Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ах² + bx + с = 0

Применим к квадратному трехчлену ах² + bx + с преобразования:

ах² + bx + с = (ax + bx) + с =  =  = 

Обычно выражение b² - 4ac обозначают буквой В и называют дискриминантом квадратного уравнения  ах² + bx + с = 0 (или дискриминантом квадратного трехчлена ах² + bx + с).

Таким образом ах² + bx + с = .

Значит, квадратное уравнение ах² + bx + с = 0 можно переписать в виде: 

 или . (1)

При решении квадратного уравнения важно знать знак дискриминант:

Теорема 1. 

Если D<0, то квадратное уравнение не имеет решение.

Доказательство. Если D<0, то правая часть уравнения (1) - отрицательное число; в тоже время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет не одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение 1 не имеет корней. 

Пример 1.

Решить уравнение 2х² + 4х + 7 = 0

Решение.

Здесь а = 2, b = 4, с = 7, D = b² - 4ac = 4² - 4 * 2 * 7 = 16 - 56 = -40.

Так как D<0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Теорема 2.

 Если D = 0, то квадратное уравнение имеет одно решение, х = .

 Доказательство.

 Если D = 0, то уравнение (1) принимает вид , значит , т.е.  - единственный корень уравнения.

Теорема 3.

 Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два коня х₁ = _;   x₂ = 

Доказательство.

Перепишем квадратное уравнение ах² + bx + c = 0 в виде , обозначим х +  через t, тогда уравнение будет иметь вид: .

По условию, D>0, значит, первая часть уравнения положительное число. Тогда из уравнения получаем, что t = , но t = , таким образом, задача свелась к решению двух уравнений:  и  из первого уравнения получим , а из второго уравнения получим .

Итак, заданное квадратное уравнение имеет два корня: х1 = ;   x2 = .

Алгоритм решения уравнения ax² + bx + с = 0

1. Вычислить дискриминант по формуле: D = b² - 4ac
2. Если D<0, то квадратное уравнение не имеет решений
3. Если D=0, то квадратное уравнение имеет одно решение х = 
4. Если D=0, то квадратное уравнение имеет два корня х1 = ;   x2 = .

Вопросы к конспектам

Решите следующее уравнение: y² - 9y + 18 = 0

Найдите корни уравнения: 5х² - 36х = -7    

Найдите сумму всех корней уравнения: 2х⁴ - 7х² + 2 = 0  

Решите уравнение: 10x² - x + 1 = 0

Решите уравнение: 

Решите уравнение: 

Решите уравнение: (4 - 3x)² = 25

В каком значений числа b уравнение 4x² + 2x -b = 0 имеет корень?

Решите уравнение: 2x² -7x + 5 = 0

Решите уравнение: