Конус

    Конической поверхностью называется поверхность, образуемая движением прямой, проходящей всё время через неподвижную точку вдоль данной линии.

Эта линия называется направляющей, двигающаяся прямая, в каждом своём положении, – образующей, а неподвижная точка – вершиной.

    Конусом называется тело, ограниченное одной полостью конической поверхности с замкнутой направляющей и плоскостью, пересекающей все образующие этой полости и не проходящей через вершину.

Часть этой плоскости, лежащая внутри конической поверхности, называется основанием конуса.

Высота конуса – это перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания.

Часть конической поверхности, расположенная между вершиной и плоскостью основания, называется боковой поверхностью конуса.

Кривая ABCDA – направляющая;

прямая SА – образующая;

точка S – вершина;

отрезок SО – высота;

фигура F – основание конуса. 

    Конус называется прямым круговым, если его направляющая – окружность, а вершина ортогонально проектируется в его центр.

    В элементарной геометрии прямой круговой конус часто называют просто конусом.

    Прямой круговой конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. При этом вращении другой катет опишет основание конуса, а гипотенуза – боковую поверхность.

    Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

    Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса. В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса.

Боковая поверхность прямого кругового конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую: S_бок = Rl.

Полная поверхность прямого кругового конуса вычисляется по формуле: S_п = S_бок + S_осн= R(l + R).

Для объёма прямого кругового конуса верно: V = (R²H)/3.

Теорема.

Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность  - по окружности с центром на оси конуса. 

Доказательство. 

Пусть β - плоскость, параллельная плоскости основания конуса и пересекающая конус. Преобразование гомотетии относительно вершины конуса, совмещающее плоскость β с плоскостью основания, совмещает сечение конуса плоскостью β с основанием конуса. Следовательно, сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение боковой поверхности – окружность с центром на оси конуса. 

Теорема доказана.

     Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус, гомотетичный данному, причём центром гомотетии служит вершина конуса.

Часть конуса, ограниченная его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усечённым конусом.

Отрезок АВ – образующая усечённого конуса;

отрезок O₁O₂ – высота усечённого конуса;

отрезки АO₁ и ВO₂– радиусы оснований. 

Для усечённого конуса верно:

l² = (R – r)² +H²;

S_бок = (R + r)l;

S_п = (R² + r² + Rl + rl); 

V = .

Вопросы к конспектам

Высота прямого конуса в 5 раз меньше образующей, а объем конуса равен  см. Найдите радиус основания.