Уравнения кинематики прямолинейного движения тела с ускорением свободного падения

 Уравнения кинематики прямолинейного движения тела с ускорением свободного падения

Рас­смот­рим ри­су­нок та­ко­го дви­же­ния (рис. 1).

Рис. 1. Пря­мо­ли­ней­ное дви­же­ние тела с уско­ре­ни­ем сво­бод­но­го па­де­ния

Дви­же­ние про­ис­хо­дит по вер­ти­ка­ли – по оси у с неко­то­рой точки, рас­по­ло­жен­ной на вы­со­те h.

На­чаль­ная ско­рость V₀ на­прав­ле­на вверх, уско­ре­ние равно уско­ре­нию сво­бод­но­го па­де­ния и на­прав­ле­но вниз. Тогда урав­не­ние ки­не­ма­ти­ки, с уче­том того, что а_у = -g и на­прав­ле­но про­тив ко­ор­ди­нат­ной оси, при­ни­ма­ет вид:

для ско­ро­сти V(t) = V₀ - gt (1);

для ко­ор­ди­на­ты тела с уче­том того, что у₀ = h у = h + V₀t -  (2);

время дви­же­ния тела до верх­ней точки t_↑ =  (3);

время дви­же­ния тела до па­де­ния на землю яв­ля­ет­ся кор­нем квад­рат­но­го урав­не­ния (2), учи­ты­ва­ем то, что время от­ри­ца­тель­ным быть не может:

t_п =  (4)

ско­рость мо­мен­та па­де­ния на­хо­дит­ся по фор­му­ле V_п =  (5);

мак­си­маль­ная вы­со­та тра­ек­то­рии тела H = h +  (6).

Эти шесть фор­мул опре­де­ля­ют ре­ше­ние всех задач, ко­то­рые рас­смат­ри­ва­ют­ся по этой теме.

 Задача 1

Тело, па­да­ю­щее без на­чаль­ной ско­ро­сти с неко­то­рой вы­со­ты, про­шло по­след­ние 300 м за 5 с. Найти время па­де­ния тела.

За­пи­шем крат­кое усло­вие за­да­чи, ри­су­нок и ре­ше­ние (рис. 2).

Рис. 2. Ре­ше­ние за­да­чи 1

H = ; H - ΔS =  

  - ΔS =  ;  - 2ΔS =  - 2Δt + gΔt²

  =  =  = 8,5 (c) H = 5·8,5² ≈ 361 (м)

Ответ:  = 8,5 с; Н = 361 м.

Нам необ­хо­ди­мо найти время па­де­ния и вы­со­ту, с ко­то­рой упало тело. Нам из­вест­но, что по­след­ние 300 м – ΔS – тело про­шло за 5 с – Δt, уско­ре­ние равно уско­ре­нию сво­бод­но­го па­де­ния, и в таких за­да­чах оно при­ни­ма­ет­ся рав­ным 10 м/с². На­чаль­ная ско­рость равна нулю, так как тело сво­бод­но па­да­ю­щее.

За­пи­сы­ва­ем урав­не­ние ки­не­ма­ти­ки от на­чаль­ной точки: на­чаль­ная ско­рость равна нулю и весь путь будет равен вы­со­те H.

Вто­рое урав­не­ние за­пи­сы­ва­ем как уча­сток, пред­ше­ству­ю­щий пути ΔS, учи­ты­вая и время па­де­ния.

Мы видим, что у нас по­лу­чи­лась си­сте­ма урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми H и t_п. Вос­поль­зу­ем­ся пер­вым урав­не­ни­ем для под­ста­нов­ки H во вто­ром урав­не­нии, тогда во вто­ром урав­не­нии неиз­вест­ным будет толь­ко t_п, ко­то­рое мы после ал­геб­ра­и­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ний и опре­де­лим. Далее, под­став­ляя время па­де­ния в ис­ход­ную фор­му­лу, на­хо­дим вы­со­ту, с ко­то­рой па­да­ло тело. За­да­ча ре­ше­на.

 Задача 2

Аэро­стат рав­но­мер­но под­ни­ма­ет­ся со ско­ро­стью 4 м/с. На вы­со­те 40 м от земли из него бро­си­ли вверх пред­мет со ско­ро­стью 6 м/с от­но­си­тель­но аэро­ста­та. Через сколь­ко вре­ме­ни пред­мет упа­дет на землю?

За­пи­шем крат­кое усло­вие за­да­чи, схему и ре­ше­ние (рис. 3).

Рис. 3. Ре­ше­ние за­да­чи 2

у = h + V₀t_п -  = 0

  - 2 V₀t_п - 2h = 0                                         =  =  = 4 (c)

Ответ:  = 4 с.

Необ­хо­ди­мо найти время па­де­ния пред­ме­та, бро­шен­но­го с вы­со­ты 40 м, при­чем аэро­стат дви­жет­ся вверх со ско­ро­стью V_А = 4 м/с, тело бро­си­ли с аэро­ста­та со ско­ро­стью V_т = 6 м/с,

уско­ре­ние равно уско­ре­нию сво­бод­но­го па­де­ния. Для ре­ше­ния за­да­чи ис­поль­зу­ем урав­не­ние ки­не­ма­ти­ки, но для на­ча­ла опре­де­лим ско­рость V₀ от­но­си­тель­но земли, ко­то­рую при­об­ре­ло тело, для этого скла­ды­ва­ем ско­ро­сти аэро­ста­та и тела. Далее за­пи­сы­ва­ем урав­не­ние для ко­ор­ди­на­ты у, уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния у нас будет со зна­ком минус, так как дви­же­ние на­прав­ле­но про­тив оси у. Из урав­не­ния на­хо­дим время па­де­ния, про­из­ве­дя ал­геб­ра­и­че­ские пре­об­ра­зо­ва­ния и под­став­ляя дан­ные, вы­чис­ля­ем и по­лу­ча­ем ответ: пред­мет упа­дет на землю через 4 се­кун­ды.

{GENERICO:type=adsshortcode}

 Задача 3

Уче­ник, про­ве­дя экс­пе­ри­мент по опре­де­ле­нию уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния, за­пи­сал ре­зуль­тат в виде g = (10,2 ± 0,6) м/с². Это озна­ча­ет:

1. при про­ве­де­нии экс­пе­ри­мен­та до­пу­ще­ны ошиб­ки;

2. ис­тин­ное зна­че­ние g либо 9,6 м/с², либо 10,8 м/с²;

3. из­ме­рить уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния невоз­мож­но в таком экс­пе­ри­мен­те;

4. ис­тин­ное зна­че­ние уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния g  [9,6; 10,8] м/с².

Мы видим, что уче­ник по­лу­чил ре­зуль­тат и по­греш­ность, ко­то­рую он вы­чис­лил, то есть ре­зуль­тат может быть боль­ше на 0,6 или мень­ше. Это вер­ный ре­зуль­тат, по­то­му что g лежит в ин­тер­ва­ле от 9,6 до 10,8 м/с², ис­тин­ное зна­че­ние g = 9,8 м/с² по­па­ло в этот ре­зуль­тат, по­это­му можно ска­зать, что ла­бо­ра­тор­ная ра­бо­та имеет боль­шую по­греш­ность при по­лу­че­нии из­ме­ре­ний и пра­виль­ный ответ – 4.

 Задача 4

Два тела, сво­бод­но па­да­ю­щие с раз­ных высот, до­сти­га­ют земли од­но­вре­мен­но. Время па­де­ния пер­во­го тела – 3 с, а вто­ро­го – 1 с. На какой вы­со­те было пер­вое тело, когда вто­рое на­ча­ло па­дать?

Вы­пол­ним крат­кую за­пись усло­вия за­да­чи, схему и ре­ше­ние (рис. 4).

Рис. 4. Ре­ше­ние за­да­чи 4

1. h₁ = ΔS₃ =  · (2·3 – 1) = 25 (м)

2. H₁ =  = 5·9 = 45 (м)

S_{1 за 2с} = 5·4 = 20 (м)

h₁ = 45 – 20 = 25 (м)

Ответ: h₁ = 25 м.

Нам необ­хо­ди­мо найти h₁, на­чаль­ных ско­ро­стей тела не имеют. Тела упали од­но­вре­мен­но, но пер­вое тело на­хо­ди­лось по вре­ме­ни в по­ле­те 2 се­кун­ды, когда на­ча­ло па­дать вто­рое тело. Ре­шить за­да­чу можно двумя спо­со­ба­ми.

1. Для пер­во­го тела ис­ко­мая вы­со­та h₁ – это путь, ко­то­рый про­шло сво­бод­но па­да­ю­щее тело за тре­тью се­кун­ду от на­ча­ла па­де­ния. Две се­кун­ды оно па­да­ло в оди­но­че­стве, а потом на­ча­ло па­дать вто­рое тело, в тре­тью се­кун­ду они па­да­ют па­рал­лель­но и од­но­вре­мен­но уда­ря­ют­ся о землю. Тогда можно при­ме­нить фор­му­лу пути, прой­ден­но­го за тре­тью се­кун­ду от на­ча­ла дви­же­ния ΔS₃, и, под­став­ляя дан­ные, по­лу­чить ре­зуль­тат 25 мет­ров.

2. Тело па­да­ло с вы­со­ты H₁, под­став­ляя в фор­му­лу дан­ные, най­дем ее. Преды­ду­щий путь S_{1 за 2 с} тело про­шло за две се­кун­ды, и по этой же фор­му­ле най­дем путь, ко­то­рый про­шло тело за пер­вые две се­кун­ды. Про­из­ве­дя вы­чи­та­ние, по­лу­чим необ­хо­ди­мую нам вы­со­ту.

 Заключение

При ре­ше­нии задач необ­хо­ди­мо пом­нить, что все за­дан­ные ве­ли­чи­ны нужно при­ве­сти к одной си­сте­ме еди­ниц. При этом нужно за­ме­тить, что как в си­сте­ме МКГСС (тех­ни­че­ской), так и в СИ еди­ни­цы всех ки­не­ма­ти­че­ских ве­ли­чин оди­на­ко­вы:

рас­сто­я­ние S из­ме­ря­ет­ся в м, время t – в с, ско­рость V – в м/с.