Законы изменения (сохранения) импульса и энергии для системы материальных точек
Законы изменения (сохранения) импульса для системы материальных точек
Уравнение второго закона Ньютона для системы материальных точек:
Эта форма второго закона Ньютона является законом изменения импульса. То есть изменение импульса материальных точек есть импульс суммарной внешней силы.
Законы сохранения всегда являются следствием законов изменения.
Если суммарная внешняя сила равна нулю, то равен нулю и её импульс, следовательно, импульс системы материальных точек не меняется (сохраняется);
Если суммарная внешняя сила присутствует, но она действует в течение очень короткого времени, то импульс системы также сохраняется.
Закон изменения импульса является векторным законом. Если взять проекцию этого закона на направление, в котором внешняя сила не действует (проекция внешней силы на это направление равна нулю), то импульс вдоль этого направления сохраняется. Поскольку суммарная сила – это вектор, который имеет в трехмерном пространстве некоторое направление, мы имеем плоскость, перпендикулярную направлению действия силы
. Импульс в плоскости, перпендикулярном действию суммарной внешней силы, сохраняется.
Закон изменения (сохранения) энергии для системы материальных точек
Установим, как выглядит закон изменения энергии для системы материальных точек. Для этого воспользуемся утверждением, что при взаимодействии произвольного количества тел всё их взаимодействие можно рассматривать как парное взаимодействие двух частиц.
Рассмотрим две произвольные частицы из системы материальных точек массами 
и
. Скорость этих частиц – 
и 
. Вторая частица действует на первую с силой 
, а первая действует на вторую с силой 
. Согласно третьему закону Ньютона:
Все внешние относительно этой системы силы, действующие на первую частицу, обозначим 
, действующие на вторую частицу обозначим 
.
Через промежуток времени 
:
1. Кинетическая энергия первой частицы изменится следующим образом (по закону изменения кинетической энергии):
,
где 
– работа силы ; 
– работа силы .
2. Изменение кинетической энергии второй частицы:
Сложим эти два выражения с учётом того, что :
То есть полное изменение кинетической энергии двух частиц – это работа внешних сил над первой частицей, работа внешних сил над второй частицей и работа силы их взаимодействия, изменяющая расстояние между этими частицами. Величина 
– изменение потенциальной энергии двух частиц. Следовательно, полученное выражение можно записать следующим образом:
,
где 
– работа внешних сил, 
– изменение потенциальной энергии взаимодействия двух частиц.
Энергия системы материальных точек равна:
,
где 
– суммарная кинетическая энергия частиц системы; 
– суммарная потенциальная энергия частиц системы; 
– суммарная потенциальная энергия взаимодействия частиц системы между собой. Коэффициент 
в выражении появился вследствие того, что суммируется энергия взаимодействия первой частицы со второй и второй частицы с первой, но это одна и та же величина.
Следовательно, величина может измениться, если работа внешних сил, действующих на систему, отлична от нуля. Если работа внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то полная энергия системы – сохраняющаяся величина.
Итоги
Необходимо отметить, что для системы материальных точек, таких как планеты Солнечной системы, которые при взаимодействии друг с другом изменяют и эллиптический характер орбит, и время обращения по этим орбитам, первый и второй законы Кеплера перестают работать. Тем не менее третий закон Кеплера, то есть закон сохранения момента количества движения, остается справедливым и в этом случае. Поэтому для системы материальных точек сохраняется не только импульс и энергия, но и момент количества движения, если суммарное действие внешних сил на эту систему исчезает.