Ускорение. Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения
Ускорение. Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения
Механическое движение по характеру подразделяется на поступательное, вращательное и колебательное; по виду траектории – прямолинейное и криволинейное. Также механическое движение можно подразделять по характеру изменения скорости.
Физическая величина, которая определяет быстроту изменения скорости, называется ускорением. Математически ускорение определяется отношением изменения скорости к промежутку времени, за которое оно произошло (производная от скорости по времени): 
, где 
– ускорение; 
– изменение скорости; 
– промежуток времени, за которое произошло изменение скорости; 
– производная скорости по времени.
Так как скорость – величина векторная, то она может меняться по модулю и направлению, поэтому ускорение имеет две естественные составляющие: тангенциальную (параллельную вектору скорости) и нормальную (перпендикулярную вектору скорости).
, где – полное ускорение; 
– тангенциальная составляющая ускорения; 
– нормальная составляющая ускорения (см. рис. 1).
Рис. 1. Тангенциальная и нормальная составляющие полного ускорения
Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения величины (модуля) скорости. Тангенциальное ускорение всегда коллинеарно скорости.
1) Если тангенциальная составляющая ускорения сонаправлена со скоростью, то движение будет ускоренное (см. рис. 2).
Рис. 2. Тангенциальная составляющая ускорения сонаправлена со скоростью
2) Если тангенциальная составляющая ускорения противонаправлена скорости, то движение будет замедленным (см. рис. 3).
Рис. 3. Тангенциальная составляющая ускорения противонаправлена скорости
Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Нормальное ускорение всегда перпендикулярно скорости и направлено к центру по радиусу траектории, по которой движется тело (см. рис. 4).
Рис. 4. Направление нормального ускорения
Величина нормального ускорения связана с радиусом траектории и со скоростью движения следующим соотношением: 
При прямолинейном движении тело имеет только тангенциальное ускорение. Нормальное ускорение отсутствует, так как скорость тела по направлению остаётся неизменной (см. рис. 5).
Рис. 5. Прямолинейное движение
При криволинейном движении, как правило, тело имеет тангенциальную и нормальную составляющую ускорения (см. рис. 6).
Рис. 6. Криволинейное движение
Пример нахождения тангенциальной и нормальной составляющей ускорения
Рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту (см. рис. 7). Найдём составляющие ускорения в тот момент, когда скорость тела направлена под углом 
к горизонту.
Рис. 7. Траектория движения тела
Касательная к траектории в точке A – это направление скорости 
. Ускорение тела, брошенного под углом к горизонту, всегда равно ускорению свободного падения: 
.
Спроецируем данное ускорение на две взаимно перпендикулярные оси, одна из которых перпендикулярна скорости, другая направлена вдоль скорости.
Рис. 8. Проекции ускорения
На рисунке видно, что тангенциальная составляющая ускорения направлена против скорости, то есть скорость тела в данный момент уменьшается (см. рис. 8). Нормальная составляющая ускорения направлена перпендикулярно скорости, следовательно, скорость в следующий момент наклонится в сторону .
Величины составляющих ускорения находим геометрически.
Рис. 9. Геометрическое определение величины составляющих ускорения
Угол A в треугольнике разложения на составляющие (треугольник выделен жёлтым на рисунке) имеет взаимно перпендикулярные стороны с углом 
(см. рис. 9), поэтому 
.
Следовательно, тангенциальная составляющая равна: 
.
Нормальная составляющая ускорения равна: 
.
Задача 1
Обод радиусом 1 метр катится по горизонтальной поверхности со скоростью 10 м/с. Найти радиус траектории точки поверхности обода при прохождении наивысшего положения.
Дано: 
; 
.
Найти: 
.
Решение
Рис. 10. Иллюстрация к задаче
На рисунке изображён обод, который катится по горизонтальной поверхности со скоростью 
(см. рис. 10). Точка A – точка касания обода горизонтальной поверхности, точкаB – наивысшая точка в начальный момент времени. Точка A будет перемещаться по траектории, которая обозначена жёлтым цветом, она называется циклоидой. Эта точка вновь коснётся поверхности, пройдя путь, равный длине траектории: 
.
Скорость точки A относительно горизонтальной поверхности при движении обода без проскальзывания равна нулю. Это объясняется тем, что она движется вместе с ободом по горизонтали со скоростью и относительно центра обода совершает движение по окружности со скоростью 
. В точке A эти скорости будут противонаправлены: 
. Следовательно, скорость движения по окружности и скорость движения центра обода равны: 
.
Скорости точек в верхней части обода равны: 
. Эта скорость будет направлена по горизонтали в сторону движения обода.
С центром обода у всех точек, лежащих на её поверхности, связано нормальное ускорение, так как оно направлено перпендикулярно скорости движения точки по окружности в любой момент времени.
Ускорение остаётся неизменным для всех точек поверхности обода, так как при переходе к системе отсчёта, связанной с Землёй, центр обода движется равномерно: 
.
Тогда для точки 
получается следующее соотношение: 
, где r – искомый радиус.
В этой задаче заданное значение начальной скорости было лишним. Избыточные данные часто включают в задания ЕГЭ по физике.
Ответ: 
.
Задача 2
После удара футбольный мяч за 2 с пролетел 40 м и упал на землю. Чему равен радиус траектории мяча в верхней точке траектории?
Дано: 
; 
; 
.
Найти: 
.
Решение
Рис. 11. Иллюстрация к задаче
На рисунке изображена траектория полёта мяча (см. рис. 11). Точка A – верхняя точка траектории, скорость мяча в которой 
. Ускорение g в верхней точке направлено вниз. Очевидно, что это нормальная составляющая ускорения, так как она направлена перпендикулярно скорости: 
.
Скорость в точке A – это горизонтальная составляющая скорости, которая в процессе всего движения остаётся неизменной. Поэтому скорость в точке A равна отношению всего пути, пройденного по горизонтали, ко времени: 
.
Следовательно, радиус траектории в верхней точке равен: 
.
Ответ: 
.
Нахождение закона изменения скорости от времени
Сведения об ускорении необходимы для того, чтобы найти закон изменения скорости от времени. Например, зависимость скорости от времени находится как неопределённый интеграл от ускорения по времени: 
, где C – постоянная интегрирования.
При равноускоренном движении 
. Постоянное число выносится за знак интеграла, следовательно, получается закон изменения скорости: 
.
При 
скорость равна начальной скорости, следовательно, C – это начальная скорость: 
. Отсюда получается закон изменения скорости при равнопеременном прямолинейном движении: 
.