Преобразование выражений, содержащих квадратный корень

Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел, равен произведению квадратных корней из этих чисел.

Используя это свойство арифметического квадратного корня можно выносить из-под корня множитель.

Например: , так как , а 

Существует операция внесение множителя под знак корня. Эта операция является обратной к операции вынесение множителя из-под знака корня. В данном случае мы осуществляем преобразование следующего вида:

Необходимо соблюдать условие, что a и b неотрицательные числа.

Например: , так как 4² = 16

Освобождение от иррациональности в знаменателе

Суть метода состоит в умножении и делении дроби на такое выражение, которое позволит исключить иррациональность (квадратные и кубические корни) из знаменателя и сделает его проще. После этого дроби проще привести к общему знаменателю и окончательно упростить исходное выражение.

Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби:

1. Разложить знаменатель дроби на множители.
2. Если знаменатель имеет вид   или содержит множитель  , то числитель и знаменатель следует умножить на . Если знаменатель имеет вид   или  или содержит множитель такого вида, то числитель и знаменатель дроби следует умножить соответственно на  или на .  Числа  и  называют сопряжёнными.
3. Преобразовать числитель и знаменатель дроби, если возможно, то сократить полученную дробь.

Примеры:

Как найти число, сопряжённое для числа . Попробуем это число представить в  виде двучлена таким образом : -   и выполнить преобразование:

 =  =  =  =  =  =  =  =  =  = 

Вопросы к конспектам

Упростите выражение: 

Найдите целое решение: 

Вычислите: 

Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби: 

Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби: 

Упростите выражение: 

Упростите выражение: 

Упростите дробь: 

Упростите дробь: 

Упростите: