Закон Архимеда для покоящихся тел
Закон Архимеда
Чтобы вычислить суммарную силу давления жидкости на погруженное в нее тело, необходимо произвести сложение векторов, приложенных к различным точкам этого тела, то есть, с математической точки зрения, выполнить довольно сложное интегрирование по поверхности произвольной формы от некоторой векторной функции. Эта математическая задача может быть решена физически более простым способом. Впервые решение такой задачи смог провести греческий философ, мыслитель и физик Архимед около 2200 лет назад: он экспериментально установил простой факт – суммарная сила давления жидкости на поверхность любого тела, погруженного в эту жидкость, равна весу жидкости в объеме погруженной части тела.
Мысленно погрузим тело в жидкость (рис. 1), этот объем жидкости будет находиться в состоянии покоя, следовательно, сумма сил, на него действующих, равна нулю. Какие силы действуют на этот объем жидкости? На него действует сила тяжести, равная весу жидкости в этом объеме, и вверх действует сила давления со стороны окружающих слоев жидкости.
Рис. 1. Погружение тела в жидкость
Это и есть та сила, которую мы сейчас ищем, сила гидростатического давления на эту произвольную поверхность (рис. 2).
Рис. 2. Сила давления
Так как сумма сил, действующих на этот объем, равна нулю, следовательно, сила гидростатического давления в точности равна весу жидкости в объеме погруженной части тела. Но если сила тяжести направлена вниз, то сила давления направлена в противоположную сторону, это мы выразим знаком минус перед вектором ускорения свободного падения и получим окончательный результат – сила, действующая на тело со стороны окружающей жидкости, направлена в сторону, противоположную силе тяжести и равна по величине весу жидкости в этом объеме. Этот закон применим для объема погруженной части тела, находящегося в состоянии покоя, имеющего нулевую скорость и, самое важное, нулевое ускорение.
Рассмотрим следующую систему:
Рис. 3. Иллюстрация к примеру
Это сосуд с жидкостью (рис. 3), в который помещен легкий шарик, то есть его плотность меньше плотности жидкости, и привязан легкой ниточкой ко дну сосуда. Этот шарик находится в состоянии покоя, следовательно, сумма сил, на него действующих, равна нулю.
Какие силы действуют на этот шарик: сила тяжести, равная массе этого шарика на ускорение свободного падения, эта сила направлена вниз ( ρт V 
), сила натяжения нити, которая тоже направлена вниз (Т) и сила Архимеда (-ρж V 
), «минус» обозначает, что сила Архимеда направлена вертикально вверх. Шарик покоится, его скорость и ускорения равны нулю, следовательно, мы можем использовать закон Архимеда:
ρт V + Т - ρж V = 0
Что же произойдет с этим телом, если мы перережем ниточку (рис. 4)?
Рис. 4. Иллюстрация к примеру
Очевидно, что из сил, действующих на это тело, исчезнет сила натяжения нити. На тело будет действовать сила тяжести( ρт V ), которая направлена вниз, сила давления окружающих слоев жидкости(Fд), которая будет направлена вверх. Под действием сил, действующих на тело, шарик будет двигаться вверх ускоренно, и это ускорение можно попытаться найти из второго закона Ньютона.
Если мы предположим, что сила, действующая на тело со стороны окружающей жидкости, то есть сила давления, по-прежнему равна силе Архимеда, то мы получим результат:
который является ошибочным. Подставив значение силы Архимеда, получим:
Но этот ответ является неправильным и бессмысленным, так как тело, имеющее нулевую скорость и начинающее двигаться с некоторым ускорением, движется не в вакууме, перед этим телом находится жидкость, за этим телом тоже находится жидкость. Если тело начинает движение в какую-то сторону, оно толкает слои жидкости, находящиеся перед этим телом, и тянет за собой слои жидкости, находящиеся за ним, то есть некоторая масса жидкости также начинает ускоренное движение.
Понятие гидродинамики
Следовательно, для расчета давления, действующего на тело, у которого ускорение отлично от нуля, необходимо рассматривать все слои окружающей жидкости, и наука, Занимающаяся этим, носит название гидродинамика.
Эта наука развивалась в середине XVIII века прежде всего трудами профессоров Санкт-Петербургского университета, Бернулли и Эйлера (рис. 5).
Рис. 5. Ученые
Леонардо Эйлер написал уравнения, которые явились основой гидродинамики. Решение этих уравнений составляет задачу целого направления современной математики – математической физики. Только с использованием формул математической физики можно вычислить силу гидростатического давления, действующую на движущееся тело, но только в некоторых определенных случаях.
Например, если мы рассмотрим тело сферической формы, погруженное в жидкость в сосуде, размеры которого много больше радиуса этого шарика, можно получить точный аналитический результат. Решение приводит к выражению для ускорения покоящегося тела, помещенного в очень большой сосуд:
Это выражение отличается от предыдущего одним небольшим слагаемым в знаменателе, но теперь при устремлении плотности тела (ρт) к нулю мы в числителе получаем плотность жидкости ( ρж), а в знаменателе одну вторую плотности жидкости (1/2 ρж), таким образом получаем результат – бесконечно легкий шарик в очень большом объеме жидкости будет всплывать с ускорением, равным минус удвоенное ускорение свободного падения.
Если средняя плотность твердого тела меньше плотности жидкости, то в соответствии с законом Архимеда такое тело будет плавать на поверхности жидкости.
Отдельный вопрос – устойчивость этого плавания: если мы просто опустим твердое тело в жидкость, оно само будет поворачиваться до тех пор, пока не займет более устойчивое положение. При медленном увеличении средней плотности тела, добавляя балласт или позволяя жидкости заполнять внутренние объемы в этом теле, средняя плотность тела может сравняться с плотностью жидкости и такое тело полностью погрузится в жидкость и будет плавать в безразличном состоянии на любой глубине.
Однако в действительности это не так. Дело в том, что сжимаемость твердых конструкций обычно больше, чем сжимаемость жидкости. Жидкость этим и отличается от газовой среды, газ относительно легко сжимаем по сравнению с твердыми телами, а жидкость плохо сжимаема.
Если мы погрузим некое твердое тело в жидкость, оно, чуть опустившись глубже, испытает большую силу сжимающего давления, и его объем немного уменьшится, следовательно, его плотность немного увеличится, и оно утонет. Если такое безразлично плавающее тело немного всплывет вверх, сила сжимающего давления немного уменьшится, объем тела увеличится, средняя плотность уменьшится, и такое тело начнет всплывать. Таким образом, конструкции вроде подводных лодок могут находиться на определенной глубине только при наличии дополнительных внешних воздействий, удерживающих эту лодку на этой глубине, это рули управления глубиной и работающие двигатели.
Другое дело в газовой среде, газовая среда также давит на все тела, в ней находящиеся, и закон Архимеда точно так же работает для тел, находящихся в газовой среде. Мы обычно этого не ощущаем, поскольку плотность микроскопических твердых тел значительно больше плотности воздуха. Однако есть специальные конструкции, например дирижабли (рис. 6), средняя плотность которых равна плотности воздуха, они могут плавать на определенной высоте.
Рис. 6. Дирижабль
Если дирижабль опускается немного вниз, сила давления, конечно, увеличивается, но окружающий воздух при этом сжимается гораздо сильнее, чем сама конструкция дирижабля. Средняя плотность дирижабля оказывается меньше, чем плотность воздуха на низких высотах, такой дирижабль будет подниматься вверх. Дирижабль, случайно поднявшийся вверх, окажется в слоях с гораздо меньшей плотностью воздуха и будет опускаться вниз, таким образом, плавание дирижабля в воздухе является абсолютно устойчивым. Определение объема погруженной части тела также оказывается не всегда простой задачей.
Поверхностное натяжение, объем погруженной части тела
Рассмотрим такую ситуацию: тяжелый шарик (плотность его больше плотности жидкости), помещенный на поверхность этой жидкости, может не утонуть, причина этого – так называемое поверхностное натяжение (рис. 7).
Рис. 7. Поверхностное натяжение
На поверхности будут действовать силы, удерживающие шарик в таком состоянии, этот погруженный на какую-то глубину шарик будет испытывать, кроме сил поверхностного натяжения, которые тянут его вверх, силу тяжести и, конечно, выталкивающую силу, которая равна весу жидкости в объеме погруженной части тела.
Как сосчитать выталкивающую силу в данном случае, что такое объем погруженной части тела?
Вспомним, как мы вычисляли силу гидростатического давления.
В нашей задаче жидкость давит на нижнюю половину шарика (рис. 8).
Рис. 8. Давление жидкости
Значит, нам нужно вычислить силу гидростатического давления только на эту поверхность, как это сделать? Необходимо мысленно выделить в жидкости некий вертикальный цилиндр, нижняя часть которого совпадает по форме с поверхностью этого шарика (рис. 9).
Рис. 9. Цилиндрическая поверхность
Эта поверхность будет находиться в состоянии покоя, следовательно, сила гидростатического давления, действующая на эту поверхность, будет равна весу жидкости в объеме этого цилиндра, его и следует называть объемом погруженной части тела.
Рассмотрим другой пример.
Рис. 10. Иллюстрация к примеру
Сосуд с отверстием в дне (раковина или ванна со сливным отверстием), у этого отверстия есть некоторый радиус, возьмем легкий шарик (легкий, его плотность будет меньше плотности жидкости), радиус этого шарика будет больше радиуса этого отверстия (рис.10).
Положим на отверстие шарик, он не провалится, поскольку его радиус больше, и начнем наливать жидкость в этот сосуд. В какой-то момент сила гидростатического давления жидкости на этот шарик может оказаться больше, чем вес шарика. Тогда шарик всплывет, жидкость вытечет, шарик вновь опустится и закроет отверстие.
Такой процесс будет автоматически определять определенный уровень жидкости в этом сосуде. Но в некоторых случаях, если количество жидкости превысит размеры этого шарика, может оказаться, что шарик будет прижат жидкостью к этому отверстию и всплывать не будет.
Как же определить объем погруженной части тела?
Рассмотрим, каким же будет объем погруженной части шарика в том случае, когда жидкость налита до какого-то уровня (рис. 11).
Рис.11. Иллюстрация к примеру
Жидкость давит только на боковую поверхность шарика, на нижнюю, соприкасающуюся с воздухом поверхность жидкость не давит. Мысленно выделяем некоторый объем жидкости (рис. 12), который будет находиться в состоянии покоя и вычисляем его силу тяжести, которая будет в точности совпадать с силой давления окружающей жидкости на эту боковую поверхность.
Рис. 12. Иллюстрация к примеру
Такой объем жидкости заштрихован, вычисление его требует знаний сферической геометрии, и это вполне выполнимая задача. Эта заштрихованная часть и есть объем погруженной части шарика.
Если же шарик не всплыл, а жидкость налилась еще до более высокого уровня, то на верхнюю поверхность шарика столб жидкости будет давить вниз (рис. 13).
Рис. 13. Иллюстрация к примеру
Следовательно, в данном случае к силе давления окружающих слоев жидкости добавится некое слагаемое, направленное не как в законе Архимеда, вверх, а вниз, что эффективно означает, что эту часть объема жидкости нужно считать отрицательным объемом погруженной части тела. Объем, заштрихованный черным, нужно считать со знаком «+», а объем, заштрихованный желтым, нужно считать со знаком «-». Вес воды в объеме погруженной части тела будет в данном случае силой гидростатического давления.