Параллелепипед. Призма

    Параллелепипед – это призма, основание которой – параллелограмм. У параллелепипеда все грани – параллелограммы. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны. Диагональю параллелепипеда, как и многогранника вообще, называется отрезок, соединяющий вершины параллелепипеда, не лежащие в одной его грани. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

    Прямоугольным параллелепипедом называется такой прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник. Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками. Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются его измерениями или линейными размерами. У прямоугольного параллелепипеда три измерения.

В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений: d² = a² + b² + c².

В прямоугольном параллелепипеде верно:

• для площади полной поверхности: Sп = 2·(ab+bc+ac);
• для объёма: V = abc.

    В прямоугольном параллелепипеде, как и во всяком параллелепипеде, есть центр симметрии – точка пересечения его диагоналей. У него есть также три плоскости симметрии, проходящие через центр симметрии параллельно парам противолежащих граней. На первом рисунке, приведённом выше, показана одна из таких плоскостей. Она проходит через середины четырех параллельных ребер параллелепипеда.

Если у параллелепипеда все линейные размеры разные, то у него нет других плоскостей симметрии, кроме трёх названных.

Если же у параллелепипеда два линейных размера равны, то есть он является правильной четырёхугольной призмой, то у него есть еще две плоскости симметрии. Это плоскости диагональных сечений, показанные на втором рисунке.

    Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.

Диагональ куба в квадратный корень из трёх раз больше его стороны: 

В кубе верно:

• для площади полной поверхности: S_п = 6·a²,   S_п = 2·d²,
• для объёма: 

    Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками (одно из них показано на рисунке) – эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его диагоналям.

У куба девять плоскостей симметрии:

• три из них, проходя через середины четырёх параллельных ребер куба, дают в сечениях квадраты;
• остальные шесть – это все плоскости диагональных сечений куба.

Вопросы к конспектам