Основные понятия гидродинамики: линия тока, трубка тока. Условия неразрывности, несжимаемости жидкости, уравнение Бернулли
Линия тока. Трубка тока
При рассмотрении динамики движения жидкости или газа можно не следить за конкретной точкой среды, а следить за конкретной точкой пространства и фиксировать в таких точках направление и величину скорости различных частиц в данный момент времени. Таким образом, в каждой точке пространства можно получить некоторый вектор, имеющий определённую величину и направление. Такая картина называется полем скоростей. В этом поле скоростей можно провести некоторые линии, линии тока (так же, как проводят силовые линии в электрическом или гравитационном полях) (см. рис .1).
Линия тока (на рис. 1 выделены жёлтым) – линия в пространстве, направление касательной к которой в данный момент времени в каждой точке совпадает с направлением вектора скорости в этой точке.
Рис. 1. Линии тока в поле скоростей
Если сделать мгновенное отображение, то можно поле скоростей заменить линиями тока.
В том случае, когда скорости в данной точке пространства не меняются со временем, такое движение называют стационарным движением жидкости или газа. В этом случае картина линий тока не будет зависеть от времени, она будет заморожена. Линия тока в данном случаи будет представлять собой траекторию движения отдельной частицы, которая будет двигаться в каждый момент времени в направлении касательных к этой линии.
Рис. 2. Трубка тока
При стационарном течении жидкости или газа из стационарных линий тока можно построить поверхность такой формы, которая называется трубкой тока (см. рис. 2). Эта трубка – мысленно выделенная труба, по которой течёт жидкость или газ (далее будет рассматриваться движение жидкости именно в такой трубе). Если за определённое время некоторая масса жидкости перетекла через поверхность сечения такой трубы 
, то такое же количество жидкости должно перетечь через сечение трубы 
, так как с течением времени полная масса жидкости в этом объёме, выделенным двумя сечениями, меняться не должна.
Условие неразрывности для несжимаемой жидкости
Выберем сечения и настолько маленькими, то есть трубку тока настолько тонкой, что в каждом её сечении скорость (
) можно считать одинаковой. Тогда можно вычислить количество жидкости, перетекающей за определённой время через поверхность и .
Масса, которая перешла за время 
через поверхность : 
, где 
– плотность жидкости.
Также можно вычислить массу, которая перешла через поверхность за время t: 
.
Так как количество вещества, которое втекло в объём и которое из него вытекло, одинаково, то 
.
Если рассматривать несжимаемые жидкости, то плотность вещества в сечении совпадает с плотностью вещества в сечении .
Следовательно, получаем следующее соотношение: 
.
То есть для несжимаемой жидкости, произведение скорости на площадь поперечного сечения трубки тока одинаково вдоль всей трубки: 
– условие неразрывности. Это означает, что, чем меньше поперечное сечение, тем больше скорость.
Уравнение Бернулли
Динамика движения реальной жидкости очень сложная, однако в некоторых случаях можно пренебречь вязкостью жидкости, то есть наличием трения между различными слоями жидкости. В этом случае при движении жидкости не выделяется тепло, то есть сохраняется механическая энергия. Закон движения такой идеальной несжимаемой жидкости без вязкости называется уравнением Бернулли, которое полностью основано на законе сохранения механической энергии.
Рассмотрим энергетические соотношения при движении идеальной несжимаемой жидкости. Выделяем некоторую трубку тока, ограниченную сечениями и (см. рис. 3). За некоторое время 
масса жидкости, заключённой между сечениями
и , сместится. Сечение перейдёт в сечение 
, а – в 
.
Рис. 3. Трубка тока
Рассматриваем не только очень маленькие сечения трубки тока, но и очень маленькие промежутки времени, в течение которых сечения сместятся на очень маленькую величину. Будем пренебрегать изменением площади сечений, изменением высоты, скорости и давления на этих сечениях. С учётом этих данных рассчитаем работу внешних сил над данным объёмом жидкости. Эта работа складывается из таких работ:
1) Внешняя часть жидкости давит на сечение с силой 
, поэтому совершает работу при перемещении этого сечения.
2) Внешняя часть жидкости давит на сечение с силой 
и совершает отрицательную работу при перемещении этого сечения.
Также меняется кинетическая и потенциальная энергия жидкости.
Для того чтобы легче было это понять, рассмотрим объём жидкости, заключённый между сечениями и . Энергия, масса, скорость, давление и остальные характеристики этого объёма не изменились в силу стационарности движения. Поэтому вся работа внешних сил привела к тому, что энергия части жидкости между и переместилась в часть между 
и с ниже посчитанными изменениями:
-работа внешних сил в верхней части трубки: 
;
-работа внешних сил в нижней части трубки (
сдвигается в сторону противоположную силе давления, поэтому работа имеет знак минус): 
;
-суммарная работа, произведённая над объёмом, передвинувшимся за время : 
.
Вычислим изменение энергии рассмотренного отрезка трубки тока (изменение энергии части жидкости между и по сравнению с энергией между и ), для этого из энергии конечной отнимаем энергию начальную.
Изменение потенциальной энергии (потенциальная энергия – это масса (масса – это плотность (), умноженная на объём, а объём в данном случае – это поперечное сечение на длину участка между и или и (
)), умноженная на ускорение свободного падения (
) и высоту этого участка над некоторым нулевым уровнем):
.
Изменение кинетической энергии (масса, умноженная на квадрат скорости и делённая на два): 
.
Изменение энергии в соответствии с законом сохранения энергии равно работе внешних сил.
Приравниваем эти величины и переносим слагаемые с одинаковыми индексами в одну сторону. Сократив , 
и 
(согласно условию неразрывности ), получаем окончательный результат: 
.
Сечения и были выбраны произвольно, поэтому уравнение можно записать в таком виде: 
.
Мы получили уравнение Бернулли. Это уравнение утверждает, что сумма физических величин (
) постоянна вдоль очень узкой трубки тока. В математическом смысле следует устремить сечение этой трубки к нулю, то есть получим линию тока. Следовательно, вдоль любой линии тока.
Практическое применение уравнения Бернулли
1) Определим скорость истечения жидкости из маленького отверстия в большом сосуде с жидкостью. Пусть h – высота верхнего уровня жидкости по отношению к положению отверстия. Давление над жидкостью и около отверстия равно атмосферному, то есть внешнее давление одинаково везде (
). В очень большом сосуде при истечении жидкости из маленького отверстия скорость жидкости можно считать равной нулю (
). Следовательно, в верхней точки жидкости (где высота – h, а 
), то есть в левой части уравнения Бернулли, получаем величину 
.
В нижней части около отверстия на глубине h (где 
, а 
), то есть в правой части уравнения Бернулли, получаем величину 
.
Из этого равенства легко найти скорость () истечения жидкости из маленького отверстия: 
.
2) Измерим давление жидкости с помощью манометра (прибор, который имеет небольшую площадь поверхности, располагается в трубке тока определённым образом). Расположим манометр так, чтобы его поверхность была параллельна линиям тока. При этом манометр будет показывать давление в жидкости, которая течёт со скоростью v(манометр, расположенный параллельно линиям тока, не будет влиять на эту линию), следовательно, в левой части уравнения Бернулли получаем величину 
.
Расположим манометр перпендикулярно линиям тока. Такое положение манометра влияет на течение жидкости. Жидкость у поверхности манометра будет останавливаться (обтекать манометр). То есть скорость в точке у поверхности манометра будет равна 0 (), поэтому в правой части уравнения Бернулли получаем величину .
Такое соотношение используется для определения скорости течения жидкости.