Графический способ описания движений

 График с пятью участками

Рас­смот­рим гра­фик, на ко­то­ром пред­став­ле­ны пять участ­ков дви­же­ния (рис. 1). По гра­фи­ку вы долж­ны уметь от­ве­тить на во­про­сы:

- как на­зы­ва­ет­ся дви­же­ние, ука­зан­ное на гра­фи­ке;

- как ме­ня­ет­ся ско­рость на каж­дом из участ­ков гра­фи­ка;

- чему равен путь, прой­ден­ный на каж­дом участ­ке.

Рис. 1. Гра­фик с пятью участ­ка­ми дви­же­ний

Тип дви­же­ния необ­хо­ди­мо опре­де­лять, зная, что на­клон гра­фи­ка опре­де­ля­ет ве­ли­чи­ну ско­ро­сти. Ско­рость из­ме­ря­ет­ся тан­ген­сом угла на­кло­на гра­фи­ка:

Тогда мы можем ска­зать, что пер­вое дви­же­ние – это дви­же­ние, в ко­то­ром на­клон умень­ша­ет­ся, зна­чит, это дви­же­ние за­мед­лен­ное, в конце на­кло­на со­всем нет, зна­чит, к концу дви­же­ния тело оста­но­ви­лось. За пер­вый уча­сток, ука­зан­ный на гра­фи­ке, тело про­шло путь от 10 до 30 мет­ров за 2 се­кун­ды, имея ка­кую-то на­чаль­ную ско­рость и ко­неч­ную ско­рость, рав­ную нулю. Как ви­ди­те, мы из гра­фи­ка нашли три ве­ли­чи­ны: прой­ден­ный путь – 20 мет­ров; ко­неч­ную ско­рость – ноль; время – 2 се­кун­ды. Можно уста­но­вить все осталь­ные ха­рак­те­ри­сти­ки дви­же­ния – на­чаль­ную ско­рость и уско­ре­ние. Это дви­же­ние за­мед­лен­ное, но в по­ло­жи­тель­ном на­прав­ле­нии – ко­ор­ди­на­та уве­ли­чи­ва­ет­ся.

Вто­рой уча­сток гра­фи­ка – тело стоит, так как ко­ор­ди­на­та не ме­ня­ет­ся, а время идет.

Тре­тий уча­сток гра­фи­ка – рав­но­мер­ное дви­же­ние в от­ри­ца­тель­ном на­прав­ле­нии, так как на­клон от­ри­ца­тель­ный, угол φ₃ниже оси абс­цисс. При необ­хо­ди­мо­сти можем вы­чис­лить ско­рость на этом участ­ке:

 V₃ = Δх / Δt = -50 / 3 ≈ -17 м/с

Чет­вер­тый уча­сток яв­ля­ет­ся уско­рен­ным дви­же­ни­ем, по­то­му что на­кло­на сна­ча­ла не было, а потом на­клон на­чи­на­ет уве­ли­чи­вать­ся и ста­но­вит­ся рав­ным на де­вя­той се­кун­де от на­ча­ла дви­же­ния.

На пятом участ­ке дви­же­ние про­ис­хо­дит рав­но­мер­ное в по­ло­жи­тель­ном на­прав­ле­нии.

Уме­ние опи­сы­вать дви­же­ние по гра­фи­ку для ко­ор­ди­на­ты очень важно, так как оно со­став­ля­ет до­воль­но зна­чи­тель­ную часть за­да­ний.

 График зависимости скорости от времени

Рис. 2. Гра­фик за­ви­си­мо­сти ско­ро­сти тела от вре­ме­ни

По таким гра­фи­кам (рис. 2) до­пус­ка­ет­ся масса оши­бок: даже на во­прос, сколь­ко участ­ков дви­же­ния пред­став­ле­но на гра­фи­ке, от­ве­ча­ют невер­но. Раз­бе­рем их по­дроб­но.

Пер­вые две се­кун­ды тело дви­га­лось рав­но­уско­рен­но в по­ло­жи­тель­ном на­прав­ле­нии, так как про­ек­ция ско­ро­сти по­ло­жи­тель­на и рав­но­мер­но уве­ли­чи­ва­ет­ся. На этом гра­фи­ке уско­ре­ние яв­ля­ет­ся тан­ген­сом угла на­кло­на гра­фи­ка и опре­де­ля­ет­ся:

 а = tg φ = ΔV / Δt

Вто­рой уча­сток гра­фик,а от вто­рой до чет­вер­той се­кун­ды, – это дви­же­ние рав­но­мер­ное, по­то­му что ско­рость не ме­ня­ет сво­е­го зна­че­ния.

Тре­тий уча­сток, от чет­вер­той до ше­стой се­кун­ды, пред­став­ля­ет собой рав­но­за­мед­лен­ное дви­же­ние в по­ло­жи­тель­ном на­прав­ле­нии. Здесь также до­пус­ка­ют ошиб­ки, го­во­ря, что гра­фик смот­рит вниз. Необ­хо­ди­мо смот­реть на знак ско­ро­сти, на этом участ­ке ско­рость по­ло­жи­тель­на, зна­чит, дви­же­ние осу­ществ­ля­ет­ся в по­ло­жи­тель­ном на­прав­ле­нии оси V_х.

 а₃ = - 30 / 2 = = 15 м/с²

 С ше­стой по вось­мую се­кун­ду ско­рость равна нулю, это озна­ча­ет, что тело стоит.

От вось­мой до де­ся­той се­кун­ды тело дви­жет­ся рав­но­уско­рен­но, но в от­ри­ца­тель­ном на­прав­ле­нии. Часто и здесь оши­боч­но при­ни­ма­ют это за за­мед­лен­ное дви­же­ние, но на­чаль­ная ско­рость на этом участ­ке равна нулю, а ко­неч­ная – нет. Не может быть за­мед­лен­но­го дви­же­ния с на­чаль­ной ско­ро­стью, рав­ной нулю, знак минус озна­ча­ет, что тело дви­жет­ся в на­прав­ле­нии, про­ти­во­по­лож­ном на­прав­ле­нию оси.

По­след­ний уча­сток гра­фи­ка от де­ся­той до две­на­дца­той се­кун­ды – это два участ­ка дви­же­ния: сна­ча­ла, от де­ся­той се­кун­ды, тело дви­жет­ся рав­но­за­мед­лен­но в от­ри­ца­тель­ном на­прав­ле­нии и его ско­рость ста­но­вит­ся рав­ной нулю. Затем ско­рость уве­ли­чи­ва­ет­ся, и тело дви­жет­ся рав­но­уско­рен­но в по­ло­жи­тель­ном на­прав­ле­нии, но легко ви­деть, что на­клон этих двух участ­ков оди­на­ков и уско­ре­ние будет иметь одно и то же зна­че­ние.

 а₆ = а₇ = 20 / 1 = 20 м/с²

Гра­фик уско­ре­ния для дан­но­го гра­фи­ка ско­ро­сти отоб­ра­жен на рис. 3.

Рис. 3. Гра­фик уско­ре­ния

Вы­чис­ля­ет­ся уско­ре­ние на каж­дом участ­ке преды­ду­ще­го гра­фи­ка, и мы видим, что:

на пер­вом участ­ке уско­ре­ние 10 м/с²;

на вто­ром уско­ре­ние равно нулю;

на тре­тьем участ­ке уско­ре­ние от­ри­ца­тель­но;

на чет­вер­том уско­ре­ние от­сут­ству­ет;

на пятом уско­ре­ние имеет знак минус, но дви­же­ние будет рав­но­уско­рен­ным, а может ли быть рав­но­уско­рен­ное дви­же­ние с от­ри­ца­тель­ным уско­ре­ни­ем? Может, если ско­рость тоже имеет знак минус, в этом слу­чае вы­пол­ня­ет­ся усло­вие, что уско­ре­ние кол­ли­не­ар­но ско­ро­сти;

на ше­стом и седь­мом участ­ках уско­ре­ние имеет одно и то же зна­че­ние.

 Пример решения задачи 1

Дан гра­фик ко­ор­ди­на­ты ма­те­ри­аль­ной точки, необ­хо­ди­мо вы­брать из че­ты­рех пред­ло­жен­ных гра­фи­ков (рис. 4) гра­фик ско­ро­сти, со­от­вет­ству­ю­щий этому дви­же­нию.

Мы видим, что ко­ор­ди­на­та уве­ли­чи­ва­ет­ся. Пом­ним, что ско­рость опре­де­ля­ет угол на­кло­на участ­ка гра­фи­ка, в дан­ный мо­мент он по­ло­жи­тель­ный, но ко вто­рой се­кун­де на­клон ис­че­за­ет, угол на­кло­на равен нулю. Зна­чит, на вто­рой се­кун­де ско­рость тела ста­но­вит­ся рав­ной нулю. Это пер­вое ос­но­ва­ние для бра­ков­ки пред­ло­жен­ных гра­фи­ков. Ско­рость равна нулю на вто­рой се­кун­де на вто­ром, тре­тьем и чет­вер­том гра­фи­ках, зна­чит, пер­вый гра­фик нам не под­хо­дит. Далее смот­рим, как ме­ня­ет­ся ско­рость и какой знак она имеет. В на­чаль­ный мо­мент ко­ор­ди­на­та рас­тет и ско­рость умень­ша­ет­ся, это зна­чит, что на­чаль­ная ско­рость имеет знак плюс. На чет­вер­том гра­фи­ке ско­рость от­ри­ца­тель­на – он нам тоже не под­хо­дит. На гра­фи­ках два и три ско­рость по­ло­жи­тель­на и на вто­рой се­кун­де равна нулю, смот­рим, какой же по ве­ли­чине была ско­рость.

Рис. 4. При­мер ре­ше­ния за­да­чи 1

Для этого вспо­ми­на­ем урав­не­ние ки­не­ма­ти­ки, ко­то­рое го­во­рит о том, что сред­няя ско­рость – это по­лу­сум­ма на­чаль­ной и ко­неч­ной ско­ро­сти, при рав­но­пе­ре­мен­ном дви­же­нии она за­ви­сит от прой­ден­но­го пути и вре­ме­ни и яв­ля­ет­ся от­но­ше­ни­ем прой­ден­но­го пути ко вре­ме­ни: ΔV =  = .

Мы видим, что за пер­вый уча­сток тело про­хо­дит рас­сто­я­ние от 25 до 45 мет­ров, то есть про­хо­дит путь 20 мет­ров за две се­кун­ды:

  =  

Это по­лу­сум­ма ско­ро­стей, на­чаль­ная ско­рость не равна нулю, ко­неч­ная ско­рость равна нулю, тогда по­лу­ча­ем, что на­чаль­ная ско­рость равна 20 мет­рам.

Таким об­ра­зом, мы видим, что пра­виль­ный гра­фик – номер 2.

 Пример решения задачи 2

Дан гра­фик ско­ро­сти дви­же­ния тела. Какой путь тело про­хо­дит за 30 се­кунд? Ва­ри­ан­ты от­ве­та:

1.      275 м; 2. 350 м; 3. 425 м; 4. 525 м.

При на­хож­де­нии прой­ден­но­го пути по гра­фи­ку ско­ро­сти самый оп­ти­маль­ный ва­ри­ант ре­ше­ния со­сто­ит не в на­хож­де­нии ки­не­ма­ти­че­ских дан­ных и при­ме­не­нии фор­мул, а в вы­чис­ле­нии пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной этим гра­фи­ком. По гра­фи­ку (рис. 5) мы видим, что та­ки­ми фи­гу­ра­ми у нас яв­ля­ют­ся тра­пе­ция и тре­уголь­ник. Можно к пло­ща­ди тра­пе­ции при­ба­вить пло­щадь тре­уголь­ни­ка, неза­ви­си­мо от знака ско­ро­сти путь все­гда имеет толь­ко по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние.

Раз­би­ва­ем эту фи­гу­ру на тра­пе­цию вы­со­той 30 и ниж­ним ос­но­ва­ни­ем 15, при этом видим три аб­со­лют­но рав­ных тре­уголь­ни­ка по пло­ща­ди с ка­те­та­ми по 30 и 5, по­это­му прой­ден­ный путь можно вы­чис­лить по фор­му­ле пло­ща­ди тра­пе­ции и трех пло­ща­дей тре­уголь­ни­ка:

S = 30 + 3·  · 5 · 30 = 300 + 225 = 525 (м)

Это чет­вер­тый ответ.

От­ме­тим, что по гра­фи­ку ско­ро­сти за­да­ют во­про­сы, свя­зан­ные с уско­ре­ни­ем, на­при­мер, чему равно уско­ре­ние в пер­вые де­сять се­кунд дви­же­ния?

Рис. 5. При­мер ре­ше­ния за­да­чи 2

В этом слу­чае на­чаль­ная ско­рость равна нулю, ко­неч­ная ско­рость 30 и мы по­лу­ча­ем:

 а =  =  = 3 м/с²

Таким об­ра­зом, мы можем найти уско­ре­ние на всех участ­ках. Видно, что на участ­ке от 10 до 15 се­кун­ды уско­ре­ния нет, по­то­му что ско­рость имеет одно и то же зна­че­ние.

 Пример решения задачи 3

Найти урав­не­ние тра­ек­то­рии точки, дви­жу­щей­ся из на­ча­ла ко­ор­ди­нат со ско­ро­стью, про­ек­ции ко­то­рой на ко­ор­ди­нат­ные оси – V_х = 2 м/с, а V_у = 4х м/с. Чему равен ра­ди­ус кри­виз­ны этой тра­ек­то­рии в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни?

За­пи­шем крат­кое усло­вие за­да­чи (рис. 6).

Рис. 6. При­мер ре­ше­ния за­да­чи 3

х = V_х· t = 2t (м) V_у = 4·2t = 8t (м/с)

у = V_0у · t +  =  t =  у =  = х²

у = х² – урав­не­ние тра­ек­то­рии

а_х = V'_х (t) = 0 а_у = 8 м/с² а₀ = 8 м/с²

при t = 0 V_0х = 2 м/с V_0у = 0 V₀ = 2 м/с

 , тогда а₀ =  

R₀ =  =  = 0,5 (м)

Ответ: R₀ = 0,5 м

Най­дем, как х за­ви­сит от вре­ме­ни. При рав­но­мер­ном дви­же­нии х = V_х·t = 2t (м).

Под­став­ляя эту за­ви­си­мость в фор­му­лу V_у, по­лу­чим:

V_у = 4 · 2t = 8t(м/с)

Это озна­ча­ет, что на­чаль­ная ско­рость та­ко­го дви­же­ния по оси у равна нулю, а уско­ре­ние равно вось­ми. Зная вы­ра­же­ние для V_у, можно найти за­ви­си­мость у от вре­ме­ни:

у = V_0уt +  = 

Для по­лу­че­ния урав­не­ния тра­ек­то­рии мы из пер­во­го урав­не­ния х = V_х·t = 2t вы­ра­зим время через х: t =  и под­ста­вим в урав­не­ние для у: у =  = х².

По­лу­ча­ем урав­не­ние тра­ек­то­рии у = х², это урав­не­ние пред­став­ля­ет собой па­ра­бо­лу, ко­то­рая на­чи­на­ет­ся из на­ча­ла ко­ор­ди­нат и на­прав­ле­на вверх.

Для на­хож­де­ния ра­ди­у­са на­чаль­ной точки необ­хо­ди­мо сна­ча­ла найти уско­ре­ние, его ищем в про­ек­ци­ях на ко­ор­ди­нат­ные оси. По оси х это про­из­вод­ная от ско­ро­сти по оси х по вре­ме­ни а_{х =} V'_х(t) = 0, ско­рость не ме­ня­ет­ся, со­от­вет­ствен­но, уско­ре­ние будет равно нулю, как и про­из­вод­ная. По оси у уско­ре­ние равно вось­ми мет­рам в се­кун­ду, от­сю­да вывод, что на­чаль­ное уско­ре­ние а₀ на­прав­ле­но вверх по оси у и равно 8 м/с². При t = 0 ско­рость V_0х = 2 м/с, она по­сто­ян­на, а V_0у имеет ну­ле­вую со­став­ля­ю­щую V_0у = 0. Это озна­ча­ет, что в на­чаль­ный мо­мент ско­рость на­прав­ле­на по оси х и равна V₀ = 2 м/с. Но так как уско­ре­ние на­прав­ле­но по оси у, а ско­рость на­прав­ле­на по оси х, оче­вид­но, что уско­ре­ние в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни пер­пен­ди­ку­ляр­но ско­ро­сти, тогда оно яв­ля­ет­ся цен­тро­стре­ми­тель­ным и равно:

а₀ =  от­сю­да  =  =  = 0,5 (м).

В на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни ра­ди­ус кри­виз­ны тра­ек­то­рии равен 0,5 м.

 Заключение

С по­мо­щью гра­фи­че­ско­го ме­то­да ре­ше­ния ме­ха­ни­че­ских задач мы на­учи­лись не толь­ко на­хо­дить нуж­ные нам ве­ли­чи­ны, но и уви­де­ли связь между ма­те­ма­ти­кой и фи­зи­кой, как тесно эти науки свя­за­ны между собой