Уравнения, приводящие к квадратному уравнению

Есть несколько классов уравнений, которые решаются приведением их к квадратным уравнениям.

Рассмотрим уравнение, приводящее к квадратным уравнениям:

Решить уравнение:   (х² - 5х + 4)(х² - 5х + 6) = 120.

Заметим, что (х² - 5х)=t, тогда подставив в уравнение новую переменную получим: (t + 4)(t + 6) = 120.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

t² + 6t + 4t + 24 = 120,

t² + 10t + 24 - 120 = 0,

t² + 10t - 96 = 0.

Решаем квадратное уравнение относительно новой переменной

D = b² - 4ac = 100 - 4 * 1 * (-96) = 100 + 384 = 484>0 два корня.

t_1,2 =  = ; t₁ = -16 и t₂ = 6

Если t = -16, то х² - 5х = -16

, D = -39<0 корней нет.

Если t₂ = 6, то х² - 5х = 6

x² - 5x - 6 = 0, D = 49>0 два корня х₁ = -1, х₂ = 6

Ответ: -1; 6

Одним уравнений приводящее к квадратным являются биквадратные уравнения.

Биквадратные уравнения - это уравнения вида aх⁴ + bx² + c = 0, где a≠0.

Биквадратные уравнения решаются с помощью подстановки x² = t. После такой подстановки, получим квадратное уравнении относительно t.

at² + bt + c = 0

Решаем полученное уравнение, имеем в общем случае t₁ и t₂. Если на этом этапе получился отрицательный корень, его можно исключить из решения, так как мы брали t=x², а квадрат любого числа есть число положительное.

Возвращаясь к исходным переменным, имеем x² =t₁, x²=t₂.

Разберем небольшой пример:

9x⁴ + 5x² - 4 = 0.

Введем замену t = x². Тогда исходное уравнение примет следующий вид: 

9t² + 5t - 4 = 0.

Решаем это квадратное уравнение любым из известных способов, находим:

.

Корень -1 не подходит, так как уравнение х² = -1 не имеет смысла.

Остается второй корень . Переходя к исходным переменным имеем следующее уравнение: x² = .

x₁ = ;   x₂ = ;   

Это и будет решением уравнения.

Ответ: x₁ = ;   x₂ = ;   

Вопросы к конспектам

Решите уравнение: х -  - 6 = 0 

Решите уравнение: 

Решите уравнение: 

Решите уравнение: x² + 2x +  - 12 = 0

Решите уравнение: 

Решите уравнение: