ние можно под­раз­де­лять по ха­рак­те­ру из­ме­не­ния ско­ро­сти.

Фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на, ко­то­рая опре­де­ля­ет быст­ро­ту из­ме­не­ния ско­ро­сти, на­зы­ва­ет­ся уско­ре­ни­ем. Ма­те­ма­ти­че­ски уско­ре­ние опре­де­ля­ет­ся от­но­ше­ни­ем из­ме­не­ния ско­ро­сти к про­ме­жут­ку вре­ме­ни, за ко­то­рое оно про­изо­шло (про­из­вод­ная от ско­ро­сти по вре­ме­ни): , где  – уско­ре­ние;  – из­ме­не­ние ско­ро­сти;  – про­ме­жу­ток вре­ме­ни, за ко­то­рое про­изо­шло из­ме­не­ние ско­ро­сти;  – про­из­вод­ная ско­ро­сти по вре­ме­ни.

Так как ско­рость – ве­ли­чи­на век­тор­ная, то она может ме­нять­ся по мо­ду­лю и на­прав­ле­нию, по­это­му уско­ре­ние имеет две есте­ствен­ные со­став­ля­ю­щие: тан­ген­ци­аль­ную (па­рал­лель­ную век­то­ру ско­ро­сти) и нор­маль­ную (пер­пен­ди­ку­ляр­ную век­то­ру ско­ро­сти).

, где  – пол­ное уско­ре­ние;  – тан­ген­ци­аль­ная со­став­ля­ю­щая уско­ре­ния;  – нор­маль­ная со­став­ля­ю­щая уско­ре­ния (см. рис. 1).

Тан­ген­ци­аль­ная и нор­маль­ная со­став­ля­ю­щие пол­но­го уско­ре­ния

Рис. 1. Тан­ген­ци­аль­ная и нор­маль­ная со­став­ля­ю­щие пол­но­го уско­ре­ния

Тан­ген­ци­аль­ная со­став­ля­ю­щая уско­ре­ния ха­рак­те­ри­зу­ет быст­ро­ту из­ме­не­ния ве­ли­чи­ны (мо­ду­ля) ско­ро­сти. Тан­ген­ци­аль­ное уско­ре­ние все­гда кол­ли­не­ар­но ско­ро­сти.

1) Если тан­ген­ци­аль­ная со­став­ля­ю­щая уско­ре­ния со­на­прав­ле­на со ско­ро­стью, то дви­же­ние будет уско­рен­ное (см. рис. 2).

Тан­ген­ци­аль­ная со­став­ля­ю­щая уско­ре­ния со­на­прав­ле­на со ско­ро­стью

Рис. 2. Тан­ген­ци­аль­ная со­став­ля­ю­щая уско­ре­ния со­на­прав­ле­на со ско­ро­стью

2) Если тан­ген­ци­аль­ная со­став­ля­ю­щая уско­ре­ния про­ти­во­на­прав­ле­на ско­ро­сти, то дви­же­ние будет за­мед­лен­ным (см. рис. 3).

Тан­ген­ци­аль­ная со­став­ля­ю­щая уско­ре­ния про­ти­во­на­прав­ле­на ско­ро­сти

Рис. 3. Тан­ген­ци­аль­ная со­став­ля­ю­щая уско­ре­ния про­ти­во­на­прав­ле­на ско­ро­сти

Нор­маль­ная со­став­ля­ю­щая уско­ре­ния ха­рак­те­ри­зу­ет быст­ро­ту из­ме­не­ния ско­ро­сти по на­прав­ле­нию. Нор­маль­ное уско­ре­ние все­гда пер­пен­ди­ку­ляр­но ско­ро­сти и на­прав­ле­но к цен­тру по ра­ди­у­су тра­ек­то­рии, по ко­то­рой дви­жет­ся тело (см. рис. 4).

На­прав­ле­ние нор­маль­но­го уско­ре­ния

Рис. 4. На­прав­ле­ние нор­маль­но­го уско­ре­ния

Ве­ли­чи­на нор­маль­но­го уско­ре­ния свя­за­на с ра­ди­у­сом тра­ек­то­рии и со ско­ро­стью дви­же­ния сле­ду­ю­щим со­от­но­ше­ни­ем: 

При пря­мо­ли­ней­ном дви­же­нии тело имеет толь­ко тан­ген­ци­аль­ное уско­ре­ние. Нор­маль­ное уско­ре­ние от­сут­ству­ет, так как ско­рость тела по на­прав­ле­нию оста­ёт­ся неиз­мен­ной (см. рис. 5).

Пря­мо­ли­ней­ное дви­же­ние

Рис. 5. Пря­мо­ли­ней­ное дви­же­ние

При кри­во­ли­ней­ном дви­же­нии, как пра­ви­ло, тело имеет тан­ген­ци­аль­ную и нор­маль­ную со­став­ля­ю­щую уско­ре­ния (см. рис. 6).

Кри­во­ли­ней­ное дви­же­ние

Рис. 6. Кри­во­ли­ней­ное дви­же­ние

 Пример нахождения тангенциальной и нормальной составляющей ускорения

Рас­смот­рим дви­же­ние тела, бро­шен­но­го под углом к го­ри­зон­ту (см. рис. 7). Най­дём со­став­ля­ю­щие уско­ре­ния в тот мо­мент, когда ско­рость тела на­прав­ле­на под углом  к го­ри­зон­ту.

Тра­ек­то­рия дви­же­ния тела

Рис. 7. Тра­ек­то­рия дви­же­ния тела

Ка­са­тель­ная к тра­ек­то­рии в точке A – это на­прав­ле­ние ско­ро­сти . Уско­ре­ние тела, бро­шен­но­го под углом к го­ри­зон­ту, все­гда равно уско­ре­нию сво­бод­но­го па­де­ния: .

Спро­еци­ру­ем дан­ное уско­ре­ние на две вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ные оси, одна из ко­то­рых пер­пен­ди­ку­ляр­на ско­ро­сти, дру­гая на­прав­ле­на вдоль ско­ро­сти.

Про­ек­ции уско­ре­ния

Рис. 8. Про­ек­ции уско­ре­ния

На ри­сун­ке видно, что тан­ген­ци­аль­ная со­став­ля­ю­щая уско­ре­ния на­прав­ле­на про­тив ско­ро­сти, то есть ско­рость тела в дан­ный мо­мент умень­ша­ет­ся (см. рис. 8). Нор­маль­ная со­став­ля­ю­щая уско­ре­ния на­прав­ле­на пер­пен­ди­ку­ляр­но ско­ро­сти, сле­до­ва­тель­но, ско­рость в сле­ду­ю­щий мо­мент на­кло­нит­ся в сто­ро­ну .

Ве­ли­чи­ны со­став­ля­ю­щих уско­ре­ния на­хо­дим гео­мет­ри­че­ски.

Гео­мет­ри­че­ское опре­де­ле­ние ве­ли­чи­ны со­став­ля­ю­щих уско­ре­ния

Рис. 9. Гео­мет­ри­че­ское опре­де­ле­ние ве­ли­чи­ны со­став­ля­ю­щих уско­ре­ния

Угол A в тре­уголь­ни­ке раз­ло­же­ния на со­став­ля­ю­щие (тре­уголь­ник вы­де­лен жёл­тым на ри­сун­ке) имеет вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ные сто­ро­ны с углом  (см. рис. 9), по­это­му .

Сле­до­ва­тель­но,  тан­ген­ци­аль­ная со­став­ля­ю­щая равна: .

Нор­маль­ная со­став­ля­ю­щая уско­ре­ния равна: .

 Задача 1

Обод ра­ди­у­сом 1 метр ка­тит­ся по го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти со ско­ро­стью 10 м/с. Найти ра­ди­ус тра­ек­то­рии точки по­верх­но­сти обода при про­хож­де­нии наи­выс­ше­го по­ло­же­ния.

Дано: .

Найти: .

Ре­ше­ние

Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Рис. 10. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

На ри­сун­ке изоб­ра­жён обод, ко­то­рый ка­тит­ся по го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти со ско­ро­стью  (см. рис. 10). Точка A – точка ка­са­ния обода го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти, точкаB – наи­выс­шая точка в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни. Точка A будет пе­ре­ме­щать­ся по тра­ек­то­рии, ко­то­рая обо­зна­че­на жёл­тым цве­том, она на­зы­ва­ет­ся цик­ло­и­дой. Эта точка вновь кос­нёт­ся по­верх­но­сти, прой­дя путь, рав­ный длине тра­ек­то­рии: .

Ско­рость точки A от­но­си­тель­но го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти при дви­же­нии обода без про­скаль­зы­ва­ния равна нулю. Это объ­яс­ня­ет­ся тем, что она дви­жет­ся вме­сте с обо­дом по го­ри­зон­та­ли со ско­ро­стью  и от­но­си­тель­но цен­тра обода со­вер­ша­ет дви­же­ние по окруж­но­сти со ско­ро­стью . В точке A эти ско­ро­сти будут про­ти­во­на­прав­ле­ны: . Сле­до­ва­тель­но, ско­рость дви­же­ния по окруж­но­сти и ско­рость дви­же­ния цен­тра обода равны: .

Ско­ро­сти точек в верх­ней части обода равны: . Эта ско­рость будет на­прав­ле­на по го­ри­зон­та­ли в сто­ро­ну дви­же­ния обода.

С цен­тром обода у всех точек, ле­жа­щих на её по­верх­но­сти, свя­за­но нор­маль­ное уско­ре­ние, так как оно на­прав­ле­но пер­пен­ди­ку­ляр­но ско­ро­сти дви­же­ния точки по окруж­но­сти в любой мо­мент вре­ме­ни.

Уско­ре­ние оста­ёт­ся неиз­мен­ным для всех точек по­верх­но­сти обода, так как при пе­ре­хо­де к си­сте­ме от­счё­та, свя­зан­ной с Зем­лёй, центр обода дви­жет­ся  рав­но­мер­но: .

Тогда для точки  по­лу­ча­ет­ся сле­ду­ю­щее со­от­но­ше­ние: , где r – ис­ко­мый ра­ди­ус.

В этой за­да­че за­дан­ное зна­че­ние на­чаль­ной ско­ро­сти было лиш­ним. Из­бы­точ­ные дан­ные часто вклю­ча­ют в за­да­ния ЕГЭ по фи­зи­ке.

Ответ: .

 Задача 2

После удара фут­боль­ный мяч за 2 с про­ле­тел 40 м и упал на землю. Чему равен ра­ди­ус тра­ек­то­рии мяча в верх­ней точке тра­ек­то­рии?

Дано: .

Найти: .

Ре­ше­ние

Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

На ри­сун­ке изоб­ра­же­на тра­ек­то­рия по­лё­та мяча (см. рис. 11). Точка A – верх­няя точка тра­ек­то­рии, ско­рость мяча в ко­то­рой . Уско­ре­ние g в верх­ней точке на­прав­ле­но вниз. Оче­вид­но, что это нор­маль­ная со­став­ля­ю­щая уско­ре­ния, так как она на­прав­ле­на пер­пен­ди­ку­ляр­но ско­ро­сти: .

Ско­рость в точке A – это го­ри­зон­таль­ная со­став­ля­ю­щая ско­ро­сти, ко­то­рая в про­цес­се всего дви­же­ния оста­ёт­ся неиз­мен­ной. По­это­му ско­рость в точке A равна от­но­ше­нию всего пути, прой­ден­но­го по го­ри­зон­та­ли, ко вре­ме­ни: .

Сле­до­ва­тель­но, ра­ди­ус тра­ек­то­рии в верх­ней точке равен: .

Ответ: .

 Нахождение закона изменения скорости от времени

Све­де­ния об уско­ре­нии необ­хо­ди­мы для того, чтобы найти закон из­ме­не­ния ско­ро­сти от вре­ме­ни. На­при­мер, за­ви­си­мость ско­ро­сти от вре­ме­ни на­хо­дит­ся как неопре­де­лён­ный ин­те­грал от уско­ре­ния по вре­ме­ни: , где C – по­сто­ян­ная ин­те­гри­ро­ва­ния.

При рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии . По­сто­ян­ное число вы­но­сит­ся за знак ин­те­гра­ла, сле­до­ва­тель­но, по­лу­ча­ет­ся закон из­ме­не­ния ско­ро­сти: .

При  ско­рость равна на­чаль­ной ско­ро­сти, сле­до­ва­тель­но, C – это на­чаль­ная ско­рость: . От­сю­да по­лу­ча­ет­ся закон из­ме­не­ния ско­ро­сти при рав­но­пе­ре­мен­ном пря­мо­ли­ней­ном дви­же­нии: .

Последнее изменение: Понедельник, 25 Июнь 2018, 18:23