Рациональные уравнения. Посторонний корень

Если выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения, составлены лишь с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень, то уравнение называется рациональным.

Если в результате преобразований мы заменим исходное уравнение следствием, то при решении нового уравнения мы можем получить корни, не являющиеся корнями исходного уравнения, т.е.  посторонние корни. Однако, это не страшно, так как от посторонних корней, как правило, можно легко избавиться с помощью проверки.

Таким образом, при решении уравнений мы должны, в первую очередь, следить за тем, чтобы в результате преобразований исходного уравнения не происходила потеря корней, т.е. чтобы новое уравнение было следствием исходного или равносильно ему.

Целые рациональные уравнения

Рациональное уравнение называется целым, или алгебраическим, если в нем нет деления на выражение, содержащее переменную. К целым уравнением относятся, например, линейные и квадратные уравнения.

Решением, или корнем уравнения, называется всякое значение неизвестного х, при подстановке которого в обе части уравнения получается истинное числовое равенство.

Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Решая уравнение, мы применяем к нему некоторые преобразования:

• упрощаем выражения, входящие в уравнение,
• переносим слагаемые из одной части равенства в другую,
• умножаем или делим обе части уравнения на выражение, содержащее х,
• возводим обе части уравнения в степень,
• логарифмируем и т.п., т.е. так или иначе заменяем исходное уравнение другим.

Если исходное и преобразованное уравнения имеют одни и те же корни, то они называются равносильными. В частности, уравнения, которые не имеют корней, также считаются равносильными.

Два основных свойства уравнений:

1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части равенства в другую, сменив его знак на противоположный, то получится уравнение равносильное исходному.
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число (или даже выражение, содержащее х, которое в ОДЗ не обращается в ноль), то новое уравнение будет равносильно исходному.

Конечно, при решении уравнений лучше всего каждый раз переходить к равносильному. Однако это удается далеко не всегда. Если все корни первого уравнения являются корнями второго, то второе уравнение называется следствием  первого.

Дробно-рациональные уравнения

Если в рациональном уравнении есть деление на выражение, содержащее переменную, то уравнение называется дробно-рациональным.

Решение дробно-рационального уравнения сводится в конечном итоге к замене исходного уравнения целым уравнением, которое равносильно исходному уравнению или является его следствием.

При решении дробного уравнения целесообразно поступать следующим образом:

1. определить область допустимых значений переменной х (ОДЗ);
2. найти наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3. умножить обе части уравнения на общий знаменатель и привести подобные;
4. решить получившееся целое уравнение.

Описанные преобразования не сужают ОДЗ переменной х, но могут ее расширить. Следовательно, в результате указанных преобразований возможно появление посторонних корней, (но не их потеря). Получив решение преобразованного уравнения, следует отбросить те его корни, которые обращают в нуль общий знаменатель исходного уравнения.

Пример.

Решите уравнение: 

Решение.

Найдем ОДЗ уравнения. Поскольку знаменатели дробей не могут обращаться в ноль, то  x ≠ -1 и х ≠ -3

Умножим теперь обе части уравнения на общий знаменатель, который равен (х + 1)(х + 3).

Мы получим уравнение:

5(х + 3) + (4х - 6) = 3(х + 1)(х + 3)

Раскроем скобки в обеих частях равенства и приведем подобные.

Мы получим:

5х + 15 + 4х - 6 = 3х² + 9х + 3х + 9, откуда

9х + 9 = 3х² + 12х + 9 или

3х² + 3х = 0

Решив неполное квадратное уравнение 3х² + 3х = 0; мы будем иметь

3х( х + 1) =0, откуда 

х₁= 0 и х₂= -1.

Значение х₂= -1 не входят в ОДЗ уравнения.

Единственный корень исходного уравнения есть х=0.

Ответ: 0

Вопросы к конспектам

Решите уравнение: 

Решите уравнение: 

Решите уравнение: 

Решите уравнение: 

Решите уравнение: 

Решите уравнение: 

Решите уравнение: 

Решите уравнение: 

Решите уравнение: 

Решите уравнение: