Система материальных точек. Центр масс. Закон движения центра масс
Любые физические тела состоят из огромного числа микрообъектов, которые, конечно, можно при очень хорошем приближении считать материальными точками. Твердые тела обладают таким свойством, что расстояние между любыми точками в этом теле сохраняется. Для описания движения твердого тела вполне достаточно описывать движение одной из его точек – по крайней мере, при поступательном движении твердого тела. Однако бывают и жидкие, и газообразные тела. Например, происходит взрыв сверхновой звезды, в разные стороны разлетается огромное количество разных частиц. Описать их поведение, не зная конкретное взаимодействие этих частиц, иногда бывает просто невозможно. И тем не менее существуют общие закономерности, общие законы движения этих объектов, к изучению которых мы сейчас приступим.
Итак, рассматриваем произвольную систему очень большого числа материальных точек. Каждая из этих точек имеет некоторую массу, которая обозначается mi, и некоторую скорость . Каждая из этих точек имеет импульс .
Если мы сложим все эти импульсы, получим некоторую величину, которую будем называть импульсом системы . Эта величина по размерности есть произведение массы на скорость.
Понятно, что буквой M мы будем называть массу системы, это просто суммарная масса всех частиц, составляющих эту систему.
Что же такое скорость этой системы ? Ведь каждая точка имеет свою скорость, точки направлены произвольным образом, какая же точка системы движется с этой скоростью ?
Для того чтобы это понять, рассмотрим совсем другую величину, которую будем называть «центр масс системы». По определению, координаты центра масс системы есть некоторая сумма произведений масс на радиус-вектора каждой точки, деленное на полную массу системы.
Эта величина имеет определенную размерность, размерность длины (мы обозначаем ее буквой R и называем радиус-вектором некой точки). Эта точка носит название «центр массы». Но если мы теперь посмотрим на скорость изменения этой координаты, на скорость изменения положения этой точки, то в правой части у нас только одна величина зависит от скорости – это координата конкретной массы. Значит, вместо координаты этой массы у нас появится скорость этой массы, а вместо координаты центра масс появится скорость центра масс. И мы видим, что скорость центра масс – это и есть та скорость, которая входит в определение импульса. Таким образом, импульс представляет собой массу системы, умноженную на скорость центра масс. Если импульс системы материальных точек – это суммарный импульс этих материальных точек, то и изменение импульса системы естественно описывать как суммарное изменение частей, составляющих эту систему.
Для материальных точек мы знаем, что изменения импульса по второму закону Ньютона это есть сила, действующая на данную материальную точку, и время, в течение которого эта сила действует. Изменение импульса есть импульс силы. В этой формуле мы видим, что сумма изменения импульсов материальных точек есть суммарный импульс силы, действующий на различные части этой системы.
В этом выражении t – общее для всех слагаемых, его можно вынести на суммирование, тогда мы получим сумму сил, действующих на тела системы, а это и есть суммарная система, действующая на систему в целом - . Этот последний переход очень нетривиален, поскольку взаимодействие между частями системы здесь также учитывается. Среди сил, действующих на отдельные части системы, есть силы, действующие извне, и есть силы, действующие внутри этой системы. Но по третьему закону Ньютона сила действия равна силе противодействия и противоположно направлена. Очень часто говорят, что в третьем законе Ньютона силы, приложенные к разным телам, поэтому нельзя складывать. Силы – это векторы, и их всегда можно складывать как векторы. Силы взаимодействия частей системы, складываясь, дают ноль, поэтому в правой части этого равенства стоит только суммарная внешняя сила, действующая на систему. Таким образом, мы получаем второй закон Ньютона для системы произвольным образом взаимодействующих материальных точек. Изменение импульса системы есть - импульс силы, действующий на эту систему. В обычной форме второго закона Ньютона масса, умноженная на ускорение, равна силе
В данном случае тривиальна интерпретация: масса любой сложной системы, умноженная на ускорение той точки, которую мы назвали «центр масс», есть – суммарная внешняя сила, действующая на систему. Таким образом, мы доказали, что второй закон Ньютона применим к любым, сколь угодно сложным системам. На этом мы заканчиваем изучение понятия «центр масс» и законов движения центра масс. На следующем уроке мы рассмотрим законы сохранения или изменения импульса и энергии системы материальных точек.