Шар и сфера

    Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не больше данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара (на рисунке – это точка О), а данное расстояние (на рисунке – R) – радиусом шара.

Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок (ОА), соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром (ВС). Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара (точки В и С).

Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, называется большим кругом (фигура F), а сечение сферы – большой окружностью (линия f на рисунке).

Любая плоскость, проходящая через центр шара, является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Площадь сферы и объём шара можно найти по формулам:

S = 4R²= D²;

V = (4R³)/3 = (D³)/6,

где R – радиус, D – диаметр сферы и шара. 

Шаровой сегмент – это часть шара, которая отсекается секущей плоскостью.

Справедливы следующие формулы:

r² = H(2R – H);

S_бок = 2RH = (r² + H²);

S_п = (2RH + r²)= (2r² + H²);

V = H²(R – H/3) = H(H² + 3r²)/6,

где R – радиус шара, r – радиус основания и Н – высота шарового сегмента. 

Шаровой сектор – это геометрическое тело, получающееся при вращении кругового сектора около одного из его радиусов.

Для площади поверхности и объёма шарового сектора верны формулы:

S = R(2Н + r);

V = (2R²H)/3,

где R – радиус шара, r – радиус и Н – высота шарового сегмента, содержащегося в секторе. 

Шаровой слой – часть шара, которая содержится между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар.

Основания шарового слоя это сечения шара, образовавшиеся в результате пересечения шара двумя параллельными плоскостями.

Высота шарового слоя это расстояние между основаниями слоя.

O₁O₂ – высота шарового слоя;

АO₁ и ВO₂ – радиусы оснований шарового слоя;

ОС – радиус шара.

Площадь боковой поверхности шарового слоя, сферического пояса, зависит только от высоты слоя и радиуса шара:

S_бок = 2RH.

Объём шарового слоя:

V = H(H² + 3r₁² + 3r₂²)/6,

где r₁ и r₂ – радиусы оснований, Н – высота шарового слоя.