Пирамида. Усеченная пирамида

Отрезки (SA, SB, SC, SD, SE), соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

Поверхность пирамиды состоит из основания (пятиугольник ABCDE) и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды:

ΔSAB, ΔSBC, ΔSCD, ΔSDE, ΔSEA – боковые грани. Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. 

Высотой пирамиды (SО) называется перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.

Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

α – угол наклона бокового ребра SA пирамиды к плоскости её основания;

β – угол наклона боковой  грани (SED) пирамиды к плоскости её основания.

Основание высоты пирамиды является центром окружности, описанной около основания пирамиды, тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

• все боковые ребра равны;
• боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы;
• боковые ребра образуют равные углы с высотой пирамиды.

Основание высоты пирамиды является центром окружности, вписанной в основание пирамиды, тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

• боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом;
• высоты боковых граней равны;
• боковые грани образуют равные углы с высотой пирамиды.

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды:

V = 1/3·S_оснh.

Площадь полной поверхности любой пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:

S_п = S_б + S_осн. 

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники. В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды.

    Плоскость, которая пересекает пирамиду и параллельна её основанию, делит её на две части:

пирамиду, подобную данной (SA₁В₁С₁) и

многогранник, называемый усеченной пирамидой (AВСA₁В₁С₁).

    Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях (ΔАВС и ΔA₁В₁С₁), называются основаниями, остальные грани (АA₁В₁В, АA₁С₁С, ВВ₁С₁С) называются боковыми гранями.

Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные многоугольники, боковые грани – трапеции.

Высота усеченной пирамиды (ОО₁) – это расстояние между плоскостями её оснований.

Если S₁ и S₂ – площади оснований усечённой пирамиды иh – её высота, то для объёма усеченной пирамиды верно:

    Пирамида (например, SABCD) называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник (ABCD – квадрат), а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника (О – центр описанной и вписанной окружностей основания).

    Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.

Боковые ребра правильной пирамиды равны.

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды (SL), проведенная из ее вершины к стороне основания, называется апофемой.

Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему:

S_б = P_осн * SL.

Усеченная пирамида (например, АВСDA₁В₁С₁D₁), которая получается из правильной пирамиды, также называется правильной.

Боковые грани правильной усеченной пирамиды (АA₁В₁В, АA₁С₁С, DD₁С₁С, АA₁D₁D) – равные равнобокие трапеции; их высоты называются апофемами.

Вопросы к конспектам