Центр тяжести и центр инерции. Условия равновесия твердого тела
Абсолютно твёрдое тело
Произвольные системы точек под действием внешних сил двигаются и меняют свою форму (деформируются). Существуют абсолютно твёрдые тела, то есть тела, размер и форму которых считают неизменными (размером деформации пренебрегают). Прикладывая силы к совокупности точек абсолютно твёрдого тела, можно привести его в движение и (или) к вращению.
Суммой сил, действующих на абсолютно твёрдое тело, называется такая сила, которая вызывает такое же движение этого тела, как и действующие на него силы.
Условия равновесия абсолютно твёрдого тела
Когда сумма действующих на тело сил равна нулю, центр масс этого тела находится в состоянии равномерного прямолинейного движения, то есть существует такая система инерциального отсчёта, в которой центр масс этого тела покоится (первое условие равновесия абсолютно твёрдого тела). Однако тело может вращаться относительно этого центра масс (см. рис. 1).
Рис. 1. Вращение абсолютно твёрдого тела при нулевом значении суммы действующих сил
Отсутствие вращательного движения тела обеспечит нулевое значение суммы моментов действующих на него сил (второе условие равновесия абсолютно твёрдого тела). При этом точка, от которой отсчитываются моменты, является произвольной.
Модуль момента силы равен произведению плеча силы (кратчайшее расстояние от точки, от которой отсчитываются моменты, до линии действия силы) на саму силу. То есть, если выбрать точку O как точку, от которой отсчитываются моменты на рис. 1, то момент силы 
равен произведению плеча 
на эту силу, и он направлен против часовой стрелки; момент силы 
– произведение плеча 
на эту силу, и он также направлен против часовой стрелки. Следовательно, в данном случае, сумма моментов этих сил отлична от нуля.
Если направить силу в противоположную сторону (см. рис. 2), тогда её момент направлен по часовой стрелке, а сумма моментов сил и может быть равна нулю.
Рис. 2. Силы, действующие на твёрдое тело
Вычисление суммарной силы не параллельных сил
Чтобы вычислить суммарную силу или суммарный момент сил, действующих на абсолютное твёрдое тело, необходимо уметь складывать силы, приложенные к разным точкам этого тела. Для этого необходимо помнить тот факт, что силу можно переносить вдоль направления её действия, так как при этом не меняется её величина и момент. Следовательно, силу 
, приложенную к точке A, и силу 
, приложенную к точке B (см. рис. 3), переносим вдоль направления действия до тех пор, пока эти силы не окажутся в одной точке (если эти силы не параллельны). В этой точке (D) складываем векторы сил по правилу параллелограмма. Суммарная сила будет направлена вдоль диагонали этого параллелограмма, и эту силу можно продлить до пересечения с точкой (C) данного твёрдого тела.
Рис. 3. Сложение векторов сил
Суммарная сила параллельных сил и точка её приложения
Суммарная сила (F) должна быть не только равной по величине сумме параллельных сил (их можно складывать по абсолютной величине, так как они направлены одинаково), но и иметь такой же момент относительно любой точки, как и исходные силы (
). Для этого необходимо найти такую точку, относительно которой суммарный момент сил равен нулю, то есть 
. И приложить в этой точке суммарную силу 
(см. рис 4). Из выражения находим координату точки. Это и будет точка приложения суммарной силы.
Рис. 4. Сложение параллельных сил
Центр тяжести абсолютно твёрдого тела
Определение точки приложения суммарной силы позволяет установить центр тяжести твёрдого тела.
Центр тяжести – точка приложения суммарной силы тяжести, действующей на разные материальные точки, составляющие данную систему.
Для определения точки, к которой прикладывается суммарная сила тяжести, необходимо тело, изображённое на рис. 4, повернуть на произвольный угол. При этом изменится направление действия сил (но они останутся параллельными), направление действия силы F. Пересечение линий действия суммарной силы F до и после изменения положения тела укажет искомую точку – центр тяжести (т. O) (см. рис. 5).
Рис. 5. Определение точки приложения суммарной силы тяжести
Центр инерции
Как известно из прошлых уроков, центр масс (центр инерции) – такая точка, которая удовлетворяет соотношению: 
, где 
– масса системы, 
– радиус вектор системы, 
– масса и радиус вектор i-й материальной точки.
Если выбрать начало отсчёта в точке центра масс, то в левой части равенства будет ноль: 
. Так как это векторное равенство, то его можно спроецировать на любое направление, например, на ось X: 
, где x – расстояние от центра масс до материальной точки вдоль оси X.
Умножим полученное равенство на ускорение свободного падения (g): 
, где 
– сила тяжести, действующая на материальную точку.
Следовательно, мы получили формулу, из которой видно, что сумма сил, умноженных на плечо, равна нулю, что является условием центра тяжести. Таким образом, центр масс совпадает с центром тяжести.
Положения равновесия
Равновесие твёрдого тела может быть устойчивым или неустойчивым.
Рис. 6. Положения равновесия
На рис. 6 изображён шарик b, который лежит на горке. Сумма действующих на него сил равна нулю, если центр тяжести находится на одной вертикальной линии с точкой опоры (сила реакции опоры (
) действует снизу вверх, сила тяжести (
), приложенная к центру шарика, действует сверху вниз, их сумма и сумма их моментов равна нулю). Но, если этот шарик вывести из положения равновесия, он скатится. Такое положения равновесия называется неустойчивым.
Положение шарика c так же почти неустойчиво, так как любое безконечно малое воздействие на него может привести к сдвигу в любую сторону. Такое положение равновесия называется безразличным.
Шарик a находится в устойчивом положении равновесия, так как при его смещении от положения равновесия возникают силы, возвращающие в исходное положение.
Устойчивое равновесие твёрдого тела – это такое равновесие, при котором сумма сил, действующих на тело, и их моментов равна нулю, и при выводе этого тела из положения равновесия возникают силы или моменты сил, которые возвращают или поворачивают его в положение равновесия.