Решение задач повышенной сложности на равномерное движение

 Задача 1

По­ло­ви­ну пути ве­ло­си­пе­дист про­ехал со ско­ро­стью 15 км/ч. Далее по­ло­ви­ну остав­ше­го­ся вре­ме­ни дви­же­ния он ехал со ско­ро­стью 6 км/ч, а затем до конца пути шел пеш­ком со ско­ро­стью 4 км/ч. Опре­де­лить сред­нюю ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на всем пути в км/ч.

Дано: ; ; ; ; ; 

Найти: 

Ре­ше­ние

Сред­няя ско­рость равна от­но­ше­нию об­ще­го пути к сумме про­ме­жут­ков вре­ме­ни:

 

Так как по усло­вию , то:

 

Время на пер­вом участ­ке равно:

 

Из усло­вия из­вест­но, что:

 

Так как ,   , 

то:

 

Сле­до­ва­тель­но, время на вто­ром участ­ке равно:

 

Под­ста­вим в фор­му­лу сред­ней ско­ро­сти вы­ра­же­ние для вре­ме­ни на вто­ром участ­ке:

 

В пре­об­ра­зо­ван­ное вы­ра­же­ние для сред­ней ско­ро­сти под­став­ля­ем зна­че­ние вре­ме­ни на пер­вом участ­ке:

 

Под­став­ля­ем в дан­ное вы­ра­же­ние дан­ные из усло­вия:

 

Ответ: .

 Задача 2

Эс­ка­ла­тор метро под­ни­ма­ет непо­движ­но сто­я­ще­го на нем пас­са­жи­ра в те­че­ние 60 с. По непо­движ­но­му эс­ка­ла­то­ру пас­са­жир под­ни­ма­ет­ся в три раза доль­ше. Сколь­ко вре­ме­ни будет под­ни­мать­ся пас­са­жир по дви­жу­ще­му­ся эс­ка­ла­то­ру?

Дано: ; 

Найти: t

Ре­ше­ние

Ис­ко­мое время будет равно от­но­ше­нию об­ще­го пути (от на­ча­ла до конца эс­ка­ла­то­ра) к сумме ско­ро­стей че­ло­ве­ка и эс­ка­ла­то­ра:

 

Ско­рость эс­ка­ла­то­ра равна:

 

Ско­рость че­ло­ве­ка на непо­движ­ном эс­ка­ла­то­ре:

 

Сумма дан­ных ско­ро­стей равна:

 

Под­ста­вим вы­ра­же­ние суммы ско­ро­стей в ис­ход­ную фор­му­лу:

  

Ответ: .

 Задача 3

Из двух пунк­тов нав­стре­чу друг другу вы­еха­ли два ве­ло­си­пе­ди­ста. Когда пер­вый из них про­ехал по­ло­ви­ну всего пути, вто­ро­му оста­лось ехать 24 км, когда же вто­рой ве­ло­си­пе­дист про­ехал по­ло­ви­ну всего пути, пер­во­му оста­лось ехать 15 км. Во сколь­ко раз от­ли­ча­ют­ся ско­ро­сти ве­ло­си­пе­ди­стов? Опре­де­лить рас­сто­я­ние между пунк­та­ми.

Дано:  – время, за ко­то­рое пер­вый ве­ло­си­пе­дист про­едет по­ло­ви­ну пути;  – время, за ко­то­рое вто­рой ве­ло­си­пе­дист про­едет по­ло­ви­ну пути; ; .

Найти:  (из усло­вия оче­вид­но, что ); S

Ре­ше­ние

Для вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста весь путь скла­ды­ва­ет­ся из того, что он со ско­ро­стью  дви­жет­ся в те­че­ние вре­ме­ни, ко­то­рое за­тра­чи­ва­ет пер­вый ве­ло­си­пе­дист на по­ло­ви­ну всего пути, плюс остав­ши­е­ся 24 км.

 

Для пер­во­го ве­ло­си­пе­ди­ста весь путь скла­ды­ва­ет­ся из того, что он со ско­ро­стью  дви­жет­ся время, ко­то­рое за­тра­чи­ва­ет вто­рой ве­ло­си­пе­дист на по­ло­ви­ну всего пути, плюс остав­ши­е­ся 15 км.

 

 

Так как от­но­ше­ние ско­ро­стей вы­ра­жа­ем через x:

 

 

То:

   

 

Вы­чтем из вто­ро­го урав­не­ние пер­вое:

 

 

S в дан­ном вы­ра­же­нии со­кра­ща­ет­ся:

 

 

 

 

x дол­жен быть боль­ше нуля, по­это­му:

 

Сле­до­ва­тель­но:

 

Най­дем из вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы прой­ден­ный путь, под­ста­вив вме­сто x 1,25:

 

 

 

S = 40 км
 

Ответ: ; S = 40 км.

 Задача 4

Вра­же­ский ко­рабль, сле­ду­ю­щий кур­сом на север, об­на­ру­жен в се­ве­ро-за­пад­ном на­прав­ле­нии от по­зи­ции под­вод­ной лодки. Под каким углом к ме­ри­ди­а­ну нужно на­пра­вить тор­пе­ду, чтобы по­ра­зить эту цель, если ско­рость тор­пе­ды в 2 раза пре­вы­ша­ет ско­рость ко­раб­ля?

Дано:  – ско­рость тор­пе­ды в два раза боль­ше ско­ро­сти ко­раб­ля;  – угол к ме­ри­ди­а­ну, под ко­то­рым об­на­ру­жен ко­рабль (се­ве­ро-за­пад­ное на­прав­ле­ние) (см. Рис. 1)

Найти: 

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Для до­сти­же­ния тор­пе­дой ко­раб­ля необ­хо­ди­мо, чтобы от­но­си­тель­ная ско­рость тор­пе­ды  (по от­но­ше­нию к ко­раб­лю) была на­прав­ле­на прямо от места по­зи­ции тор­пе­ды к тому месту, где на­хо­дит­ся ко­рабль в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни.

От­но­си­тель­ная ско­рость тор­пе­ды по от­но­ше­нию к ко­раб­лю равна:

 

В ре­зуль­та­те по­стро­е­ния по­лу­ча­ет­ся тре­уголь­ник ско­ро­стей (см. Рис. 1). На ри­сун­ке видно, что тупой угол в этом тре­уголь­ни­ке равен , также в этом тре­уголь­ни­ке .

За­пи­шем тео­ре­му ко­си­ну­сов для , при­няв  за x:

 

 

Так как , то :

 

 

 

 

Ис­ко­мый угол  равен, как на­крест ле­жа­щий, углу между  и . Все сто­ро­ны дан­но­го тре­уголь­ни­ка вы­ра­же­ны через  (см. Рис. 2).

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Со­глас­но тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

 

 

 

 

 

Ответ: .