Шар и сфера

    Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не больше данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара (на рисунке – это точка О), а данное расстояние (на рисунке – R) – радиусом шара.

Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок (ОА), соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром (ВС). Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара (точки В и С).

Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, называется большим кругом (фигура F), а сечение сферы – большой окружностью (линия f на рисунке).

Любая плоскость, проходящая через центр шара, является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Площадь сферы и объём шара можно найти по формулам:

S = 4begin mathsize 12px style straight pi end styleR2begin mathsize 12px style straight pi end styleD2;

V = (4begin mathsize 12px style straight pi end styleR3)/3 = (begin mathsize 12px style straight pi end styleD3)/6,

где R – радиус, D – диаметр сферы и шара. 

Шар

Шаровой сегмент – это часть шара, которая отсекается секущей плоскостью.

Справедливы следующие формулы:

r2 = H(2R – H);

Sбок = 2begin mathsize 12px style straight pi end styleRH = begin mathsize 12px style straight pi end style(r2 + H2);

Sп = begin mathsize 12px style straight pi end style(2RH + r2)= begin mathsize 12px style straight pi end style(2r2 + H2);

V = begin mathsize 12px style straight pi end styleH2(R – H/3) = begin mathsize 12px style straight pi end styleH(H2 + 3r2)/6,

где R – радиус шара, r – радиус основания и Н – высота шарового сегмента. 

Шаровой сегмент

Шаровой сектор – это геометрическое тело, получающееся при вращении кругового сектора около одного из его радиусов.

Для площади поверхности и объёма шарового сектора верны формулы:

S = begin mathsize 12px style straight pi end styleR(2Н + r);

V = (2begin mathsize 12px style straight pi end styleR2H)/3,

где R – радиус шара, r – радиус и Н – высота шарового сегмента, содержащегося в секторе. 

Шаровой сектор

Шаровой слой – часть шара, которая содержится между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар.

Основания шарового слоя это сечения шара, образовавшиеся в результате пересечения шара двумя параллельными плоскостями.

Высота шарового слоя это расстояние между основаниями слоя.

O1O– высота шарового слоя;

АO1 и ВO2 – радиусы оснований шарового слоя;

ОС – радиус шара.

Площадь боковой поверхности шарового слоя, сферического пояса, зависит только от высоты слоя и радиуса шара:

Sбок = 2begin mathsize 12px style straight pi end styleRH.

Объём шарового слоя:

V = begin mathsize 12px style straight pi end styleH(H2 + 3r12 + 3r22)/6,

где r1 и r2 – радиусы оснований, Н – высота шарового слоя.  

Шаровой слой

Вопросы к конспектам

В куб объемом 64 вписан шар. Вычислить диаметр шара.
В шар вписан конус. Найдите высоту конуса, если радиус шара 5, а радиус основания конуса 4.   
На сколько отличаются объёмы двух шаров с радиусами 6 см и 9 см?
Радиус шара, вписанного в куб равен 6 см. Найти разность объёмов куба и шара.
Шар радиусом 16 см, пересечен плоскостью, проходящей через середину радиуса перпендикулярно к нему. Найдите площадь сечения. 
Последнее изменение: Среда, 1 Февраль 2017, 19:57