Задачи повышенной сложности на равнопеременное движение

 Задача 1

С какой ско­ро­стью на­ча­ло тело дви­гать­ся вверх по на­клон­ной плос­ко­сти, если на рас­сто­я­нии 0,5 м от её ос­но­ва­ния тело было через 0,5 с и через 2,5 с от на­ча­ла дви­же­ния?

Дано:  – ко­ор­ди­на­та точки, ко­то­рую тело про­хо­дит через время  и ;  – уско­ре­ние.

Найти: 

Ре­ше­ние

Ко­ор­ди­на­та при рав­но­пе­ре­мен­ном дви­же­нии равна:

 

Дан­ную фор­му­лу за­пи­шем для  и :

 

Из усло­вия за­да­чи видно, что:

 

Или:

 

В по­лу­чен­ной ранее си­сте­ме урав­не­ний два неиз­вест­ных, и . Если тре­бу­ет­ся найти , то оп­ти­маль­ным спо­со­бом ре­ше­ния дан­ной си­сте­мы будет до­мно­же­ние пер­во­го урав­не­ния на 25 и вы­чи­та­ние из него вто­ро­го урав­не­ния. Тем самым мы убе­рём сла­га­е­мое, ко­то­рое со­дер­жит уско­ре­ние a.

 

 

 

Ответ: .

 Задача 2

Два маль­чи­ка, на­хо­дя­щи­е­ся на рас­сто­я­нии 9,2 м друг от друга, пе­ре­бра­сы­ва­ют мяч, со­об­щая ему ско­рость 11 м/с. Найти мак­си­маль­ную вы­со­ту подъ­ёма мяча.

Дано: ; ;  – уско­ре­ние равно уско­ре­нию сво­бод­но­го па­де­ния

Найти: 

Ре­ше­ние

На ри­сун­ке 1 изоб­ра­жён по­яс­ня­ю­щий чер­тёж к за­да­че.

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

 

 можно найти из урав­не­ния ки­не­ма­ти­ки для дви­же­ния тела по вер­ти­ка­ли:

 

 

 най­дём из фор­му­лы даль­но­сти по­лё­та:

,

 – время по­лё­та.

При сим­мет­рич­ной тра­ек­то­рии время по­лё­та равно удво­ен­но­му вре­ме­ни подъ­ёма до верх­ней точки (спус­ка с верх­ней точки):

 

Время подъ­ёма до верх­ней точки равно:

 

 

Сле­до­ва­тель­но:

 

 

Воз­ве­дём обе части дан­но­го вы­ра­же­ния в квад­рат:

 

Под­ста­вим зна­че­ния  и  в фор­му­лу для квад­ра­та на­чаль­ной ско­ро­сти:

 

До­мно­жим обе части урав­не­ния на :

 

По­лу­чи­ли квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но H. Сле­до­ва­тель­но:

 

Мак­си­маль­ная вы­со­та будет со­от­вет­ство­вать вы­ра­же­нию:

  

Ответ: .

 Задача 3

Под каким ми­ни­маль­ным углом к го­ри­зон­ту нужно на­пра­вить ствол ору­дия, со­об­ща­ю­ще­го сна­ря­ду ско­рость 400 м/с, чтобы по­ра­зить цель, рас­по­ло­жен­ную в 4 км от ог­не­вой по­зи­ции на горе вы­со­той 1,5 км?

Дано: ; ; ; 

Найти: 

Ре­ше­ние

На ри­сун­ке 2 изоб­ра­жён по­яс­ня­ю­щий ри­су­нок к за­да­че.

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи вос­поль­зу­ем­ся урав­не­ни­ем для тра­ек­то­рии дви­же­ния тела, бро­шен­но­го под углом к го­ри­зон­ту:

 ,

где  - вер­ти­каль­ная ко­ор­ди­на­та цели;  – го­ри­зон­таль­ная ко­ор­ди­на­та цели.

Дан­ное урав­не­ние с под­ста­нов­кой h и S вы­гля­дит сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

Как из­вест­но:

 

По­это­му:

 

До­мно­жим обе части урав­не­ния на :

 

По­лу­чи­ли квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но :

 

 

Нам необ­хо­ди­мо вы­чис­лить ми­ни­маль­ный угол, по­это­му:

 

 

Ответ: .