Квадратное уравнение и его виды

Квадратным уравнением называется уравнение вида aх2 + bx +c, где a≠0; где а; b и с - фиксированные действительные числа, которые задают квадратное уравнение. Эти числа имеют определенные названия:

а- старший коэффициент (множитель при х);

b- второй коэффициент (множитель при );

с- свободный член (число без множителя-переменной).

 

Замечание. Следует понимать, что указанная последовательность записи слагаемых в квадратном уравнении является стандартной, но не обязательной, и в случае их перестановки необходимо уметь определять численные коэффициенты не по их порядковому расположению, а по принадлежности к переменным.

 

Решить квадратное уравнение – значит найти все значения переменной  (корни уравнения), при которых данное уравнение обращается в верное числовое равенство, или установить, что таких значений нет.

 

Некоторые из коэффициентов  квадратного уравнения могут равняться нулю. В таком случае квадратное уравнение называют неполным. Если же все коэффициенты ненулевые, то квадратное уравнение называют полным.

 

Существует следующие виды неполного квадратного уравнения.

  1. ax2 +bx = 0
  2. ax2 +c = 0
  3. ax2 = 0

Алгоритм решения неполных уравнений:

  1.  begin mathsize 12px style a x squared plus b x equals 0 x open parentheses a x plus b close parentheses equals 0 x equals 0 comma space л и б о space а х plus b equals 0 rightwards double arrow x equals negative b over a end style
  2. begin mathsize 12px style a x squared plus c equals 0 rightwards double arrow a x squared equals negative c rightwards double arrow x squared equals negative c over a Е с л и space minus с over a greater than 0 comma space т о space у р а в н е н и е space и м е е т space д в а space к о р н я space space space 1 right parenthesis space space x equals negative square root of fraction numerator negative c over denominator a end fraction end root semicolon space space space space space space space 2 right parenthesis space space x equals square root of fraction numerator negative c over denominator a end fraction end root Е с л и space minus с over а less than 0 comma space т о space у р а в н е н и е space н е space и м е е т space з н а ч е н и я end style
  3. begin mathsize 12px style a x squared equals 0 x equals 0 end style

Пример.

Решить квадратные уравнения:

  1. x2 - 7x = 0;
  2. 5x2 + 30 = 0;
  3. 4x2 - 9 = 0.

Решение:

  1. x2 - 7x = 0rightwards double arrowx * (x - 7) = 0 rightwards double arrowx1 = 0; x2 = begin mathsize 12px style fraction numerator negative 7 over denominator 1 end fraction end style = 7.
  2. 5x2 + 30 = 0 rightwards double arrow 5x2 = -30 rightwards double arrowx2 = - 6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
  3. 4x2 - 9 = 0 rightwards double arrow4x2 = 9 rightwards double arrowx2 = 9/4rightwards double arrowx1 = 3/2 = 1,5; x2 = - 1,5.

Ответ: 1) x1 = 0; x2 = 7;    2) корней нет;    3) x1 = 1,5;  x2 =  1,5.

  

Если, в квадратном уравнений старший коэффициент равен 1, то квадратное уравнение называется приведенным.

Например:

х2 +4х +5 = 0

х2 +15х – 3 = 0

х2 + 3х + 7 = 0

х2 -4х – 9 = 0

Любое неприведенное квадратное уравнение можно записать в виде приведенного квадратного уравнения, для этого необходимо разделить каждый член квадратного уравнения на старший коэффициент.

Замечание. Делением на старший коэффициент мы не изменим уравнение, но изменим его форму (сделаем приведенным).

Приведенное квадратное уравнение принято записывать следующим образом: 

х2 + px +q = 0

Вопросы к конспектам

В каком значений числа а квадратное уравнение begin mathsize 12px style a x squared plus open parentheses 1 comma 5 minus 3 a close parentheses x minus 8 equals 0 end style будет неполным?
В каком значений числа а квадратное уравнение begin mathsize 12px style a x squared minus 8 x minus 11 plus 2 comma 2 a equals 0 end style будет неполным?
Найдите интервал, к которому принадлежат корни уравнения begin mathsize 12px style square root of 2 x plus 5 end root equals x plus 1 end style
Найдите нуль функции begin mathsize 12px style f open parentheses x close parentheses equals x over 2 minus 4 over x end style
Решите уравнение: begin mathsize 12px style 5 x minus 2 over 7 x squared equals 0 semicolon end style
Решите уравнение: -4x2 + 64 = 0;
Решите уравнение: begin mathsize 12px style fraction numerator square root of x over denominator 2 end fraction equals fraction numerator x squared over denominator square root of x end fraction end style
Решите уравнение: begin mathsize 12px style fraction numerator x squared minus 4 over denominator x end fraction equals fraction numerator 2 x minus 3 over denominator 2 end fraction end style.
Решите уравнение: begin mathsize 12px style x minus 1 equals square root of 7 minus 2 x minus x squared end root end style
Решите уравнение: (x + 5)2 – x2 = x – 2  
Последнее изменение: Воскресенье, 29 Январь 2017, 19:46