Задачи на движение с ускорением свободного падения

 Формулы для решения задач на движение тела, брошенного под углом к горизонту или горизонтально

За­да­чи на кри­во­ли­ней­ное дви­же­ние с уско­ре­ни­ем сво­бод­но­го па­де­ния чаще всего пред­став­ле­ны в ЕГЭ как за­да­чи на дви­же­ние тела, бро­шен­но­го под углом к го­ри­зон­ту. Рас­смот­рим общий вид таких задач и фор­му­лы для их ре­ше­ния.

Из точки, рас­по­ло­жен­ной на вы­со­те h (см. Рис. 1), со ско­ро­стью  под углом к го­ри­зон­ту  бро­ше­но тело.

Рис. 1. Дви­же­ние тела, бро­шен­но­го под углом к го­ри­зон­ту

1. Для того чтобы узнать, как вы­гля­дит урав­не­ние дви­же­ния тела, нужно пред­ста­вить на­чаль­ную ско­рость  в виде со­став­ля­ю­щих:  и .

 

Ско­рость по оси x не ме­ня­ет­ся с те­че­ни­ем вре­ме­ни, так как уско­ре­ние на­прав­ле­но по оси y () и имеет толь­ко одну со­став­ля­ю­щую. Сле­до­ва­тель­но, с те­че­ни­ем вре­ме­ни из­ме­ня­ет­ся ско­рость по оси y.

 

2. В ре­ше­нии таких задач также нужно поль­зо­вать­ся урав­не­ни­ем для ко­ор­ди­нат.

 – урав­не­ние рав­но­мер­но­го дви­же­ния

Ко­ор­ди­на­та y в вы­бран­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат из­ме­ня­ет­ся по за­ко­ну рав­но­пе­ре­мен­но­го дви­же­ния с от­ри­ца­тель­ным уско­ре­ни­ем:

 

3. Мо­дуль ско­ро­сти равен:

 

4. Урав­не­ние тра­ек­то­рии (за­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты x от y):

  – урав­не­ние па­ра­бо­лы, ветви ко­то­рой опу­ще­ны вниз, сме­щён­ной по оси x в по­ло­жи­тель­ном на­прав­ле­нии.

5. Время по­лё­та (па­де­ния) тела:

 

6. Даль­ность по­лё­та:

 

7. При  даль­ность по­лё­та:

 

8. Наи­выс­шая вы­со­та подъ­ёма:

 

 Задача 1

Сна­ряд вы­ле­тел из ство­ла со ско­ро­стью 200 м/с под углом  к плос­ко­сти го­ри­зон­та. Опре­де­лить даль­ность по­лё­та сна­ря­да. Ответ вы­ра­зить в ки­ло­мет­рах.

Дано: ; ;   (см. Рис. 2)

Найти: S

Ре­ше­ние

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

В дан­ной за­да­че на­чаль­ная и ко­неч­ная точка по­лё­та сна­ря­да лежат на одной вы­со­те, по­это­му вос­поль­зу­ем­ся сле­ду­ю­щей фор­му­лой даль­но­сти по­лё­та:

 

Ответ:  

 Задача 2

С вышки бро­си­ли ка­мень в го­ри­зон­таль­ном на­прав­ле­нии. Через 2 с ка­мень упал на землю на рас­сто­я­нии 30 м от ос­но­ва­ния вышки. Опре­де­лить ко­неч­ную ско­рость камня.

Дано: ;  – на­чаль­ная ско­рость имеет на­прав­ле­ние толь­ко по оси x;  (см. Рис. 3)

Найти: 

Ре­ше­ние

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ко­неч­ная ско­рость на­хо­дит­ся по сле­ду­ю­щей фор­му­ле (как мо­дуль век­то­ра):

 

Ско­рость по оси x равна:

 

На­чаль­ной ско­ро­сти по оси y не было, а далее она уве­ли­чи­ва­ет­ся с уско­ре­ни­ем сво­бод­но­го па­де­ния:

 

Сле­до­ва­тель­но:

 

Ответ: 

 Задача 3

Мяч, бро­шен­ный под углом  к го­ри­зон­ту, до­стиг мак­си­маль­ной вы­со­ты 17,3 м. Ка­ко­ва даль­ность по­лё­та мяча?

Дано: ; ;  (рис. 4)

Найти: S

Ре­ше­ние

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

H– мак­си­маль­ная вы­со­та подъ­ёма, то есть вы­со­та, на ко­то­рую тело под­ни­ма­ет­ся и с ко­то­рой па­да­ет.

Тело па­да­ет с вы­со­ты H за время , ко­то­рое равно вре­ме­ни подъ­ёма , сле­до­ва­тель­но:

 

 

По­это­му:

 

Фор­му­ла для даль­но­сти по­лё­та:

 

От­но­ше­ние даль­но­сти по­лё­та к мак­си­маль­ной вы­со­те:

 

Сле­до­ва­тель­но:

 

По­лу­чен­ную фор­му­лу даль­но­сти по­лё­та можно ис­поль­зо­вать и в дру­гих за­да­чах, в ко­то­рых тело дви­жет­ся по сим­мет­рич­ной тра­ек­то­рии.

 

Ответ: